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2019-2020年高中數(shù)學《三角函數(shù)模型的簡單應用》教案5新人教A版必修4 一、教材分析 1、本單元的教學內容的范圍 1.1 任意角的概念與弧度制 1.1.1角的概念的推廣 1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1三角函數(shù)的定義 1.2.2單位圓與三角函數(shù)線 1.2.3同角三角函數(shù)的基本關系式 1.2.4誘導公式 1.3 三角函數(shù)的圖象與性質 1.3.1正弦函數(shù)的圖象與性質 1.3.2余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質 1.3.3已知三角函數(shù)求值 2．本單元的教學內容在模塊內容體系中的地位和作用 （1）三角函數(shù)在高中課程中的地位和作用 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它是中學數(shù)學的重要內容之一，它的認知基礎主要是幾何中圓的性質、相似形的有關知識，在數(shù)學（Ⅰ）中建立的函數(shù)概念以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究方法。主要的學習內容是三角函數(shù)是概念、圖象和性質，以及三角函數(shù)模型的簡單應用；研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析。因此，三角函數(shù)的研究已經初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了。本章所介紹的知識，既是解決生產實際問題的工具，又是學習后繼內容和高等數(shù)學的基礎，三角函數(shù)是數(shù)學中重要的數(shù)學模型之一，是研究度量幾何的基礎，又是研究自然界周期變化規(guī)律最強有力的數(shù)學工具。三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，與其他學科聯(lián)系緊密。 （2）本章知識結構 三角函數(shù)的圖象與性質 任意角的三角函數(shù) 角度制與弧度制 任意角的概念 已知三角函數(shù)值求角 誘導公式 同角三角函數(shù)關系 扇形的弧長與面積 3．本單元的教學內容總體教學目標 1）知識和技能目標 （1）任意角、弧度 　　 了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化。 （2）三角函數(shù) ①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。 　 ② 借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式（，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。 　?、?借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與軸交點等）。 ④ 理解同角三角函數(shù)的基本關系式： ⑤ 結合具體實例，了解的實際意義；能借助計算器或計算機畫出的圖象，觀察參數(shù)對函數(shù)圖象變化的影響。 ⑥會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。 2）過程與方法目標 ①用運動變化的觀點了解角的概念的推廣是解決現(xiàn)實生活和生產中實際問題的需要，通過對各種角的表示法的訓練，提高分析、抽象、概括的能力。 ②正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，通過研究三角函數(shù)的性質和圖象，進一步體會數(shù)形結合的思想方法。 ③通過圖象變換的學習，培養(yǎng)運用數(shù)形結合思想分析、理解問題的能力；培養(yǎng)利用聯(lián)系、變化的辨證唯物主義觀點去分析問題的能力。 ④結合有關內容（如角度與弧度的換算，已知角求它的三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值求角）進行算法的基本訓練，鼓勵學生運用計算器，計算機求函數(shù)值，作函數(shù)圖象，探索和解決問題。 3）情感，態(tài)度和價值觀目標 ①通過對角的概念的推廣，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣；理解并認識角度制與弧度制是辨證統(tǒng)一的，不是孤立的、割裂的。 ②通過對同角三角函數(shù)的基本關系的學習，揭示事物之間普遍聯(lián)系的規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想。 ③通過圖象變換的學習，培養(yǎng)從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍。 4．本單元的教學內容重點和難點分析 ①本單元教學內容的重點：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)的關系式，誘導公式，正弦函數(shù)的性質與圖象，函數(shù)的圖象和正弦函數(shù)圖象的關系。 （2）本單元教學內容的難點：弧度制和周期函數(shù)的概念，正弦型函數(shù)的圖象變換，綜合運用公式進行求值、化簡和證明等。 二、與本單元教學內容相適應的教學方法和教學方法概述 合理選用啟發(fā)式講授、探究性學習、合作學習等多種教學方法，結合教材特點、學生基礎確定切合教學實際的教法。 三、本單元所需教學資源的概述 幾何畫板、Excel、scilab等輔助教學軟件、人教社網站，相關資料包（光盤、試題、等） 四、本單元學時建議 1.1 任意角的概念與弧度制 2課時 1.2 任意角的三角函數(shù) 7課時 1.3 三角函數(shù)的圖象與性質 6課時 本章小結 1課時 （共計16學時，僅供參考） 1.1.1 角的概念的推廣——任意角、終邊相同的角、象限角 教學目標 『知識與技能』 1． 認識角擴充的必要性，了解任意角的概念，與過去學習過的一些容易混淆的概念相區(qū)分； 2． 能用集合和數(shù)學符號表示終邊相同的角，體會終邊相同角的周期性； 3． 能用集合和數(shù)學符號表示象限角； 4． 