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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 板塊三 數(shù)學(xué)歸納法完整講義（學(xué)生版） 典例分析 題型一：數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ) 【例1】 已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證 （ ） A．時(shí)等式成立 B．時(shí)等式成立 C．時(shí)等式成立 D．時(shí)等式成立 【例2】 已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，，則還需證明（ ） A.n=k+1時(shí)命題成立 B. n=k+2時(shí)命題成立 C. n=2k+2時(shí)命題成立 D. n=2（k+2）時(shí)命題成立 【例3】 某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立. 現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得 （ ） A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n=6時(shí)該命題成立 C．當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n=8時(shí)該命題成立 【例4】 利用數(shù)學(xué)歸納法證明 “ ”時(shí)，從“”變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是 （ ） A B C D 【例5】 用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子是（ ） A. 1 B. C. D. 【例6】 用數(shù)學(xué)歸納法證明，從“k到k+1”左端需乘的代數(shù)式是（ ） A.2k+1 B. C. D. 【例7】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+++時(shí)，在第二步證明從n=k到n=k+1成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（ ） A. B. C. D. 【例8】 設(shè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第一步要證的等式是 【例9】 用數(shù)學(xué)歸納法證明“”（）時(shí)，從 “到”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是__ __。 【例10】 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，不等式左邊增加的式子是 【例11】 是否存在常數(shù)是等式對一切成立？證明你的結(jié)論。 題型二：證明整除問題 【例12】 若存在正整數(shù)，使得能被整除，則= 【例13】 證明：能被整除 【例14】 已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，． 求證：數(shù)列的第項(xiàng)能被3整除． 【例15】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除． 【例16】 設(shè)是任意正整數(shù)，求證：能被6整除． 【例17】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于一切正整數(shù)，能被264整除． 【例18】 (n≥4且n∈N*)個正數(shù)排成一個n行n列的數(shù)陣： 第1列 第2列 第3列 …… 第n列 第1行 …… 第2行 …… …… …… …… …… …… …… 第n行 …… 其中(1≤i≤n，1≤k≤n，且i，k∈N)表示該數(shù)陣中位于第i行第k列的數(shù).已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成公比為2的等比數(shù)列，且=8，=20. (Ⅰ)求和； (Ⅱ)設(shè)，證明：當(dāng)n為3的倍數(shù)時(shí)，()能被21整除. 題型三：證明恒等式與不等式 【例19】 證明不等式（） 【例20】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：，. 【例21】 證明：，. 【例22】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：． 【例23】 是否存在常數(shù)a、b、c，使等式對一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論 【例24】 在數(shù)列中，， （1）寫出；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 【例25】 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 【例26】 用數(shù)學(xué)歸納法證明： （Ⅰ）； （Ⅱ） ； 【例27】 對于的自然數(shù)，證明：． 【例28】 已知，求證：對任意大于1的自然數(shù)，． 題型四：數(shù)列中的數(shù)學(xué)歸納法 【例29】 設(shè)均為正數(shù)，且，求證：當(dāng)n≥2的時(shí)候， ≥ 【例30】 已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【例31】 在數(shù)列中，，是它的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【例32】 設(shè)整數(shù)數(shù)列滿足，，，且．證明：任意正整數(shù)， 是一個整數(shù)的平方． 【例33】 由正實(shí)數(shù)組成的數(shù)列滿足：．證明：對任意，都有． 【例34】 實(shí)數(shù)數(shù)列定義如下，已知 ⑴證明：對任意，； ⑵問有多少個不同的，使得． 【例35】 兩個實(shí)數(shù)數(shù)列、滿足：， 證明：時(shí)，． 【例36】 在數(shù)列中，若它的前項(xiàng)和． ⑴計(jì)算的值； ⑵猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 【例37】 已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【例38】 設(shè)數(shù)列，，……中的每一項(xiàng)都不為．證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有． 題型五：其他類型題 【例39】 已知函數(shù)，滿足條件：①；② ； ③ ；④當(dāng)時(shí)，有. (1) 求，的值； (2) 由，，的值，猜想的解析式； (3) 證明你猜想的的解析式的正確性. 【例40】 數(shù)列， （Ⅰ）是否存在常數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在求 的值，若不存在，說明理由。 （Ⅱ）設(shè) ，求證：時(shí)， 【例41】 已知數(shù)列滿足：，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）對于任意的正整數(shù)，試討論與的大小關(guān)系．