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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1《數(shù)學(xué)歸納法》教案（1） 新人教版選修4-5 教學(xué)目標(biāo) 1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力． 2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3．抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析． 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解． 教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）引入 師：從今天開始，我們來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．什么是數(shù)學(xué)歸納法呢？應(yīng)該從認(rèn)識什么是歸納法開始． （板書課題：數(shù)學(xué)歸納法） （二）什么是歸納法（板書） 師：請看下面幾個問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)． 問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦？ （可準(zhǔn)備一袋白球、問題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好） 生：把它倒出來看一看就可以了． 師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做？ 生：一個一個拿，拿一個看一個． 師：對．問題的結(jié)果是什么呢？ （演示操作過程） 第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球． a2，a3，a4。的值，再推測通項(xiàng)an的公式．（問題由小黑板或投影幻燈片給出） 師：同學(xué)們解決以上兩個問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？ 生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法． 特點(diǎn)是由特殊→一般（板書）． 師：很好！其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數(shù)列的前四項(xiàng)，求它的一個通項(xiàng)公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式用的也是歸納法，今后的學(xué)習(xí)還會看到歸納法的運(yùn)用． 在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法． 還應(yīng)該指出，問題1和問題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個球，全看了，由此而得到了結(jié)論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然數(shù)有無數(shù)個，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測，得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法． （三）歸納法的認(rèn)識（板書） 歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）． 師：用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點(diǎn)勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3． 問題3：對于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大?。▎栴}由小黑板或投影幻燈片給出） （給學(xué)生一定的計(jì)算、思考時(shí)間） 生：經(jīng)過計(jì)算，我的結(jié)論是：對任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）． 師：你計(jì)算了幾個數(shù)得到的結(jié)論？ 生：4個． 師：你算了n=1，n=2，n=3，n=4這4個數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧？ 生：對． 師：有沒有不同意見？ 生：我驗(yàn)了n=8，這時(shí)有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結(jié)論不對吧！ 師：那你的結(jié)論是什么呢？ （動員大家思考，糾正） 生：我的結(jié)論是： 當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，7n-3＜6（7n+9）； 當(dāng)n=6，7，8，…時(shí)，7n-3＞6（7n+9）． 師：由以上的研究過程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀? 首先要仔細(xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個數(shù)，就作推測．請把你們計(jì)算結(jié)果填入下表內(nèi)： 師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測，決不是亂猜．要注意對數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析．由上表可看到，當(dāng)n依1，2，3，4，…變動時(shí)，相應(yīng)的7n-3的值以后一個是前一個的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相應(yīng)值的增長速度還不到2倍．完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，7n-3＞6（7n+9）會成立的． 師：對問題3推測有誤的同學(xué)完全不必過于自責(zé)，接受教訓(xùn)就可以了．其實(shí)在數(shù)學(xué)史上，一些世界級的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時(shí)，也曾有過失誤． 資料1（事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀） 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)． 但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的． 18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了225+1=4 294 967 297=6 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測． 師：有的同學(xué)說，費(fèi)馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個上！ 再請看數(shù)學(xué)史上的另一個資料（仍由學(xué)生閱讀）： 資料2 f（n）=n2+n+41，當(dāng)n∈N時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)？ f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61， f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131， f（10）=151，… f（39）=1 601． 但是f（40）=1 681=412是合數(shù) 師：算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯的原因，并研究出對策來． 師：歸納法為什么會出錯呢？ 生：完全歸納法不會出錯． 師：對！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢？ 生：由于用不完全歸納法時(shí)，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢？ 生：應(yīng)該予以證明． 師：大家同意吧？對于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．對于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明． （四）歸納與證明（板書） 師：怎么證明呢？請結(jié)合以上問題1思考． 生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了． 師：也可以換個角度看，12個球，一一驗(yàn)看了，這一一驗(yàn)看就可以看作證明．?dāng)?shù)學(xué)上稱這種證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類討論的思想． 師：如果這里不是12個球，而是無數(shù)個球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢？ （稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來） 師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科．他運(yùn)用遞推的思想予以證明． 結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球． 然后再構(gòu)造一個命題予以證明．命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”． 這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性． 大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？ 生：是．第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第四次、……拿出的都是白球． 師：對．它使一個原來無法作出一一驗(yàn)證的命題，用一個推一個的遞推思想得到了證明． 生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？ 生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲． （有條件可放一段此種游戲的錄相） 師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條： （1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒； （2）第一張牌被推倒． 用這種思想設(shè)計(jì)出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法． （五）數(shù)學(xué)歸納法（板書） 師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？ 生：先證n=1時(shí)，公式成立（第一步）； 再證明：若對某個自然數(shù)（n=k）公式成立，則對下一個自然數(shù)（n=k+1）公式也成立（第二步）． 師：這兩步的證明自己會進(jìn)行嗎？請先證明第一步． （應(yīng)追問各步計(jì)算推理的依據(jù)） 師：再證明第二步．先明確要證明什么？ 師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基本要求． 師：請小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟． 生：共兩步（學(xué)生說，教師板書）： （1）n=1時(shí)，命題成立； （2）設(shè)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立． 師：其實(shí)第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命題：當(dāng)n=6，7，8，…時(shí)，7n-3＞6（7n+9）．第一步應(yīng)證明n=6時(shí)，不等式成立． （若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時(shí)間可布置學(xué)生課下思考） （六）小結(jié) 師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下： （1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法． （2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種． （3）由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行． （4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步． 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí)． （七）課外作業(yè) （1）閱讀課本P112～P115的內(nèi)容． （2）書面作業(yè)P115練習(xí)：1，3． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來的問題，等等．為此，我們設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)． 數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認(rèn)識開始，到對不完全歸納法的認(rèn)識，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個步驟結(jié)束． 把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試． 2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究． 3．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個條件． 即n=k+1時(shí)等式也成立． 這是不正確的．因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k，n=k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應(yīng)改為 以上理解不僅是正確認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維方向．