能用集合和數(shù)學符號表示終邊滿足一定條件的角. 『過程與方法』 1. 通過角的概念的擴充，讓學生體會動態(tài)與靜態(tài)數(shù)學觀的差異，進一步理解旋轉變換的作用； 2. 通過角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣讓學生體會在數(shù)學學科中，將概念的形式化、數(shù)量化的過程與方法，借此進一步體會數(shù)形結合的思想、方法，這是本節(jié)課的重點內容； 『情感、態(tài)度和價值觀』 通過掌握角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣的過程與方法，讓學生體會數(shù)學的抽象化、形式化等學科特點. 知識的重點 形成任意角（正角、負角、零角）、終邊相同的角、象限角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法和判定方法 知識的難點 終邊相同的角的概念、其符號表示、集合表示 教學方法 本節(jié)教學方法采用教師引導下的討論法，通過多媒體課件在教師的帶領下，學生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處，進而探索新的方法，形成新的概念，突出數(shù)形結合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學的邏輯性、思想性比較強的課. 教學過程 環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 情境引入 復習靜態(tài)數(shù)學觀下，按圖形組合方式定義角. 復習動態(tài)的數(shù)學觀指導下，按“圖形（旋轉）變換”的方式定義角. 『提問』角是數(shù)學中最常見的基本圖形之一，按圖形組合的方式來看，角是由哪些基本的圖形組成的呢？ 『解答』有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角. 『提問』不加任何描述條件，兩條共端點的射線組成幾個角？這兩個角之間有什么關系？它們的取值范圍是多少？ 『解答』兩個，和為360，0～360（大于等于0且小于360）. 『提問』在圖上我們如何區(qū)分這兩個角？ 『解答』標示、添加描述條件等 『提示』『演示』 為了解決上述問題，我們看另一種定義方式.即，一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一位置所形成的圖形叫做角. 『提問』兩種定義方式有什么異同之處？ 『解答』 角 組合式 旋轉式 邊 兩條射線 一條射線，另一邊是其經過旋轉變換的結果 頂點 公共端點 旋轉中心 個數(shù) 兩個 ？ 范圍 0～360 ？ 『思考』在旋轉式定義方式下，我們會產生這樣的質疑： 1． 一次旋轉而得的角有幾個？ 2． 兩條射線一次組合產生的兩個角，如何用旋轉的方式表示？ 3． 當旋轉超過一周時，如何描述旋轉量？ 發(fā)現(xiàn)靜態(tài)數(shù)學觀下，按“圖形組合”的方式定義角的概念有很大的局限性. 比較兩種角的定義，發(fā)現(xiàn)差異，為角的概念的推廣做準備 概念形成 任意角的概念 按照逆時針方向旋轉而成的角叫做正角； 按照順時針方向旋轉而成的角叫做負角； 當射線沒有旋轉時，叫做零角. 在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉的方向和旋轉的絕對量.旋轉生成的角，又常叫做轉角. 任意角的圖示方法 如圖(課本圖1－1)，射線OA繞端點O旋轉到OB的位置所成的角，記作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始邊，OB叫做∠AOB的終邊.以OB為始邊，OA為終邊的角記作∠BOA. 顯然，當我們用旋轉的方式定義角時，原有的角的范圍必須被擴充. 一． 任意角的概念 我們用旋轉變換的觀點來擴充角的概念，即解決旋轉變換的三個要素（旋轉中心、旋轉方向和旋轉量）對角的概念有什么影響？ （1） 旋轉方向：旋轉變換的方向分為逆時針和順時針兩種，這是一對意義相反的量，根據(jù)以往的經驗，我們可以把一對意義相反的量用正負數(shù)來表示，那么質疑一中提到的問題就可以解決了； （2） 旋轉量：當旋轉超過一周時，旋轉量即超過360，角度的絕對值可大于360.這樣質疑二中的問題就可以解決了； （3） 旋轉中心：作為角的頂點. 『板書』『畫圖』 按照逆時針方向旋轉而成的角叫做正角； 按照順時針方向旋轉而成的角叫做負角； 當射線沒有旋轉時，叫做零角. 在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉的方向和旋轉的絕對量.旋轉生成的角，又常叫做轉角. 如圖(課本圖1－1)，射線OA繞端點O旋轉到OB的位置所成的角，記作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始邊，OB叫做∠AOB的終邊.以OB為始邊，OA為終邊的角記作∠BOA. 例：∠AOB＝120，∠BOA＝－120. 以旋轉變換的要素為線索，發(fā)現(xiàn)旋轉式定義是如何擴充角的概念的 應用舉例 『例題』如圖（課本圖1－2），射線’OA繞端點O旋轉，旋轉的絕對量超過了周角，按照圖中箭頭所指的方向和弧線表示的周數(shù)，可以表示角的度數(shù). 『練習』讀角練習 教師講解，學生練習 在實踐中鞏固所學概念 概念應用 角的合成與運算問題 各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和. 二． 角的合成與運算 『例題』課本P4 『小結』各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和. 根據(jù)已有的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果把度數(shù)相同的角看成是一個角，那么角和實數(shù)之間可以形成一一對應的關系. 于是，角的合成可以用實數(shù)運算來表示. 『練習』 1． 課本P7.練習A.5題 2． 課本P6練習A.2題（3） 讓學生體會數(shù)形結合思想的應用 概念形成 如果當角與角的始邊重合時，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角. 一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記 ， 當k＝0時，兩個角相同. 