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2019-2020年高二數(shù)學 函數(shù)的極值與導數(shù) 教學目標： 1.理解極大值、極小值的概念； 2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值； 3.掌握求可導函數(shù)的極值的步驟； 教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學過程： 一．創(chuàng)設情景 觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時，高臺跳水運動員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點的導數(shù)是多少呢？此點附近的圖像有什么特點？相應地，導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？ 放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9．可以看出；在，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當在的附近從小到大經(jīng)過時，先正后負，且連續(xù)變化，于是有． 對于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質(zhì)呢？ 附：對極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點的關鍵是這點兩側(cè)的導數(shù)異號 二．新課講授 1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像． 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)： （1） 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應地，． （2） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關系． 如圖3.3-3，導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系 在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導數(shù)； （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．已知導函數(shù)的下列信息： 當時，； 當，或時，； 當，或時， 試畫出函數(shù)圖像的大致形狀． 解：當時，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 當，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 當，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”． 綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示． （2）因為，所以， 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示． （3） 因為，所以， 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示． （4） 因為，所以 ． 當，即 時，函數(shù) ； 當，即 時，函數(shù) ； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生練 例3 如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”． 例4 求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因為 當即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 說明：證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟： （1）求導函數(shù)； （2）判斷在內(nèi)的符號； （3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)． 例5 已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得： 所以實數(shù)的取值范圍為． 說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解． 四．課堂練習 1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．課本P101練習 五．回顧總結(jié) （1）函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系 （2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （3）證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性 六．布置作業(yè)