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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第1章 1計數(shù)原理課時作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則xy可表示成不同的值的個數(shù)是(　　) A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3 C．23＝6 D．33＝9 [答案]　D [解析]　因為按x、y在各自的取值集合中各選一個值去做積這件事，可分兩步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一個值有3種方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一個值有3種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有33＝9個不同的值．故選D. 2．(xx陜西寶雞中學(xué)高二期末)圖書館的書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取一本書，共有(　　)種不同的取法．(　　) A．120 B．16 C．64 D．39 [答案]　B [解析]　由分類加法計數(shù)原理知，共有不同取法3＋5＋8＝16種． 3．一植物園參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線種類共有(　　) A．6種 B．8種 C．36種 D．48種 [答案]　D [解析]　參觀路線分步完成：第一步選擇三個“環(huán)形”路線中的一個，有3種方法，再按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；第二步選擇余下兩個“環(huán)形”路線中的一個，有2種方法，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；最后一個“環(huán)形”路線，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法．由分步計數(shù)原理知，共有32222＝48(種)方法． 4．十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有行車路線(　　) A．24種 B．16種 C．12種 D．10種 [答案]　C [解析]　4個路口，每個路口都有3種行車路線，則共有43＝12種行車路線． 5．(xx安徽理，8)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有(　　) A．24對 B．30對 C．48對 D．60對 [答案]　C [解析]　如圖，上底面的一條對角線為例共4對，這樣的對角線共12條，∴共有124＝48對． 本題也可以用排除法，C－6－12求得． 二、填空題 6．有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有________種不同的取法． [答案]　242 [解析]　任取兩本不同的書，有三類：(1)取數(shù)學(xué)、語文各一本，(2)取語文、英語各一本，(3)取數(shù)學(xué)、英語各一本．然后求出每類取法，利用分類加法計數(shù)原理即可得解． 取兩本書中，一本數(shù)學(xué)、一本語文，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有109＝90種不同取法； 取兩本書中，一本語文、一本英語，有98＝72種不同取法； 取兩本書中，一本數(shù)學(xué)、一本英語，有108＝80種不同取法． 綜合以上三類，利用分類加法計數(shù)原理，共有90＋72＋80＝242種不同取法．故填242. 7．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成“正交線面對”的個數(shù)是________． [答案]　36 [解析]　用分類加法計算原理：第一類，正方體的一條棱與面有兩個“正交線面對”，共有24個；第二類，正方體的一條面對角線與對角面有一個“正交線面對”，共有12個．所以共有“正交線面對”的個數(shù)是24＋12＝36. 8．若一個m、n均為非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對(m，n)在做m＋n的加法時各位均不會進位，則稱(m，n)為“簡單的”有序數(shù)對，m＋n稱為有序數(shù)對(m，n)的值，那么值為1942的“簡單的”有序數(shù)對的個數(shù)是________． [答案]　300 [解析]　由題意可知m＋n＝1942，當(dāng)m，n中一個數(shù)確定時，另一個數(shù)也就唯一確定了，所以不妨設(shè)m＝1000x1＋100x2＋10x3＋x4，則x1有2種不同取法，x2有10種不同取法，x3有5種不同取法，x4有3種不同取法，所以所求的有序數(shù)對的個數(shù)為21053＝300. 三、解答題 9.從1到200的這二百個自然數(shù)中，各個位數(shù)上都不含數(shù)字8的共有多少個？ [解析]　應(yīng)分三類來解決該問題． 第一類：一位數(shù)中除8以外符合要求的數(shù)有8個； 第二類：二位數(shù)中，十位數(shù)除0、8以外有8種選法，而個位數(shù)除8以外有9種選法，故二位數(shù)中符合要求的數(shù)有89＝72(個)； 第三類：三位數(shù)中①百位數(shù)為1，十位數(shù)和個位數(shù)上的數(shù)字除8以外都有9種選法，故三位數(shù)中，百位數(shù)為1的符合要求的數(shù)有99＝81(個)． ②百位數(shù)為2的只有200這一個符合要求， ∴三位數(shù)中符合要求的數(shù)有81＋1＝82(個)． 由分類加法計數(shù)原理，符合要求的數(shù)字共有 N＝8＋72＋82＝162(個)． [反思總結(jié)]　考慮問題的原則是先分類而后分步，要注意在分類(或分步)時，必須做到不重不漏． 10．(1)有5本書全部借給3名學(xué)生，有多少種不同的借法？ (2)有3名學(xué)生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐，則有多少種不同分配方案？ [解析]　(1)中要完成的事件是把5本書全部借給3名學(xué)生，可分5個步驟完成．每一步把一本書借出去，有3種不同的方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝33333＝35＝243種不同的借法． (2)中要完成的事件是把3個學(xué)生分配到5個車間中，可分3個步驟完成，每一步分配一名學(xué)生，有5種不同的方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝555＝53＝125種不同的分配方案． [反思總結(jié)]　解決這類問題，切忌死記公式“mn”或“nm”，而應(yīng)弄清楚哪類元素必須用完，就以它為主進行分析，并以該元素為分步的依據(jù)進行分步，再用分步乘法計數(shù)原理來求解. 一、選擇題 1．從集合{1,2,3，…，11}中任選兩個元素作為橢圓方程＋＝1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}內(nèi)的橢圓的個數(shù)為(　　) A．43個 B．72個 C．86個 D．90個 [答案]　B [解析]　由題意，m可能的取值為1,2，…，10；n可能的取值為1,2，…，8，先確定m有10種方法，再確定n有8種方法，按分步計數(shù)原理共有80種方法，但其中包括m＝n的情況共8種，故能組成落在矩形區(qū)域內(nèi)的橢圓個數(shù)為72個．故選B. 2．四個同學(xué)，爭奪三項冠軍，冠軍獲得者可能有的種類是(　　) A．4　　 B．24　　 C．43　　 D．34 [答案]　C [解析]　依分步乘法計數(shù)原理，冠軍獲得者可能有的種數(shù)是444＝43.故選C. 3．xx年南京青奧會火炬?zhèn)鬟f在A、B、C、D、E五個城市之間進行，各城市之間的路線距離(單位：百公里)見下表．若以A為起點，E為終點，每個城市經(jīng)過且只經(jīng)過一次，那么火炬?zhèn)鬟f的最短路線距離是(　　) A B C D E A 0 5 4 5 6 B 5 0 7 6 2 C 4 7 0 9 8.6 D 5 6 9 0 5 E 6 2 8.6 5 0 A.20.6 B．21 C．22 D．23 [答案]　B [解析]　由于“以A為起點，E為終點，每個城市經(jīng)過且只經(jīng)過一次”，并且求“ 最短路線的距離”，由選項判斷，A中20.6在表中只有C和E之間的距離8.6是出現(xiàn)小數(shù)部分的，故CE是必定經(jīng)過的路線，又因為A為起點，E為終點，故如果A正確，那么線路必須是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，進行驗證：線路1的距離和為5＋6＋9＋8.6＝28.6，故線路1不符合；線路2的距離之和為5＋6＋7＋8.6＝26.6，線路2也不符合，故排除A；再驗證選項B，發(fā)現(xiàn)線路A－C－D－B－E的距離之和為4＋9＋6＋2＝21符合，故選B. 4．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有(　　) A．60條 B．62條 C．71條 D．80條 [答案]　B [解析]　本題考查拋物線、計數(shù)原理． 由題意知a≠0，且b≠0，下面分2類： 若c＝0，ay＝b2x2，不同拋物線有54－6＝14條， 若c≠0，不同拋物線有543－12＝48，共48＋14＝62條．分類要全面，要不重不漏． 二、填空題 5.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種(用數(shù)字作答)． [答案]　390 [解析]　給四個格子編號如答圖所示，由題意①號格子有6種不同涂色方法，②號格子有5種不同的涂色方法，若③號格子與①號格子同色，則④號格子有5種不同涂色方法(可以與②號同色)，由乘法原理有655＝150(種)涂色方法；若③號格子與①號格子不同色，則③號格子有4種不同涂色方法，此時④號格子只能與①號或②號同色，因而有2種涂色方法，由乘法原理有6542＝240(種)涂色方法，最后由加法原理共有150＋240＝390(種)不同的涂色方法，故填390. 