終邊相同的角的集合形式： 設表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構成一個集合，這個集合可記為 如果我們固定角的始邊，因其終邊可以任意旋轉，故而可以構成任意度數(shù)的角，而通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，這些角中有很多角的邊是重合的. 因此我們定義： 三． 終邊相同的角 1． 定義 如果當角與角的始邊重合時，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角. 2． 表示方法 『思考』終邊相同的角度數(shù)相等么？反之，度數(shù)相等的角終邊相同么？ 『解答』終邊相同的角度數(shù)不一定相等；而度數(shù)相等的角終邊一定相同？ 『思考』終邊相同的兩個角的度數(shù)有什么關系？ 『解答』終邊相同的兩個角的位置關系是——兩邊重合，數(shù)量關系是——差是360的整數(shù)倍. 『思考』設是終邊相同的兩個角，如何用符號語言表示其數(shù)量關系？ 『解答』，通過變形可以得到 『小結』一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記 ， 當k＝0時，兩個角相同. 『說明』 我們來總結一下，如何把終邊相同的角的圖形變換特性轉化為數(shù)量關系形式的. 從角的旋轉式定義看，終邊相同角的本質特征是：每旋轉360的整數(shù)倍后兩角重合. 旋轉初值 整數(shù)k 形式化 旋轉次數(shù) 強調建立坐標系的方法 360 單位旋轉量 3． 終邊相同的角的集合 設表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構成一個集合，這個集合可記為 . 集合中的每一個元素都與的終邊相同，當k＝0時，對應元素為. 定義終邊相同的角 引導學生發(fā)現(xiàn)終邊相同的角的表示方法 借助終邊相同的角的表示方法，研究旋轉變換的數(shù)量表示形式，體現(xiàn)數(shù)形結合的思想與方法 應用舉例 1．寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并在0～360內找出與它們終邊相同的角. （1）－150 （2）650 （3）－95015’ 2．課本P6.例4 教師講解，學生練習 在實踐中鞏固所學概念 概念推廣 從終邊相同的角的符號表示方法推出符號表示終邊滿足一定條件的角的方法 例如， ，表示角每次旋轉180，角與角的終邊關于原點對稱. 表示角每次旋轉90，角與角的終邊關于坐標軸對稱. ※角與角－的終邊關于x軸對稱等. 四．符號表示終邊滿足一定條件的角 『例題』已知，角＝45，角的終邊與角的終邊關于原點對稱，寫出角的集合S. 『解答』 『思考』比較與角終邊相同的角的集合，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 『討論』 『小結』在中，表示旋轉初值，整數(shù)k表示旋轉次數(shù)，360表示單位旋轉量.改變這些常數(shù)，表示不同的旋轉過程.例如，表示角每次旋轉180，角與角的終邊關于原點對稱. 『思考』類似地請你自己做一些探究. 『結論』表示角每次旋轉90，角與角的終邊關于坐標軸對稱. ※角與角－的終邊關于x軸對稱等. 終邊相同的角的表示方法的推廣，即旋轉變換的數(shù)量表示形式、數(shù)形結合的思想與方法的練習，這是本節(jié)的提升點 重點在于讓學生建立起圖形變換可以通過數(shù)量關系式加以描述的觀念，并掌握具體方法 用探究所得的思想和方法解決新問題 應用舉例 『例題』課本P5.例3； 『練習』 1． 寫出終邊在y軸上的角的集合；（課本P7.練習B.1） 2． 寫出終邊在一、三象限角平分線上的角的集合.（課本P7.練習B.2） 3． 課本P7.練習B.3 教師講解，學生練習 在實踐中鞏固所學概念 概念推廣 平面內任意一個角都可以通過移動，使角的頂點和平面直角坐標系的原點重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角. 五．象限角的概念 今后我們通常在平面直角坐標系中討論角. 『定義』 平面內任意一個角都可以通過移動，使角的頂點和平面直角坐標系的原點重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角. 將任意角等概念與坐標系相結合，為三角函數(shù)做準備 應用舉例 『例題』 1． 課本P7.練習A.4 2． 課本P7.練習B.4 3． 如果用數(shù)軸上的點表示角度，象限角所對應的點如何分布？ 4． 新學案P1.例題2 教師講解，學生練習 第3題，進一步明確終邊相同的角的周期性，為三角函數(shù)做準備 總結回顧 1、 任意角的概念 2、 角的合成與運算 3、 終邊相同的角的表示方法 4、 終邊滿足一定條件的角的表示方法 5、 象限角的概念與表示方法 教師帶領學生回顧，簡單繪制本節(jié)課的知識脈絡圖 本節(jié)課概念眾多，通過梳理脈絡，幫助學生鞏固知識 作業(yè) 新學案 A組、B組 下節(jié)課通過測驗檢查作業(yè)落實情況 課后練習，鞏固所學 備注 本節(jié)所選例題超過課時限制，宜在實際操作中加以選擇 1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算 一、教學目標： 1．知識目標： （1）1弧度的角的定義；（2）弧度制的定義；（3）弧度與角度的換算；（4）角的集合與實數(shù)集R之間建立的一一對應關系；（5）弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。 2．能力目標： （1）理解弧度的意義，能正確地進行角度與弧度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；（2）了解角的集合與實數(shù)集R之間可以建立起一一對應關系；（3）掌握弧度制下的弧長公式，扇形的面積公式；（4）會利用弧度解決某些實際問題。 3．情感目標： （1）使學生認識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖然單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的，進一步加強對辯證統(tǒng)一思想的理解；（2）使學生通過總結引入弧度制的好處，學會歸納、整理并認識到任何新知識的學習都會為我們解決實際問題帶來方便，從而激發(fā)學生的學習興趣。 