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2019-2020年高中數(shù)學復習講義 第九章 圓錐曲線 定義 標準方程 【知識圖解】 圓錐曲線 雙曲線 橢圓 拋物線 幾何性質 定義 幾何性質 標準方程 定義 幾何性質 標準方程 圓錐曲線應用 【方法點撥】 解析幾何是高中數(shù)學的重要內容之一，也是銜接初等數(shù)學和高等數(shù)學的紐帶。而圓錐曲線是解析幾何的重要內容，因而成為高考考查的重點。研究圓錐曲線，無外乎抓住其方程和曲線兩大特征。它的方程形式具有代數(shù)的特性，而它的圖像具有典型的幾何特性，因此，它是代數(shù)與幾何的完美結合。高中階段所學習和研究的圓錐曲線主要包括三類：橢圓、雙曲線和拋物線。圓錐曲線問題的基本特點是解題思路比較簡單清晰，解題方法的規(guī)律性比較強，但是運算過程往往比較復雜，對學生運算能力，恒等變形能力，數(shù)形結合能力及綜合運用各種數(shù)學知識和方法的能力要求較高。 1. 一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質. 2.著力抓好運算關，提高運算與變形的能力，解析幾何問題一般涉及的變量多，計算量大，解決問題的思路分析出來以后，往往因為運算不過關導致半途而廢，因此要尋求合理的運算方案，探究簡化運算的基本途徑與方法，并在克服困難的過程中，增強解決復雜問題的信心，提高運算能力. 3.突出主體內容，要緊緊圍繞解析幾何的兩大任務來學習：一是根據(jù)已知條件求曲線方程，其中待定系數(shù)法是重要方法，二是通過方程研究圓錐曲線的性質，往往通過數(shù)形結合來體現(xiàn)，應引起重視. 4.重視對數(shù)學思想如方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想的歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程 第1課　橢圓A 【考點導讀】 1. 掌握橢圓的第一定義和幾何圖形,掌握橢圓的標準方程,會求橢圓的標準方程,掌握橢圓簡單的幾何性質; 2. 了解運用曲線方程研究曲線幾何性質的思想方法；能運用橢圓的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題. 【基礎練習】 1．已知△ABC的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是 2.橢圓的離心率為 3.已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 4. 已知橢圓的離心率，則的值為 【范例導析】 例1.（1）求經(jīng)過點，且與橢圓有共同焦點的橢圓方程。 （2）已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，點P（3,0）在該橢圓上，求橢圓的方程。 【分析】由所給條件求橢圓的標準方程的基本步驟是：①定位,即確定橢圓的焦點在哪軸上；②定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;③寫出方程. 解：（1）∵橢圓焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為（）， 由橢圓的定義知， ， ∴，又∵，∴， 所以，橢圓的標準方程為。 （2）方法一：①若焦點在x軸上，設方程為， ∵點P（3,0）在該橢圓上∴即又，∴∴橢圓的方程為. ②若焦點在y軸上，設方程為， ∵點P（3,0）在該橢圓上∴即又，∴∴橢圓的方程為 方法二：設橢圓方程為.∵點P（3,0）在該橢圓上∴9A=1，即,又∴，∴橢圓的方程為或. 【點撥】求橢圓標準方程通常采用待定系數(shù)法，若焦點在x軸上，設方程為，若焦點在y軸上，設方程為，有時為了運算方便，也可設為，其中 . 例2.點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。 （1）求點P的坐標； （2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值。 【分析】①列方程組求得P坐標；②解幾中的最值問題通?？赊D化為函數(shù)的最值來求解，要注意橢圓上點坐標的范圍. 解：（1）由已知可得點A(－6,0),F(0,4) 設點P(,),則=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得 則2+9－18=0, =或=－6. 由于>0,只能=,于是=. ∴點P的坐標是(,) (2) 直線AP的方程是－+6=0. 設點M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又－6≤≤6,解得=2. 橢圓上的點(,)到點M的距離有 , 由于－6≤≤6, ∴當=時,d取得最小值 點撥:本題考查了二次曲線上的動點與定點的距離范圍問題，通常轉化為二次函數(shù)值域問題. 【反饋練習】 1.如果表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（0，1） 2.設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 3.橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的7倍 4.若橢圓的離心率,則的值為 5.．橢圓的右焦點到直線的距離為 6.與橢圓具有相同的離心率且過點（2，-）的橢圓的標準方程是或 7.橢圓上的點到直線的最大距離是 8. 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程． 分析：討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設求出和（或和）的值．從而求得橢圓方程． 解：設兩焦點為、，且，． 從橢圓定義知．即． 從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，， 可求出，，從而． ∴所求橢圓方程為或． 第2課　橢圓B 【考點導讀】 1. 掌握橢圓的第二定義,能熟練運用兩個定義解決橢圓的有關問題; 2. 能解決橢圓有關的綜合性問題. 