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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.2《簡單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4 【教學(xué)目標(biāo)】 1會用已學(xué)公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（公式不要求記憶）， 2使學(xué)生進一步提高運用轉(zhuǎn)化、換元、方程等數(shù)學(xué)思想解決問題的能力. 【導(dǎo)入新課】 習(xí)引入：復(fù)習(xí)倍角公式、、 先讓學(xué)生默寫三個倍角公式，注意等號兩邊角的關(guān)系，特別注意.既然能用單角 表示倍角，那么能否用倍角表示單角呢？ 新授課階段 半角公式的推導(dǎo)及理解 ： 例1、 試以表示． 解析：我們可以通過二倍角和來做此題．（二倍角公式中以a代2a，代a） 解：因為，可以得到； 因為，可以得到． 兩式相除可以得到． 點評：⑴以上結(jié)果還可以表示為： 并稱之為半角公式（不要求記憶），符號由角的象限決定. ⑵降倍升冪公式和降冪升倍公式被廣泛用于三角函數(shù)式的化簡、求值、證明. ⑶代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換，三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系他們的適當(dāng)公式，這是三角式恒等變換的重要特點. 例2 求證： （１）； （２）． 解析：回憶并寫出兩角和與兩角差的正余弦公式，觀察公式與所證式子的聯(lián)系. 證明：（１）因為和是我們所學(xué)習(xí)過的知識，因此我們從等式右邊著手． ；． 兩式相加得； 即； （２）由（１）得①；設(shè)， 那么． 把的值代入①式中得． 點評：在例２證明中用到了換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還有六個關(guān)于積化和差、和差化積的公式． 例３ 求函數(shù)的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡，再求相應(yīng)的值. 解： ， 所以，所求的周期，最大值為２，最小值為． 點評：例３是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例，它使三角函數(shù)中對函數(shù)的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡三角函數(shù)式中的作用． 課堂小結(jié) 用和（差）角公式、倍角公式進行簡單的恒等變換.我們要對三角恒等變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識，學(xué)會靈活運用． 作業(yè) 課本p143 習(xí)題3.2 A組1、（1）（5） 3 、5 拓展提升 1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，則cos2α－sin2β的值為（ ） A．－ B．－ C． D． 2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，則△ABC是（ ） A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．不等邊三角形 D．直角三角形 3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），則α－β等于（ ） A．－ B．－ C． D． 4．已知cos（α+β）cos（α－β）=，則cos2α－sin2β的值為（ ） A．－ B．－ C． D． 5．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，則△ABC是（ ） A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．不等邊三角形 D．直角三角形 6．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），則α－β等于（ ） A．－ B．－ C． D． 7．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，則cos2α－cos2β等于（ ） A．－m B．m C．－4m D．4m 二、填空題 8．sin20cos70+sin10sin50=_________． 9．已知α－β=，且cosα+cosβ=，則cos（α+β）等于_________． 三、解答題 10．已知f（x）=－+，x∈（0，π）． （1）將f（x）表示成cosx的多項式； （2）求f（x）的最小值． 12．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B，，求cos的值． 13． 已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b， 求證：（2cos2A+1）2=a2+b2． 14． 求證：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α． 15． 求函數(shù)y=cos3xcosx的最值． 參考答案 一、選擇題：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空題：8． 9．－ 三、解答題 10．解：（1）f（x）==cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1． （2）∵f（x）=2（cosx+）2－，且－1≤cosx≤1， ∴當(dāng)cosx=－時，f（x）取得最小值－． 11 分析：本小題考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，利用三角公式進行恒等變形和運算的能力． 解：由題設(shè)條件知B=60，A+C=120， ∵－=－2， ∴=－2． 將上式化簡為cosA+cosC=－2cosAcosC， 利用和差化積及積化和差公式，上式可化為 2coscos=－［cos（A+C）+cos（A－C）］， 將cos=cos60=，cos（A+C）=cos120=－代入上式得cos=－cos（A－C）， 將cos（A－C）=2cos2（）－1代入上式并整理得4cos2（）+2cos－3=0， 即［2cos－］［2cos+3］=0． ∵2cos+3≠0，∴2cos－=0． ∴cos=． 12．證明：由已知得 ∴ 兩式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2． 13．證明：左邊=（1+cos2x）+［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α） =1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］ =1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α =1－cos2α=sin2α =右邊， ∴原不等式成立． 14．解：y=cos3xcosx =（cos4x+cos2x） =（2cos22x－1+cos2x） =cos22x+cos2x－ =（cos2x+）2－． ∵cos2x∈［－1，1］， ∴當(dāng)cos2x=－時，y取得最小值－； 當(dāng)cos2x=1時，y取得最大值1．