二、教學重點、難點： 重點：弧度的意義，弧度與角度的換算方法； 難點：理解弧度制與角度制的區(qū)別。 三、教學方法： 通過幾何畫板多媒體課件的演示，給學生以直觀的形象，使學生進一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性和可行性。從特殊到一般，是人類認識事物的一般規(guī)律，讓學生從某一個簡單的、特殊的情況開始著手，更利于教學的開展和學生思維的拓展，共同找出弧度與角度換算的方法。通過設置問題啟發(fā)引導學生觀察、分析、歸納，使學生在獨立思考的基礎上更好地進行合作交流。 四、教學過程： 教學 環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 復 學 引 入 1． 復習上節(jié)課所學角的概念。 2． 初中所學的角度制。 師：上節(jié)課我們把角的概念進行了擴充，角分為幾類？（正角、負角、零角） 師：在初中幾何里，我們學習過角的度量，1度的角是怎樣定義的呢？ 答：周角的1/360為1度的角。 師：這種用角作單位來度量角的制度叫做角度制，今天我們來學習另一種在數(shù)學和其他學科中常用的度量角的制度——弧度制。（板書課題） 共同回顧角度制，從而為下面角度制與弧度制的比較埋下伏筆。 概念 形成 概 念 形 成 1． 圓心角、弧長和半徑之間的關系： 在同心圓中，同一圓心角所對的弧與它所在圓的半徑的比值是一個常數(shù)，即 定值. 2． 定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad。這種以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的時候，弧度二字或rad可以略去不寫。 3． 與角度制相比： (1)弧度制是以“弧度”為單位的度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；（2）1弧度是弧長等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，而1度是圓周的所對的圓心角的大??；（3）弧度制是十進制，而角度制是六十進制；（4）以弧度和度為單位的角，都是一個與半徑無關的定值。 4． 公式：，表示的是在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角是 rad。 1． 角是由射線繞它的端點旋轉而成的，在旋轉的過程中射線上的必然形成一條圓弧，不同的點所形成的圓弧的長度是不同的，如圖所示，但都對應同一個圓心角。 教師用多媒體演示，引導學生思考=定值，并與學生一起探究相等的原因：設，弧長為，半徑為，則，可以看出，等式右端不含半徑，表示弧長與半徑的比值跟半徑無關，只與的大小有關。 結論：可以用圓的半徑作單位去度量角。 2． 在給出弧度的定義之后，請同學們討論弧度制與角度制的區(qū)別和聯(lián)系，教師加以概括總結。 3． 用公式求圓心角時，應強調其結果是圓心角的弧度數(shù)，并要求學生掌握此公式的變形形式：和。 1．邊演示邊說明，使學生通過圖像來獲取對新概念的直觀印象。 2．通過和學生一起探究，使學生明白新概念的由來，從而加深理解。 3．通過對比，讓學生對知識進行類比、遷移和聯(lián)想，加深對概念的理解；通過分組討論，加強學生間的交流和合作，發(fā)揮他們學習的主動性。 4．由于在物理上計算角速度時要經常用到此公式，因此要求學生掌握它及其兩個變形。 弧度制與角度制的換算 弧度制與角度制的換算 1． 用角度制和弧度制度量角，零角既是角，又是0 rad角，同一個非零角的度數(shù)和弧度數(shù)是不同的。 2． 周角的弧度數(shù)： rad 3． 換算公式： rad=, rad. 4．特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對應表 5．角的集合與實數(shù)集R之間建立起一種一一對應關系。 6．把角度值換算為弧度值的一個“算法”： （1）給變量和圓周率的近似值賦值； （2）如果角度值是以“度、分、秒”形式給出，先把化為以“度”為單位的10進制表示； （3）計算，得出的結果賦給變量； （4）計算，賦值給變量。 1． 由上面的公式可以計算給定弧長和半徑的圓心角的弧度，請同學們考慮一下，人給一個角度時怎么換算成弧度呢？反過來又該怎么做呢？ 2． 先引導學生計算周角的弧度數(shù)，在此基礎上再來考慮換算問題，并和學生一起推導出兩個換算公式。補充負角所對應的弧度數(shù)。 3． 通過學生的實際計算和運用，讓學生熟練掌握特殊角的角度和弧度的對應表。 4． 同學分組討論一下角的集合與實數(shù)集的對應關系。 答：一一對應。 問：在這兩種單位制下都是一一對應嗎？ 由于每一個角都有唯一的一個實數(shù)（角度數(shù)或弧度數(shù)）與它對應，反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角和它對應，因此，無論用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實數(shù)集R之間建立起一種一一對應關系。 5．根據(jù)上面的公式，帶領學生寫出由角度換算為弧度的算法，讓學生自己寫出由弧度換算角度的算法。 1．讓學生意識到相互轉換得必要性和重要性，激發(fā)學生積極思考問題。 2．從特殊到一般，是人類認識事物的一般規(guī)律，讓學生從某一個簡單的、特殊的情況開始著手，更利于教學的開展和學生思維的拓展。 3．觀察分析和小組討論相結合，進一步加深學生對新知識的理解和掌握。 4．寫算法一方面訓練學生的邏輯思維能力，另一方面也為后面學習算法打下基礎。 典型例題 例1 （1）把化成弧 度（精確到0.001）； （2）把化成弧度（精確到）。 例2 把化成度。 例3 扇形AOB中，所對的圓心角是，半徑是50米，求的長（精確到0.1米）。 例4 利用弧度制推導扇形面積公式其中是扇形的弧長，是扇形的半徑。 例1、例2學生板書，教師指導。 例3、例4教師講解并板書，在解題步驟的規(guī)范性上為學生做好榜樣。 關于例4，請學生思考：把扇形面積公式和三角形面積公式進行類比，你會產生什么聯(lián)想？ 通過例1和例2 讓學生掌握弧度和角度換算的方法，例3 是弧長公式的應用，例4是推導扇形面積公式，從而對相關問題的解決提供工具。 歸納小結 1．1弧度的角和弧度制的定義； 2．