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2019-2020年高中數(shù)學《充分條件與必要條件》教案7 新人教A版選修2-1 一、教學目標設計 理解充要條件的意義,能在簡單的問題情境中判斷條件的充分必要性；掌握判斷命題的條件的充要性的方法；在充要條件的學習過程中，形成等價轉(zhuǎn)化思想。 二、教學重點與難點 理解充要條件意義及給定兩個命題之間的等價（充要）關(guān)系的判斷既是本節(jié)重點，也是本節(jié)難點。 三、教學流程設計 鞏固練習 例題解析 充要條件 (概念形成) 復習引入 概念解釋 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 四、教學過程設計 一、復習引入 問：一個命題條件的充分性和必要性可分為四類，有哪四類？ 答：充分不必要條件；必要不充分條件；既充分又必要條件；既不充分也不必要條件。 練習： 判斷下列各命題條件的充分性和必要性 (1)若x>0則x2>0（充分不必要條件）。 (2)若兩個角相等，則兩個角是對頂角（必要不充分條件）。(3)若三角形的三條邊相等，則三角形的三個角相等。(充分必要條件) (4)若x是4 的倍數(shù)，則x是6的倍數(shù)（既不充分又不必要條件） （5）若a，b為實數(shù)，，則。(充分必要條件) 二、概念形成 1、結(jié)合問題進行說明：命題（3）中：因為三角形的三條邊相等三角形的三個角相等，所以“三角形的三條邊相等”是“三角形的三個角相等”的充分條件；又因為三角形的三個角相等三角形的三條邊相等，所以“三角形的三條邊相等”又是“三角形的三個角相等”的必要條件。因此“三角形的三條邊相等”是“三角形的三個角相等”既充分又必要的條件。 2、充要條件定義 一般地，如果既有α?β，又有β?α，就記作：α?β（“?”叫做等價符號），那么α既是β的充分條件，又是β的必要條件，我們稱為α是β的充分而且必要條件，簡稱充要條件。 [說明] ①可以解釋為α?β，α與β互為充要條件。②可以進一步解釋為：有它必行，無它必不行。③可以結(jié)合實例解釋為：如|x| = |y|與x2 = y2互為充要條件，即若|x|=|y|，則一定有 x2 = y2；若|x|≠|(zhì)y|，則一定有x2 ≠ y2。 三、概念運用與深化（例題解析） 例1： 指出下列各組命題中，α是β的什么條件（在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種）？（補充例題） （1）α：(x-2)(x-3)=0；β：x-2=0. （2）α：同位角相等；β：兩直線平行。 （3）α：x=3； β：x2=9。 （4）α：四邊形的對角線相等；β：四邊形是平形四邊形。 解：（1）因x-2=0 (x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0?x-2=0. 所以α是β的必要而不充分條件。 （2）因同位角相等?兩直線平行，所以α是β的充要條件。 （3）因x=3x2=9,而x2=9?x=3，所以α是β的充分而不必要條件。 （4）因四邊形的對角線相等?四邊形是平行四邊形，又四邊形是平四邊形?四邊形的對角線相等。所以α是β的既不充分也不必要條件。 [說明]①可組織學生通過討論解答各題。②等價關(guān)系與推出關(guān)系一樣具有可傳遞性，充要條件間的關(guān)系即等價關(guān)系，可通過多次等價關(guān)系傳遞性得證，這也是證明充要條件問題的一種基本方法。 例2：已知實系數(shù)一元二次方程（），“”是“方程有兩個相等的實數(shù)根”的什么條件？為什么？（課本例題P21例5） 解：方程變形為. ∵ ∴ ∴“”是“方程有兩個相等的實數(shù)根”的充分條件。 反過來，方程有兩個相等的實數(shù)根，那么根據(jù)方程根與系數(shù)關(guān)系得 ∴ ∴“”是“方程有兩個相等的實數(shù)根”的必要條件。 綜上所述“”是“方程有兩個相等的實數(shù)根”的充要條件。 [說明]充分性證明：條件?結(jié)論；必要性證明：結(jié)論?條件。 四、鞏固練習 課本P/22——練習1.5（2）1，2 補充練習 1、判斷下列各命題條件是否是充要條件： (1)x是6的倍數(shù)，則x是2的倍數(shù)。（充分不必要條件） (2)x是2的倍數(shù)，則x是6的倍數(shù)。（必要不充分條件） (3)x既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，則x是6的倍數(shù)。(充要條件) (4)x是4的倍數(shù)，則x是6的倍數(shù)。（既不充分又不必要條件） 2、完成下列表格 α β α是β的什么條件 ab≠0 a≠0 (x+1)(y-2)=0 x=-1或y=2 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等實根 △=b2-4ac>0 x=1或x=-3 x2+2x-3=0 a2-b2=0 a=0 m是4的倍數(shù) m是2的倍數(shù) 五、課堂小結(jié) 內(nèi)容小結(jié) 本節(jié)課的主要內(nèi)容是“充要條件”的判定方法，即如果α?β，又有β?α，則α是β的充要條件。 方法小結(jié) 如何判斷充要條件 判別步驟： ① 認清條件和結(jié)論。 ② 考察p?q和q?p的真假。 判別技巧： ① 可先簡化命題。 ② 否定一個命題只要舉出一個反例即可。 ③ 將命題轉(zhuǎn)化為等價的逆否命題后再判斷。 六、課后作業(yè) 1、書面作業(yè)：習題1.5 ----4,5,6,7,8,9 2、完成下列表格 α β α是β的什么條件 n是自然數(shù) n是整數(shù) x>5 x>3 m、n是奇數(shù) m +n是偶數(shù) a>b a2>b2 3、思考題：設集合M={x|x>2},P={x|x<3},則“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么條件？（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件） 七、設計說明 1．在理解充要條件意義時，應明確若α是β的充要條件，則β也是α的充要條件。 2．由于“充要條件”與“原命題、逆命題、否命題、逆否命題”緊密相關(guān)。而學生在這之前已經(jīng)學習了原命題與逆否命題、否命題與逆命題是等價的。為此，在實際教學中，可通過等價命題進行判斷。 3．回答α是β的什么條件時，應從α是β的充分但不必要條件，必要但不充分條件，充要條件，即不充分又不必要條件4個方面進行明確敘述。 4．由于這節(jié)課概念性、理論性較強。一般的教學使學生感到枯燥無味。為此，激發(fā)學生的學習興趣是關(guān)鍵。把課堂由老師當演員轉(zhuǎn)為學生當演員，以學生為主，讓學生自己構(gòu)造數(shù) 學題，自我感知數(shù)字美，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。