【基礎練習】 1.曲線與曲線的（D） A 焦點相同 B 離心率相等 C準線相同 D 焦距相等 2.如果橢圓上的點A到右焦點的距離等于4,那么點A 到兩條準線的距離分別是 3 離心率，一條準線為的橢圓的標準方程是 【范例導析】 例1.橢圓（a>b>0）的二個焦點F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點，且。 求離心率e的取值范圍. 分析:離心率與橢圓的基本量a、b、c有關，所以本題可以用基本量表示橢圓上點的坐標，再借助橢圓橢圓上點坐標的范圍建立關于基本量的不等式，從而確定離心率的范圍. 解：設點M的坐標為(x，y)，則，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ① 又由點M在橢圓上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。 ∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。 又∵0＜＜1，∵≤≤1. 例2.如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列. (1)求該弦橢圓的方程； (2)求弦AC中點的橫坐標. 例2 分析：第一問直接可有第一定義得出基本量a，從而寫出方程；第二問涉及到焦半徑問題，可以考慮利用第二定義的得出焦半徑表達式，結合等差數(shù)列的定義解決. 解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3. 故橢圓方程為=1. (2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)， 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2,由此得出：x1+x2=8. 設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0==4. 【反饋練習】 1.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為 2．已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F1作傾斜角為的弦AB，則△F2AB的面積為 3.已知正方形，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為 4.橢圓上的點P到它的左準線的距離是10，那么點P 到它的右焦點的距離是 12 5.橢圓上不同三點，，與焦點的距離成等差數(shù)列． 求證:； 證明：由橢圓方程知，，． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，∴ ． 同理 ． ∵ ，且， ∴ ，即 ． 第3課　雙曲線 【考點導讀】 1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,了解其幾何性質 2. 能用雙曲線的標準方程和幾何性質解決一些簡單的實際問題. 【基礎練習】 1.雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則 2. 方程表示雙曲線，則的范圍是 3．已知中心在原點，焦點在y軸的雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為 4. 已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，則雙曲線的標準方程為 【范例導析】 例1. (1) 已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標分別為，求雙曲線的標準方程; （2）求與雙曲線共漸近線且過點的雙曲線方程及離心率． 分析：由所給條件求雙曲線的標準方程的基本步驟是：①定位,即確定雙曲線的焦點在哪軸上；②定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值;③寫出方程. 解：（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為①； ∵點在雙曲線上，∴點的坐標適合方程①。 將分別代入方程①中，得方程組： 將和看著整體，解得， ∴即雙曲線的標準方程為。 點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。 （2）解法一：雙曲線的漸近線方程為： 當焦點在x軸時，設所求雙曲線方程為 ∵，∴ ① ∵在雙曲線上 ∴ ② 由①－②，得方程組無解 當焦點在y軸時，設雙曲線方程為 ∵，∴ ③ ∵在雙曲線上，∴ ④ 由③④得， ∴所求雙曲線方程為：且離心率 解法二：設與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為： ∵點在雙曲線上，∴ ∴所求雙曲線方程為：，即． 點評：一般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程求雙曲線方程較為方便．通常是根據(jù)題設中的另一條件確定參數(shù)． 例2. 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上) 解：如圖: 以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=3404=1360 由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上， 依題意得a=680, c=1020， y x o A B C P 用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 例2 答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處. 例3.雙曲線的焦距為2c，直線過點（a，0）和（0，b），且點（1，0）到直線的距離與點（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍. 