弧度與角度的換算； 3．弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。 讓學生談談本節(jié)課的收獲，教師歸納。 注重學生學習的自主性，發(fā)表本節(jié)課的體驗和收獲。 布置作業(yè) 層次一：教材練習A，2，4，5。 層次二：教材練習B，4；習題1-1A，2。 層次一的題目要求所有學生完成，層次二的題目要求中等以上水平的學生完成。 通過分層作業(yè)，使不同層次的學生進一步鞏固本節(jié)課所學知識。 附錄（表格和圖）： 度 弧度 1．2．1（第一課時）任意角的三角函數(shù)的定義（一） 一、 學習目標 1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義. 2.理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù). 3.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. 二、重點難點 教學重點：三角函數(shù)的定義和定義域。 教學難點：根據(jù)任意角三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 三、教學過程 教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 復習引入 1.在初中我們學習了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù): 教師提出問題：初中是如何定義角的？ 師:前面我們對角的概念進行了擴充,并學習了弧度制,知道角的集合與實數(shù)集是一一對應的,在這個基礎上,今天我們來研究任意角的三角函數(shù). 溫故知新 概念形成 1．用坐標形式表示出中所學的銳角三角函數(shù) 設點P（x,y）是銳角終邊上的任意一點，記OP=r(r≠0), 則，， 2．任意角的三角函數(shù) 設是一個任意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P(x,y) 則P與原點的距離根據(jù)三角形的相似知識得到均為定值。 比值叫做的正弦, 記作： 比值叫做的余弦, 記作： 比值叫做的正切, 記作： (4)角的其它三種三角函數(shù) 比值叫做的余切, 記作： 比值叫做的正割, 記作： 比值叫做的余割, 記作： 1. 以坐標原點為銳角的頂點,以Ox軸為角的始邊,則角的終邊落在直角坐標系的第一象限內,若設點P(x,y)始終邊上的任意一點,記OP=r(r≠0),試將角的三角函數(shù)用x,y,y表示出來. 學生作圖,教師在此過程中要引導學生在坐標系中做出符合銳角三角函數(shù)定義要求的直角三角形.該過程中要適時指點學生,并加強學生與學生之間的討論與交流. 回答問題:教師通過多媒體將此過程展示給學生,明確坐標與三角函數(shù)的關系. 2. 教師提出問題: 問題1：根據(jù)剛才我們在直角坐標系中討論的銳角三角函數(shù)，你能給出任意角的三角函數(shù)定義嗎? 由學生討論回答. 問題2: 角的三角函數(shù)值不受終邊上的點P的位置的影響嗎？ 這是一個較有思考價值的問題,教師要注意正確地引導和必要地提示,銳角三角函數(shù)的大小僅與銳角的大小有關,與直角三角形的大小無關,類似地-… 問題3: 依據(jù)函數(shù)的定義，這幾個比值可以分別構成函數(shù)嗎？若能構成，他們的自變量是什么？x還是y？r還是？ 將初中定義的銳角三角函數(shù)放到坐標系中的討論，指明研究函數(shù)問題的工具，完成從三角形到坐標系的轉化，為后面在直角坐標系中定義任意角的三角函數(shù)搭建平臺。 2．通過對比，讓學生對知識進行類比、遷移及聯(lián)想，樹立他們勇于探索的信心。通過討論，充分發(fā)揮學生學習的主動性 概念深化 1。角是“任意角”，當β=2kπ+α(k∈Z)時，β與α的同名三角函數(shù)值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值都相等。 2．定義中只說怎樣的比值叫做α的什么函數(shù)，并沒用說α的終邊在什么位置（終邊在坐標軸上的除外），即函數(shù)的定義與α的終邊位置無關。實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。 3．三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù) 4．對于正弦函數(shù)sinα=，因為r>0所以恒有意義，即α取任意實數(shù)，恒有意義，也就是說sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對于正切函數(shù)tanα=,因為x=0時，無意義，即tanα無意義，又當且僅當角α的終邊落在縱軸上時，才有x=0，所以當α的終邊不在縱軸上時，恒有意義。 現(xiàn)將它們列表如下: 三角函數(shù) 定義域 sinα R cosα R tanα {α|α≠kπ+,k∈Z } 對于第1到第3點教師要點撥,學生思考.對于第4點教師提出問題:談到函數(shù),定義域要先行.在此,對三角函數(shù)的定義與要進一步地明確,確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)就是任意角的三角函數(shù)的定義.三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),如何去確定這些函數(shù)定義域?他們的定義域是什么? 由學生討論回答 1． 讓學生明確定義是對任意角而言的，OP是角的終邊，至于是轉了幾圈,安什么方向旋轉的不清楚,也只有這樣,才能說明角是任意的. 2． 使學生明確任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:任意角的三角函數(shù)包含銳角三角函數(shù).實質上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的,銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例.所不同的是,銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的,任意角的三角函數(shù)是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的。 