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2019-2020年高中數(shù)學 第一章《常用邏輯用語》全部教案 北師大版選修2-1 一、教學目標：１、知識與技能：理解命題的概念和命題的構成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若p，則q”的形式；２、過程與方法：多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；３、情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。 二、教學重點與難點：重點：命題的概念、命題的構成；難點：分清命題的條件、結論和判斷命題的真假。 三、教學方法：探析歸納，講練結合 三、教學過程 （一）、復習回顧：初中已學過命題的知識，請同學們回顧：什么叫做命題？ （二）、探析新課 1、思考、分析：下列語句的表述形式有什么特點？你能判斷他們的真假嗎？ （1）若直線a∥b，則直線a與直線b沒有公共點．（2）2+4=7．（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行．（４）若x2=1,則x=1．（５）兩個全等三角形的面積相等．（６）３能被２整除． 2、討論、判斷：學生通過討論，總結：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話都判斷什么事情。其中（1）（3）（5）的判斷為真，（2）（4）（6）的判斷為假。 教師的引導分析：所謂判斷，就是肯定一個事物是什么或不是什么，不能含混不清。 3、抽象、歸納：定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題． 命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句． 在數(shù)學課中，只研究數(shù)學命題，請學生舉幾個數(shù)學命題的例子． 教師再與學生共同從命題的定義，判斷學生所舉例子是否是命題，從“判斷”的角度來加深對命題這一概念的理解． 4、練習、深化：判斷下列語句是否為命題？ （１）空集是任何集合的子集．（２）若整數(shù)a是素數(shù)，則是a奇數(shù)．（３）指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？ （４）若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行．（５）＝－２．（６）x＞１５． 讓學生思考、辨析、討論解決，且通過練習，引導學生總結：判斷一個語句是不是命題，關鍵看兩點：第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個條件缺一不可．疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題．解略。 引申：以前，同學們學習了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學們可否舉出一些定理、推論的例子來看看？ 通過對此問的思考，學生將清晰地認識到定理、推論都是命題． 過渡：同學們都知道，一個定理或推論都是由條件和結論兩部分構成（結合學生所舉定理和推論的例子，讓學生分辨定理和推論條件和結論，明確所有的定理、推論都是由條件和結論兩部分構成）。緊接著提出問題：命題是否也是由條件和結論兩部分構成呢？ 5、命題的構成――條件和結論：定義：從構成來看，所有的命題都具由條件和結論兩部分構成．在數(shù)學中，命題常寫成“若p，則q”或者 “如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題結論． 6、練習、深化：指出下列命題中的條件p和結論q，并判斷各命題的真假． （１）若整數(shù)a能被２整除，則a是偶數(shù)．（２）若四邊行是菱形，則它的對角線互相垂直平分． （３）若a＞0，b＞0，則a+b＞0．（４）若a＞0，b＞0，則a+b＜0．（５）垂直于同一條直線的兩個平面平行． 此題中的（１）（２）（３）（４），較容易，估計學生較容易找出命題中的條件p和結論q，并能判斷命題的真假。其中設置命題（３）與（４）的目的在于：通過這兩個例子的比較，學更深刻地理解命題的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結果是對的還是錯的。 此例中的命題（５），不是“若P，則q”的形式，估計學生會有困難，此時，教師引導學生一起分析：已知的事項為“條件”，由已知推出的事項為“結論”．解略。 過渡：從例２中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結論是正確的，而有些命題的結論是錯誤的，那么我們就有了對命題的一種分類：真命題和假命題． 7、命題的分類――真命題、假命題的定義． 真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做真命題． 假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做假命題． 強調(diào)：(１)注意命題與假命題的區(qū)別．如：“作直線AB”．這本身不是命題．也更不是假命題． (２)命題是一個判斷，判斷的結果就有對錯之分．因此就要引入真命題、假命題的的概念，強調(diào)真假命題的大前提，首先是命題。 8、怎樣判斷一個數(shù)學命題的真假？(１)數(shù)學中判定一個命題是真命題，要經(jīng)過證明．(２)要判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可． 