《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題5-1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題5-1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題5.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算 【考情分析】 1.了解向量的實(shí)際背景； 2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示； 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義； 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義； 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義. 【重點(diǎn)知識(shí)梳理】 知識(shí)點(diǎn)一 向量的有關(guān)概念 名稱(chēng) 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模) 平面向量是自由向量 零向量 長(zhǎng)度為0的向量 記作0，其方向是任意的 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單

2、位向量為 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量) 0與任一向量平行或共線 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不相等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 知識(shí)點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則　　 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與

3、向量a的積的運(yùn)算 |λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 知識(shí)點(diǎn)三 共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.,向量概念的4點(diǎn)注意 (1)注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|0. (2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的模相等，但方向不一定相同． (3)零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時(shí)要注意它們的特殊性． 比如：命題“若a∥b

4、，b∥c，則a∥c”是假命題，因?yàn)楫?dāng)b為零向量時(shí)，a，c可為任意向量，兩者不一定平行． (4)任一組平行向量都可以平移到同一直線上． 【特別提醒】向量線性運(yùn)算的3點(diǎn)提醒 (1)兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量． (2)利用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同的起點(diǎn)． (3)當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用． 【拓展提升】共線向量定理的深解讀 定理中限定了a≠0，這是因?yàn)槿绻鸻＝0，則λa＝0， (1)當(dāng)b≠0時(shí)，定理中的λ不存在； (2)當(dāng)b＝0時(shí)，定理中的λ不唯一． 因此限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性．

5、 知識(shí)點(diǎn)四 必備結(jié)論 1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋＝.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量． 2.在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論： (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)； (3) ＝(＋)＝(＋)． 3．若＝λ＋μ (λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1. 4．對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有：①|(zhì)|a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2

6、＋|b|2)．當(dāng)a，b不共線時(shí)：①的幾何意義是三角形中的任意一邊的長(zhǎng)小于其他兩邊長(zhǎng)的和且大于其他兩邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值；②的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長(zhǎng)與兩對(duì)角線的長(zhǎng)之間的關(guān)系． 【典型題分析】 高頻考點(diǎn)一 平面向量的有關(guān)概念 【例1】（2020江蘇啟東中學(xué)模擬）給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小； ③若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【答案】A　 【解析】①錯(cuò)誤．兩向

7、量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。坼e(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，無(wú)論λ為何值，λa＝.④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)，a與b可以是任意向量． 【歸納總結(jié)】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn) (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度． (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制． (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等． (4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度． (5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線． 【變式探究】（2020湖南長(zhǎng)沙二中模擬）對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是

8、“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A　 【解析】若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b. 若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件． 高頻考點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算 【例2】 (2018全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D．＋ 【答案】A 【解析】作出示意圖如圖所示．＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－. 【方法技巧】向量線性運(yùn)算的解題策略 (1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般

9、共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解． 【變式探究】[2017全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)非零向量a，b滿(mǎn)足|a＋b|＝|a－b|，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|＞|b| 【答案】A 【解析】解法一：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2ab＝a2＋b2－2ab. ∴ab＝0.∴a⊥b. 故選A. 解法二：利用向量加法的平行四邊形法則． 在?ABCD中，設(shè)＝a，＝

10、b， 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||， 從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故選A. 高頻考點(diǎn)三 根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù) 【例3】(2020山東棗莊模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，則λ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 【答案】D　 【解析】由＝λ可知－＝λ(－)， ∴＝＋， 又＝－＋， ∴ 解得λ＝－3，故選D. 【方法技巧】解決此類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較求參數(shù)的值. 【變式探究】(2020河北廊坊模擬) 在△ABC中，點(diǎn)M

11、，N滿(mǎn)足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝ ；y＝ . 【答案】　－　 【解析】＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－ ＝x＋y， ∴x＝，y＝－。 高頻考點(diǎn)四 共線向量定理的應(yīng)用 【例4】（2020河南商丘模擬）已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B　 【解析】設(shè)E是BC邊的中點(diǎn)，則(＋)＝，由題意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因?yàn)锽，O，D三點(diǎn)共線，所以＋＝1，解得t＝，故選B. 【方法技巧】利用共線向量定理解題的方法 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共

12、線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用． (2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．即A，B，C三點(diǎn)共線?，共線． (3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0. (4)＝λ＋μ (λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1. 【變式探究】(2020廣東惠州質(zhì)檢) 已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與向量b共線，則(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 【答案】D　 【解析】因?yàn)橄蛄縠1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因?yàn)橄蛄縜和b共線，存在實(shí)數(shù)k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0。