3． 讓學生掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。 應用舉例 例1.已知角的終邊過點P(2,-3)，求的六個三角函數(shù)值. 例2.求下列各角的六個三角函數(shù)值 （1）0 （2）π （3） 學生板演，教師對學生在解題思路和規(guī)范性方面進行指導 讓學生鞏固六種三角函數(shù)概念，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應用。 歸納小結 1。知識：三角函數(shù)的定義及其定義域 2．數(shù)學思想方法：數(shù)形結合思想；類比法。 讓學生學會學習學會反思，學會總結，重視數(shù)學思想方法在分析問題和解決問題中的作用 布置作業(yè) 層次一：教材練習A,1~3 層次二：教材習題1-2A,1,2 使學生進一步鞏固和應用所學知識 1．2．1（第二課時）任意角的三角函數(shù)的定義（二） 學習目標： 1.理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內的符號. 2.理解并掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. 教學重點：三角函數(shù)在各象限內的符號,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等 教學難點：正確理解三角函數(shù)可看作以“實數(shù)”為自變量的函數(shù) 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 復習引入 任意角的三角函數(shù)定義 教師提出問題：任意角的三角函數(shù)是如何定義的？ 溫故知新，為新課引入埋下伏筆 概念的形成 1.設是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y） 則P與原點的距離， 比值只與角的大小有關. 2．三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)。 3．三角函數(shù)值的符號的討論 ①正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負（）； ②余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負（）； ③正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負（異號）． 教師提出問題：我們發(fā)現(xiàn)這三個比值中而x,y的正負是隨象限的變 化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定請同學們探討一下三角函數(shù)值的符號是如何？ 問題2。你能否歸納出更易記憶的規(guī)律？ 學生甲：記憶法則： 第一象限全為正,二正三切四余弦. 學生乙： 為正 全正 為正 為正 學生丙： 教師點評： 由學生討論得出新的結論 應用舉例 例1.確定下列三角函數(shù)值的符號 (1) cos260 (2) (3) tan(-67220’) (4) 例2.設sinθ<0且tanθ>0,確定θ是第幾象限的角。 例3填表：如表1 學生板演，教師對學生在解題思路和規(guī)范性方面進行指導 讓學生鞏固六種三角函數(shù)的符號，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)符號中的作用。 鞏固特殊三角函數(shù)值 表1 a 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 課堂練習 1.確定下列各式的符號 (1)sin10cos240 (2)sin5+tan5 2. x取什么值時,有意義? 3. 若三角形的兩內角a，b滿足sinacosb0，則此三角形必為……（） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能 4．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（） A: sina+cosa0 B: tana-sina0 C: cosa-cota0 D: cotacsca0 5．已知q是第三象限角且，問是第幾象限角？ 6．已知，則q為第幾象限角？ 分析:由角所在象限分別判斷兩個三角函數(shù)值的符號,再確定各式的符號 分析：因為正弦、余弦函數(shù)的定義域為R，故只要考慮正切函數(shù)的定義域和分式的分母不能為零. B B ∴必為第二象限角 必為第二象限角 學生板演，教師對學生在解題思路和規(guī)范性方面進行指導 復習這兩節(jié)課有關的知識內容 歸納小結 本節(jié)課我們重點討論了,三角函數(shù)在各象限內的符號，確定函數(shù)值的符號，這個內容是我們日后學習的基礎。 讓學生學會學習學會反思，學會總結，重視數(shù)學思想方法在分析問題和解決問題中的作用 布置作業(yè) 層次一：教材練習A,4教材練習B,3,4 層次二：教材練習B,5 使學生進一步鞏固和應用所學知識 1.2.2單位圓與三角函數(shù)線 一、教學目標 1.知識目標：單位圓、有向線段的概念；正弦線、余弦線、正切線。 2.能力目標：理解并掌握單位圓、有向線段的概念，正確利用與單位圓有關的有向線段，將任意角正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來。 3.情感目標：通過三角函數(shù)的幾何表示，使學生進一步加深對數(shù)形結合思想的理解，拓展思維空間。 二、重點與難點 重點正確地用三角函數(shù)線表示任意角的三角函數(shù)值。 難點正確地用與單位圓有關的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值。 三、教學方法 講授法 講清楚單位圓、有向線段的概念，本節(jié)內容中的有向線段與坐標軸是平行的，讓學生弄清楚線段的正負與坐標軸正反方向之間的對應，以及線段的數(shù)量與三角函數(shù)值之間的對應。對理解正弦線、余弦線、正切線是突破難點的關鍵所在。 四、教學過程 教學 環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 復習導入 上節(jié)課我們學習了三角函數(shù)的 定義以及三角函數(shù)在各象限內 的符號。