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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 10立體幾何課時(shí)檢測(cè) 一、選擇題 1、三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其正視 圖(如圖所示)的面積為8，則側(cè)視圖的面積為( ) A. 8 　　　　 B. 4 C. D. 答案：C 2、某幾何體的三視圖如圖2所示(單位：cm), 則其體積和表面積分別是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 答案：A 3、一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則這個(gè)幾何體的體積是（　?。? A、　　　　　B、1　　　　C、　　　　　D、2 答案：A 4、已知正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于E點(diǎn)，將沿對(duì)角線AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如圖），則下列命題中正確的為(　C　) A. 直線AB⊥直線CD, 且直線AC⊥直線BD B. 直線AB⊥平面BCD，且直線AC⊥平面BDE C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D. 平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE 答案：C 5、如圖4，一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，俯視圖是半徑為1的圓，則該幾何體的體積是 答案：A 二、填空題 1、某幾何體的三視圖如圖所示,其中正（主）視圖與側(cè)（左）視圖的邊界均為直角三角形，俯視圖的邊界為直角梯形，則該幾何體的體積為 . 答案：8 2、若、是不重合的平面，、、是互不相同的空間直線，則下列命題中為真命題的是 ．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)） ① 若，，則 ② 若，，則 ③ 若，，則 ④ 若，且，，則 答案：②③（對(duì)1個(gè)3分，錯(cuò)1個(gè)分） 三、解答題 1、 如圖,矩形中,,,、分別為、邊上的點(diǎn),且,,將沿折起至位置(如圖所示),連結(jié)、、,其中. (Ⅰ)求證:平面； (Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值. . . A C D B E F 圖5 圖6 A B C D P E F (Ⅰ)由翻折不變性可知,,, 在中,,所以 ……………2分 在圖中,易得, ………3分 在中,,所以 …………………4分 又,平面,平面,所以平面. ………………6分 解法二圖 A B C D P E F H x y z 解法一圖 A B C D P E F （注：學(xué)生不寫(xiě)扣1分） (Ⅱ)方法一:以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,, ,,所以,,, …………8分 設(shè)平面的法向量為,則,即,解得 令,得,……………………………………………12分 設(shè)直線與平面所成角為,則. 所以直線與平面所成角的正弦值為. ……………………14分 方法二:過(guò)點(diǎn)作于, 由(Ⅰ)知平面,而平面 所以,又,平面,平面, 所以平面, 所以為直線與平面所成的角. ………………………9分 在中, …………………………11分 在中,由等面積公式得………………………………13分 在中, 所以直線與平面所成角的正弦值為. ………………………14分 2、 圖6 A B C D E F 在如圖6的幾何體中，平面為正方形，平面為等腰梯形，∥，，，． （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值． （1）證明1：因?yàn)?，? 在△中，由余弦定理可得．……………………………2分 所以． 所以．………………………………………………………………3分 因?yàn)?，，、平面? 所以平面．……………………………………………………………4分 證明2：因?yàn)?，設(shè)，則． 在△中，由正弦定理，得．……………………1分 因?yàn)椋裕? 整理得，所以．……………………………………………2分 所以．………………………………………………………………3分 因?yàn)?，，、平面? 所以平面．…………………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，平面，平面， 所以． 因?yàn)槠矫鏋檎叫?，所以? 因?yàn)?，所以平面．…………………………?分 取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 因?yàn)槭堑妊菪?，且，? 所以．所以△是等邊三角形，且．………………7分 M N A B C D E F 取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則．………8分 因?yàn)槠矫妫?，所以? 因?yàn)?，所以平面?……………9分 所以為直線與平面所成角． ……………10分 因?yàn)槠矫?，所以．………………?1分 因?yàn)椋?，…………………………?2分 在△中，．………………………………13分 所以直線與平面所成角的正弦值為．……………………………14分 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以． 因?yàn)槠矫鏋檎叫危裕? 因?yàn)?，所以平面．…………………………………?分 x A B C D E F y z 所以，，兩兩互相垂直， 建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．………………………7分 因?yàn)槭堑妊菪危遥? 所以． 不妨設(shè)，則，，， ，， 所以，，．………………………9分 設(shè)平面的法向量為，則有即 取，得是平面的一個(gè)法向量．…………………………11分 設(shè)直線與平面所成的角為， 則．………………13分 所以直線與平面所成角的正弦值為．………………………………14分 3、 如圖3，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，將△AED， △DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點(diǎn)重合于。 （1)求證：⊥EF; （2）求二面角的平面角的余弦值. . （1）證明：∵ABCD是正方形， ∴DA⊥AE, DC⊥CF, 2分 ∴DA/⊥A/E, DA/⊥A/F, 3分 又A/E∩A/F=A/， 4分 ∴DA/⊥平面A/EF， 5分 又EF平面A/EF， 6分 ∴DA/⊥EF。 7分 （2）取EF的中點(diǎn)M，連A/M,DM，則在△A/EF中， ∵A/E=AE=1，A/F=CF=1， ∴A/M ⊥EF， 8分 ∴DE=DF=， ∴DM ⊥EF 9分 所以∠A/MD是二面角的平面角， 10分 在△BEF中，BE=BF=1，BE⊥BF， ∴EF=,∴A/M=,又A/D=1， 11分 ∵DA/⊥平面A/EF，∴A/D ⊥A/M，又A/D=2，∴DM==, 12分 ∴cos∠A/MD=， 13分 所以二面角的平面角的余弦值是。 14分 方法2：在△BEF中，BE=BF=1，BE⊥BF，∴EF=, 7分 ∵A/E= A/F=1，∴A/E2+ A/F2=EF2 ∴A/E⊥A/F, 8分 所以以A/為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A/E,A/D,A/F分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 9分 則A/（0,0,0），D(0，2，0),E(1，0，0),F(0，0，1) 10分 ∴（-1,2,0），（-1,0,1）， 設(shè)平面DEF的法向量是，則●0，●0， 11分 ∴，取=（2,1,2）， 12分 又(0，2，0)是平面A/EF的法向量， 與夾角的余弦值是。 13分 所以二面角的平面角的余弦值是。 14分