解：直線的方程為，即 由點到直線的距離公式，且，得到點（1，0）到直線的距離， 同理得到點（－1，0）到直線的距離 由 即 于是得 解不等式，得 由于所以的取值范圍是 點撥：本小題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質以及綜合運算能力. 【反饋練習】 1.雙曲線的漸近線方程為 2.已知雙曲線的離心率為，焦點是，，則雙曲線方程為 3.已知雙曲線的兩個焦點為，，P是此雙曲線上的一點，且，，則該雙曲線的方程是 4. 設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線左右焦點，若=3,則=7 5.與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程 6. （1）求中心在原點，對稱軸為坐標軸經(jīng)過點且離心率為的雙曲線標準方程． （2）求以曲線和的交點與原點的連線為漸近線，且實軸長為12的雙曲線的標準方程． 解：（1）設所求雙曲線方程為：，則， ∴，∴，∴所求雙曲線方程為 （2）∵，∴或，∴漸近線方程為 當焦點在軸上時，由且，得． ∴所求雙曲線方程為 當焦點在軸上時，由，且，得． ∴所求雙曲線方程為 7.設雙曲線的半焦距為，直線過、兩點，且原點到直線的距離為，求雙曲線的離心率． 分析：由兩點式得直線的方程，再由雙曲線中、、的關系及原點到直線的距離建立等式，從而解出的值． 解：由過兩點，，得的方程為． 由點到的距離為，得． 將代入，平方后整理，得． 令，則．解得或． 而，有．故或． 因，故， 所以應舍去．故所求離心率． 說明：此題易得出錯誤答案：或．其原因是未注意到題設條件，從而離心率．而，故應舍去． 8.已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點． （1）求雙曲線方程；（2）若點在雙曲線上，求證：； （3）對于（2）中的點，求的面積． 解：（1）由題意，可設雙曲線方程為，又雙曲線過點，解得 ∴ 雙曲線方程為； （2）由（1）可知，，， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， 又點在雙曲線上， ∴ ， ∴ ， 即； （3） ∴的面積為6． 第4課　拋物線 【考點導讀】 1.了解拋物線的定義,掌握拋物線標準方程的四種形式和拋物線的簡單幾何性質. 2.會用拋物線的標準方程和幾何性質解決簡單的實際問題. 【基礎練習】 1.焦點在直線x－2y－4=0上的拋物線的標準方程是 2.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為 3.拋物線的焦點坐標是__(a,0)_ 4.拋物線上與焦點的距離等于9的點的坐標是 5．點是拋物線上一動點，則點到點的距離與到直線的距離和的最小值 【范例導析】 例1. 給定拋物線y2=2x，設A（a，0），a＞0，P是拋物線上的一點，且｜PA｜=d，試求d的最小值． 解：設P（x0，y0）（x0≥0），則y02=2x0， ∴d=｜PA｜= ==． ∵a＞0，x0≥0， ∴（1）當0＜a＜1時，1－a＞0， 此時有x0=0時，dmin==a． （2）當a≥1時，1－a≤0， 此時有x0=a－1時，dmin=． 例2.如圖所示，直線和相交于點M，⊥，點，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到的距離與到點N的距離相等，若△AMN為銳角三角形，，，且，建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線段C的方程． 分析：因為曲線段C上的任一點是以點N為焦點，以為準線的拋物線的一段，所以本題關鍵是建立適當坐標系，確定C所滿足的拋物線方程． 例2 解：以為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系． 由題意，曲線段C是N為焦點，以為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為曲線段的兩端點． ∴設曲線段C滿足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標 令則， ∴由兩點間的距離公式，得方程組： 解得或 ∵△AMN為銳角三角形，∴，則， 又B在曲線段C上， 則曲線段C的方程為 【反饋練習】 1.拋物線的準線方程是 2.拋物線的焦點到其準線的距離是 3.設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A為拋物線上的一點，若，則點A的坐標為 4.拋物線上的點到直線距離的最小值是 5.若直線l過拋物線(a>0)的焦點，并且與y軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4，則a= 6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長. 解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系， 如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(－10，－4）、(10，－4） 設拋物線方程為x2=－2py,將A點坐標代入，得100=－2p(－4),解得p=12.5, 于是拋物線方程為x2=－25y. 第6題 由題意知E點坐標為(2，－4)，E′點橫坐標也為2，將2代入得y=－0.16,從而|EE′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米. 7.已知拋物線的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸，且過點P（2,2），過F的直線交拋物線于A，B兩點.（1）求拋物線的方程； （2）設直線l是拋物線的準線，求證：以AB為直徑的圓與直線l相切． 分析：可設拋物線方程為．用待定系數(shù)法求得方程，對于第二問的證明只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準線相切. 解：（1）設拋物線的方程，將（2，2）代入得∴所求拋物線方程為 （2）證明：作于于．M為AB中點，作于，則由拋物線的定義可知： 在直角梯形中： ，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準線相切． 