由三角函數(shù)的定義我 們知道對于角的各種三角 函數(shù)我們都用比值來表示，或 者說用數(shù)來表示。 今天我們再來學習正弦、余弦、 正切函數(shù)的另一種表示方法--- 幾何表示法。先看日常生活中 的一個實例：觀覽車在轉動過 程中，座椅離地面的高度隨著 轉動角度的變化而變化，高度 與轉動角度的關系如何？ 生：三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)在 各象限內的符號。 通過復習再用實 例導出今天要學 習的正弦、余弦、 正切函數(shù)的另一 種表示方法---幾 何表示法，即正 弦線、余弦線、 正切線. 預備知識 1. 單位圓概念 2. 有向線段概念 師：把半徑為1的圓叫做單位圓。 生：半徑為1中的“1”的單位是什 么 師：“半徑為1”中的“1”指的是1 個單位長，可以是1cm、1dm、1m、 1km等，都是1個單位長。即單位 圓的半徑是1（個單位長） 師：帶有方向的線段叫有向線段。 注：有向線段的數(shù)值由其長度大小和方向來決定。 單位圓概念的深刻把握。 正弦線、余弦線、正切線的定義 實例的解決 師： 邊作圖邊敘述 以觀覽車轉輪中心為原點，以水平線為軸，以轉輪半徑為1個單位長建立直角坐標系。設點P為轉輪邊緣上一點（考慮點P在不同象限的情況），它表示轉椅的位置，記為角XOP 其中 生：利用單位圓有向線段概念及正弦函數(shù)的定義可知 把有向線段OM、ON、AT（即向量）分別叫做角的余弦線、正弦線和正切線。 師：當點P在二、三、四象限的情況時，教師畫出圖，引導學生找正弦線、余弦線、正切線。 （2） （3） （4） 通過實例引出正弦線、余弦線、正切線的定義 正弦線、余弦線、正切線的應用 1.分別作出、、的正弦線、余弦線、正切線。 2.比較大?。? 和 和 和 3.已知,求。 學生作答 正弦線、余弦線、正切線的強化訓練。 歸納小結 給定任意一個角能在單位圓中作出它的正弦線、余弦線、正切線 師：三角函數(shù)線的位置 生：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直的有向線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上。三條有向線段中兩條在單位圓內，一條在單位圓外。 師：三角函數(shù)線的方向 生：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點有指向垂足；正切線由切點指向與終邊（或其反向延長線）的交點。 師：三角函數(shù)線的正負，即三條有向線段的正負。 生：凡與軸或軸同向的為正值，反向的為負值。 特殊情況： ①當角的終邊在軸上時，點P與點M重合，點T與點A重合，這是正弦線與正切線都變成了一點，數(shù)量為零，而余弦線OM=1或-1。 ②當角的終邊在軸上時，正弦線MP=1或-1余弦線變成了一點，它表示的數(shù)量為零，正切線不存在。 讓學生明確本節(jié)課的重點和要達到的要求。 布置作業(yè) 1.必修4:P21練習A、練習B。 2.課后思考題： 必修4：P21探索與研究 對本節(jié)內容及時鞏固 1.2.3 同角三角函數(shù)的基本關系式 教學目標： ⒈理解同角三角函數(shù)的基本關系式，會用解方程組的通法求三角函數(shù)值； 2．培養(yǎng)運用數(shù)形結合的思想解決有關求值問題；培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學過程中，注意培養(yǎng)學生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力． 3．通過對同角三角函數(shù)的基本關系式的學習，揭示事物間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想。 教學重點：同角三角函數(shù)的基本關系式的推導及應用(求值、化簡、恒等式證明) 教學難點：關系式在解題中的靈活運用和對學生思維靈活性的培養(yǎng). 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學方法： 本節(jié)主要涉及到兩個公式，均由三角函數(shù)定義和勾股定理推出．在教學過程中，要注意引導學生理解每個公式，懂得公式的來龍去脈，并能靈活運用。要給學生提供展示自己思路的平臺，營造自主探究解決問題的環(huán)境，把鼓勵帶進課堂，把方法帶進課堂，充分發(fā)揮學生的主體作用． 教學過程： 教學 環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 復 習 引 入 復習單位圓和三角函數(shù)線；三角函數(shù)定義和勾股定理 教師提出問題，學生回答 推出 這兩個最基本的關系式。 關 系 式 的 深 化 理 解 同角三角函數(shù)的基本關系式： “同角”的概念與角的表達形式無關，如： 當我們知道一個角的某一三角函數(shù)值時，利用這兩個三角函數(shù)關系式和三角函數(shù)定義，就可求出這個角的其余三角函數(shù)值。此外，還可用它們化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式。當然，上述關系（公式）都必須在定義域允許的范圍內成立 提問： 1．何謂“同角”？ 2．同角三角函數(shù)的基本關系式的作用，它可以用來解決哪些問題？ 3．利用同角三角函數(shù)的基本關系式解題的注意事項？ 更好地理解同角三角函數(shù)的基本關系式及功能。 應 用 舉 例 例1 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函數(shù)值． 分析：由平方關系可求cos的值，由已知條件和cos的值可以求tan的值，進而用倒數(shù)關系求得cot的值． 解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角 例2．已知，求sin、tan的值． 分析：∵cosα＜0　　∴是第二或第三象限角．因此要對所在象限分類． 當是第二象限角時， 當是第三象限時， 例3 已知 例4 化簡：. 例5化簡： 點評：三角函數(shù)化簡時，應合理利用公式，明確化簡的基本要求，盡量化為最簡形式。 例6求證： （1） （2） （3） 分析：思路1．