6．如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有________． [答案]　480種 [解析]　從A開始有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂色法有654(1＋3)＝480種． 三、解答題 7．甲、乙、丙、丁4個人各寫1張賀卡，放在一起，再各取1張不是自己所寫的賀卡，共有多少種不同取法？ [解析]　方法一(枚舉法)：(1)甲取得乙卡，分配方案如表．此時乙有甲、丙、丁3種取法．若乙取甲的卡，則丙取丁的、丁取丙的，若乙取丙的卡，則丙取丁的，丁取丙的，故有3種分配方案． (2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲． (3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：丁甲乙丙、乙丙甲乙、丁丙乙甲． 由分類加法計數(shù)原理，共有N＝3＋3＋3＝9(種)． 方法二(間接法)： 4人各取1張賀卡．甲先取1張賀卡有4種方法，乙再取1張賀卡有3種方法，然后丙取1張賀卡有2種方法，最后丁僅有1種方法．由分步乘法計數(shù)原理，4個人各取1張賀卡共有4321＝24(種)． 4個人都取自己寫的賀卡有1種方法； 2個人取自己寫的賀卡，另2個人不取自己所寫賀卡的方法有6種(即4個人中選出取自己寫的賀卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)； 1個人取自己寫的賀卡，另3個人不取自己所寫賀卡方法有8種(從4個人中選出取自己寫的賀卡的1個人有4種方法．而其余3個人都不取自己所寫賀卡的方法有2種方法)． 因此，4個人都不取自己所寫賀卡的取法有 N＝24－(1＋6＋8)＝9(種)． 方法三(分步法)． 第一步　甲取1張不是自己所寫的那張賀卡，有3種取法； 第二步　由甲取的那張賀卡的寫卡人取，也有3種取法； 第三步　由剩余兩個中任1個人取，此時只有1種取法； 第四步　最后1個人取，只有1種取法． 由分步乘法計數(shù)原理，共有N＝3311＝9(種)． [反思總結(jié)]　對于有限制條件的選取、抽取問題的計數(shù)，一般地，當(dāng)數(shù)目不很大時，可用枚舉法，但為保證不重不漏，可用樹形圖、框圖及表格進行枚舉；當(dāng)數(shù)目較大，符合條件的情況較多時，可用間接法計數(shù)；否則直接用分類或分步計數(shù)原理計數(shù)．但一般根據(jù)選(抽)取順序分步或根據(jù)選(抽)取元素的特點分類． 8.用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的(1)四位數(shù)？ (2)四位奇數(shù)？ [解析]　(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四個步驟： 第一步：從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法； 第二步：從1,2,3,4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法； 第三步：從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法； 第四步：從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法． 由分步乘法計數(shù)原理，可組成不同的四位數(shù)共有N＝4432＝96個． (2)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，有兩類辦法： 第一類：四位奇數(shù)的個位數(shù)字取1，這件事又需分三個步驟完成： 第1步：從2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有3種不同的選取方法； 第2步：從2,3,4中剩余的兩個數(shù)字和0共三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有3種不同的選取方法； 第3步：從剩余的兩個數(shù)字中，選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有2種不同的選取方法． 由分步乘法計數(shù)原理，第一類中的四位奇數(shù)共有N1＝332＝18個． 第二類：四位奇數(shù)的個位數(shù)字取3，這件事也需分三個步驟完成： 第1類：從1,2,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有3種不同的選取方法； 第2類：從1,2,4中剩余的兩個數(shù)字和0共三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有3種不同的選取方法； 第3類：從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有2種不同的選取方法． 由分步乘法計數(shù)原理，第二類中的四位奇數(shù)共有N2＝332＝18個． 最后，由分類加法計數(shù)原理，符合條件的四位奇數(shù)共有N＝N1＋N2＝18＋18＝36個．