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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末檢測3 蘇教版選修1-2 一、填空題 1．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的________條件． 答案　充分不必要 解析　因?yàn)閦1＝z2， 所以 解得m＝1或m＝－2， 所以m＝1是z1＝z2的充分不必要條件． 2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為________． 答案　1－2i 解析　＝＝＝1＋2i，其共軛復(fù)數(shù)為1－2i. 3．已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a＝________. 答案　1 解析?。剑绞羌兲摂?shù)，則a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1. 4．若(x－i)i＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi＝________. 答案　2＋i 解析　∵(x－i)i＝y(tǒng)＋2i，xi－i2＝y(tǒng)＋2i，∴y＝1，x＝2， ∴x＋yi＝2＋i. 5．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________． 答案　4－4i 解析　因?yàn)椋?，對?yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，＝－＝－(＋)，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i. 6．(1＋i)20－(1－i)20的值是________． 答案　0 解析　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 7．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為________． 答案　 解析　因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝＝＋i， 故z的虛部等于. 8．設(shè)x＝3＋4i，則復(fù)數(shù)z＝x－|x|－(1－i)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第________象限． 答案　二 解析　∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5， ∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第二象限． 9．若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2＋4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 答案　(4，－2) 解析　z＝＝4－2i對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，－2)． 10．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，則集合{f(n)}的元素個(gè)數(shù)是________． 答案　3 解析　f(n)有三個(gè)值0,2i，－2i. 11．復(fù)平面內(nèi)，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(3,4) 解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，解得31＋i； ③虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是純虛數(shù)； ④若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則其虛部不存在； ⑤若z＝，則z3＋1對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第一象限． 答案　⑤ 解析　由y∈?CR，知y是虛數(shù)，則不成立，故①錯(cuò)誤；兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小，故②錯(cuò)誤；原點(diǎn)也在虛軸上，表示實(shí)數(shù)0，故③錯(cuò)誤；實(shí)數(shù)的虛部為0，故④錯(cuò)誤；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，故⑤正確． 14．下列是關(guān)于復(fù)數(shù)的類比推理： ①復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則； ②由實(shí)數(shù)絕對值的性質(zhì)|x|2＝x2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2＝z2； ③已知a，b∈R，若a－b＞0，則a＞b類比得已知z1，z2∈C，若z1－z2＞0，則z1＞z2； ④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義． 其中推理結(jié)論正確的是________． 答案　①④ 二、解答題 15．設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，當(dāng)m為何值時(shí)， (1)z是實(shí)數(shù)？(2)z是純虛數(shù)？ 解　(1)要使復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，需滿足，解得m＝－2或－1.即當(dāng)m＝－2或－1時(shí)，z是實(shí)數(shù)． (2)要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，需滿足， 解得m＝3.即當(dāng)m＝3時(shí)，z是純虛數(shù)． 16．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝，z2的虛部為2. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積． 解　(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 由已知條件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi. ∵z2的虛部為2，∴2ab＝2. ∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i. (2)當(dāng)z＝1＋i時(shí)，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i， ∴點(diǎn)A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)， ∴S△ABC＝AC1＝21＝1. 當(dāng)z＝－1－i時(shí)，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. ∴點(diǎn)A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)， ∴S△ABC＝AC1＝21＝1. ∴△ABC的面積為1. 17．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求實(shí)數(shù)a，b的值． 解　z＝＝＝ ＝＝1－i. 將z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得 (1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i， 即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i， ∴∴ 18．已知復(fù)數(shù)z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，且a為常數(shù)，試求|z|的最小值g(a)的表達(dá)式． 解　|z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2. 令t＝2x＋2－x，則t≥2，且22x＋2－2x＝t2－2. 從而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2. 當(dāng)－a≥2，即a≤－2時(shí)，g(a)＝； 當(dāng)－a<2，即a>－2時(shí)，g(a)＝ ＝|a＋1|. 綜上可知，g(a)＝ 19．已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝. (1)求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡； (2)求z為何值時(shí)|z|有最小值，并求出|z|的最小值． 解　(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)， 由|z－z0|＝得： |x＋yi－(2＋2i)| ＝|(x－2)＋(y－2)i|＝， 解得：(x－2)2＋(y－2)2＝2. ∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以Z0(2,2)為圓心，為半徑的圓． (2)當(dāng)Z點(diǎn)在OZ0的連線上時(shí)，|z|有最大值或最小值． ∵OZ0＝2，半徑為. ∴當(dāng)z＝1＋i時(shí)，|z|min＝. 20．設(shè)存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足下列條件： (1)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限； (2)z＋2iz＝8＋ai(a∈R)． 試求a的取值范圍． 解　設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，則＝x－yi. 由(1)知x＜0，y＞0. 又由(2)z＋2iz＝8＋ai(a∈R)，得 (x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai(a∈R)， 即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai(a∈R)， 所以 所以4(y－1)2＝36－a2. 因?yàn)?(y－1)2≥0，所以36－a2≥0， 即a2≤36，所以－6≤a≤6. 又因?yàn)閍＝2x，而x＜0，所以a＜0， 所以－6≤a＜0. 故所求a的取值范圍是[－6,0)．