把左邊分子分母同乘以，再利用公式變形；思路2：把左邊分子、分母同乘以（1+sinx）先滿足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需將分子轉化為零；思路4：用作商法，但先要確定一邊不為零；思路5：利用公分母將原式的左邊和右邊轉化為同一種形式的結果；思路6：由乘積式轉化為比例式；思路7：用綜合法． 證法1：左邊=右邊， ∴原等式成立 證法2：左邊=＝ ＝右邊 證法3： ∵， ∴ 證法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0， ∴ = ＝＝1， ∴． ∴左邊=右邊 ∴原等式成立． 證法6：∵＝＝＝ ∴． 證法7：∵， ∴= 例1可讓學生自己解決 例2可讓學生討論解決 學生獨立完成，并交流不同解法，比較優(yōu)劣。 提問：你怎樣理解化簡？ 證明恒等式有哪些途徑？ 由學生完成證明，展示不同證法，可能的證法除課本給出的以外，左側還給出了一些證法，供參考。 結合例6，由學生總結證明三角恒等式的常用方法。教師在證明思路和解題規(guī)范上給予指導。 例1是已知一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值的簡單應用。 體現(xiàn)分類討論的思想，比較與例1 的異同。 體現(xiàn)方程的思想 展示不同的解題方法，培養(yǎng)學生靈活應用公式的能力和思辯的能力。 體會如何運用公式化簡，明確化簡的目標。 三角函數(shù)式的化簡是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡的最基本解題原則。 通過討論探究，培養(yǎng)發(fā)散思維，提高綜合運用知識思考、解決問題的能力。 體驗證明的過程就是通過化簡與消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一。 小 結 1． 理解同角的含義 2． 掌握公式及公式的變形 3． 靈活應用公式解決簡單的求值、化簡和證明。 4． 本節(jié)課在思想方法上的收獲 師生共同完成 關注學生的自主體驗，總結反思本節(jié)課在知識、方法上的體驗、收獲。 作 業(yè) 層次一：課本P25 A組 層次二：課本P25 B組 鞏固本節(jié)所學內容 1.2.4（第一課時） 誘導公式 教學目標： 1． 借助單位圓的直觀性探索正弦、余弦、正切的誘導公式，并掌握其應用； 2． 經歷由幾何特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系的學習過程，培養(yǎng)數(shù)形結合的分析問題能力；通過獨立探討公式，培養(yǎng)抽象概括能力；了解對稱變換思想在研究數(shù)學問題中的應用，初步形成用對稱變換思想思考問題的習慣。 3． 揭示事物間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想 教學重點：誘導公式(一)、（二）的探究、推導及利用誘導公式進行簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡和恒等式的證明。 教學難點：在單位圓中對所討論角與a角終邊位置關系特點發(fā)現(xiàn)對稱性提出研究方法 教學方法與學習指導策略建議 這一部分知識的學習，建議主要以師生互動為主。多給學生一些感性認識，通過討論、辨析獲得對知識更深層次的理解。 教學過程： 教學 環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 復 習 引 入 復習三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線 直角坐標系中，的終邊相同，由三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等，即公式（一）： 指出結構特征和作用： 這組公式可以統(tǒng)一概括為的形式，其特征是：等號兩邊是同名函數(shù)，且符號都為正 由這組公式還可以看出，三角函數(shù)是“多對一”的單值對應關系，明確了這一點，為今后學習函數(shù)的周期性打下基礎 誘導公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為0―360之間角的正弦、余弦、正切 例1 求下列各三角函數(shù)值： 教師運用多媒體展示三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線 共同探討公式（一）的結構特征和作用 由教師提問，學生相互交流，教師糾正、完善。 由學生完成 如何求的三角函數(shù)值呢？ 共同回顧，為新課做準備。 理性地把握公式 體會誘導公式的作用。 將問題一般化,轉化為探索與的三角函數(shù)間關系 概 念 形 成 與 深 化 引導學生利用單位圓和三角函數(shù)線從中心對稱圖形和軸對稱圖形這兩個重要的幾何性質出發(fā)，探尋所求角與角終邊的位置關系，得到函數(shù)值之間關系。如圖，點P與點P關于x軸對稱．已知。 拓展延伸：如何利用對稱變換思想研究與的三角函數(shù)間關系？ 討論交流：談談你對研究誘導公式的思想方法的認識。 給學生思考、研究的時間，由學生發(fā)現(xiàn)所求角與角終邊的位置關系，得到函數(shù)值之間關系。 鼓勵學生自主探究，教師做適當點撥。 師生適當討論交流，解決不了的問題可留做課后思考。 使學生理解旋轉的合成與對稱之間的關系 讓學生經歷由幾何直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系的學習過程，體驗如何把角的終邊具有的特定位置關系轉化為三角函數(shù)值之間的關系，了解對稱變換思想在研究數(shù)學問題中的應用。 應 用 舉 例 例2 求下列各三角函數(shù)值： （例題答案參考課本） 學生獨立完成，并交流解題心得。 解題關鍵是找出題中各角與銳角的關系，轉化為求銳角的三角函數(shù)值。 歸 納 小 結 1．誘導公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系．在求任意角的三角函數(shù)值，解決有關的三角變換等方面有重要的作用． 2．誘導公式（一）、（二）的內容、 3．研究誘導公式的思想方法 師生共同總結、交流、完善 讓學生學會學會學習，養(yǎng)成自己歸納、總結的習慣，重視數(shù)學思想方法在分析解決問題中的應用。 布 置 作 業(yè) 課本P27 A 學生獨立完成 鞏固所學知識、方法。 1.2.4 （第二課時）角與的三角函數(shù)關系 一、教學目標 知識目標 要求學生掌握誘導公