點撥：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離，以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交． 第5課　圓錐曲線的統(tǒng)一定義 【考點導讀】 1. 了解圓錐曲線的第二定義. 2. 能用第二定義解決簡單的圓錐曲線問題. 【基礎練習】 1.拋物線的焦點的坐標是, 準線方程是 2..如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是2 3.若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則= 4.點M與點F的距離比它到直線:的距離小1,則點的軌跡方程是 【范例導析】 例1.已知雙曲線的漸近線方程為，兩條準線間的距離為，求雙曲線標準方程． 分析：（可根據(jù)雙曲線方程與漸近線方程的關系，設出雙曲線方程，進而求出雙曲線標準方程． 解：∵雙曲線漸近線方程為，∴設雙曲線方程為 ①若，則， ∴準線方程為：，∴，∴ ②若，則， ∴準線方程為：，∴，∴ ∴所求雙曲線方程為：或 點撥：求圓錐曲線方程時，一般先由條件設出所求方程，然后再根據(jù)條件列出基本的方程組解方程組得出結果. 例2.已知點，，在雙曲線上求一點，使的值最?。? 解：∵，，∴，∴ 設點到與焦點相應準線的距離為則 ∴，∴ 至此，將問題轉化成在雙曲線上求一點， 使到定點的距離與到準線距離和最?。? 即到定點的距離與準線距離和最小為直線垂直于準線時， 解之得，點． 點撥：靈活巧妙地運用雙曲線的比值定義于解題中，將會帶給我們意想不到的方便和簡單．教學中應著重培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力． 【反饋練習】 1.若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的，則 2.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為 3.已知雙曲線的一條準線為，則該雙曲線的離心率為 4　雙曲線右支點上的一點P到右焦點的距離為2，則P點到左準線的距離為 8 第6課　圓錐曲線綜合 【考點導讀】 1. 在理解和掌握圓錐曲線的定義和簡單幾何性質的基礎上,把握有關圓錐曲線的知識內在聯(lián)系,靈活地運用解析幾何的常用方法解決問題. 2. 通過問題的解決,理解函數(shù)與方程、等價轉化、數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想. 3. 能夠抓住實際問題的本質建立圓錐曲線的數(shù)學模型,實現(xiàn)實際問題向數(shù)學問題的轉化,并運用圓錐曲線知識解決實際問題. 【基礎練習】 1. 給出下列四個結論： ①當a為任意實數(shù)時，直線恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是； ②已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為，則雙曲線的標準方程是； ③拋物線； ④已知雙曲線，其離心率，則m的取值范圍是（－12，0）。 其中所有正確結論的個數(shù)是4 2.設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為 3.如果橢圓的弦被點(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是 【范例導析】 例1. 已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。 （I）證明為定值； （II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。 解：（1）F點的坐標為(0,1)設A點的坐標為 B點的坐標為 由可得 因此 過A點的切線方程為 (1) 過B點的切線方程為 (2) 解(1)( 2)構成的方程組可得點M的坐標,從而得到=0 即為定值 （2）=0可得三角形面積 所以 當且僅當時取等號 點撥：本題主要考察共線向量的關系,曲線的切線方程,直線的交點以及向量的數(shù)量積等知識點 涉及均值不等式,計算較復雜.難度很大 【反饋練習】 1.已知雙曲線的中心在原點，離心率為.若它的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是 2.設分別是雙曲線的左、右焦點．若點在雙曲線上，且，則 3.設P是橢圓上一點，、 是橢圓的兩個焦點，則的最小值是 4.已知以F1（2,0），F(xiàn)2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為 5. 雙曲線C與橢圓的焦點相同，離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線的方程是 6.已知橢圓與雙曲線在第一象限內的交點為，則點到橢圓右焦點的距離等于__2 _ 7.如圖，點A是橢圓C：的短軸位于x軸下方的端點，過A作斜率為1的直線交橢圓于B點，點P在y軸上，且BP∥x軸，＝9,若點P的坐標為(0，1)，求橢圓C的方程. 8.在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．求圓的方程. 解：設圓心坐標為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則 =2 即=4 ① 又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得 m2+n2=8 ② 聯(lián)立方程①和②組成方程組解得 故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8 9.已知動圓過定點，且與直線相切，其中,求動圓圓心的軌跡的方程. 解：如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等 由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線 所以軌跡方程為； 第9題