9、練習、深化：例３：把下列命題寫成“若P，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題： （１） 面積相等的兩個三角形全等。 （２） 負數(shù)的立方是負數(shù)。 （３） 對頂角相等。 分析：要把一個命題寫成“若P，則q”的形式，關鍵是要分清命題的條件和結論，然后寫成“若條件，則結論”即“若P，則q”的形式．解略。 （三）、課堂練習：Ｐ４　?。?、３ （四）、課堂總結　　師生共同回憶本節(jié)的學習內(nèi)容． 　　1．什么叫命題？真命題？假命題？　　 2．命題是由哪兩部分構成的？ 　　3．怎樣將命題寫成“若P，則q”的形式．　　4．如何判斷真假命題． 教師提示應注意的問題：1．命題與真、假命題的關系．2．抓住命題的兩個構成部分，判斷一些語句是否為命題．３．判斷假命題，只需舉一個反例，而判斷真命題，要經(jīng)過證明． （五）、作業(yè)：P9：習題1．１Ａ組第1題 五、教后反思： 第二課時 1.1.2四種命題　1.1.3四種命題的相互關系 一、教學目標：1、知識與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式和四種命題間的相互關系，會用等價命題判斷四種命題的真假． 2、過程與方法：多讓學生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學生抽象概括能力和思維能力．3、情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的舉例，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力． 二、教學重點與難點 重點：（1）會寫四種命題并會判斷命題的真假；（2）四種命題之間的相互關系． 難點：（1）命題的否定與否命題的區(qū)別；（2）寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題；（3）分析四種命題之間相互的關系并判斷命題的真假． 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習引入：初中已學過命題與逆命題的知識，請同學回顧：什么叫做命題的逆命題？ （二）、探析新課 1、思考、分析：問題1：下列四個命題中，命題（1）與命題（2）、（3）、（4）的條件與結論之間分別有什么關系？（1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)．（2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)．（3）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)．（4）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)． 2、歸納總結：問題一通過學生分析、討論可以得到正確結論．緊接結合此例給出四個命題的概念，（１）和（２）這樣的兩個命題叫做互逆命題，（１）和（３）這樣的兩個命題叫做互否命題，（１）和（４）這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。 3、抽象概括：定義１：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題．讓學生舉一些互逆命題的例子。定義２：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題．讓學生舉一些互否命題的例子。定義３：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題．讓學生舉一些互為逆否命題的例子。 小結：（1）交換原命題的條件和結論，所得的命題就是它的逆命題；（2）同時否定原命題的條件和結論，所得的命題就是它的否命題；（3）交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題就是它的逆否命題．強調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對的。 4、四種命題的形式：讓學生結合所舉例子，思考：若原命題為“若P，則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應分別寫成什么形式？ 學生通過思考、分析、比較，總結如下：原命題：若P，則q．則：逆命題：若q，則P． 否命題：若￢P，則￢q．（說明符號“￢”的含義：符號“￢”叫做否定符號．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命題：若￢q，則￢P． 5、練習鞏固：寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假： （１） 若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等； （２） 若一個整數(shù)的末位數(shù)字是０，則這個整數(shù)能被５整除； （３） 若x2=1,則x=1； （４） 若整數(shù)a是素數(shù)，則是a奇數(shù)。 6、思考、分析：結合以上練習思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關系？ 通過此問，學生將發(fā)現(xiàn)：①原命題為真，它的逆命題不一定為真。②原命題為真，它的否命題不一定為真。③原命題為真，它的逆否命題一定為真。 原命題為假時類似。結合以上練習完成下列表格： 原 命 題 逆 命 題 否 命 題 逆 否 命 題 真 真 假 真 假 真 假 假 由表格學生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總是具有相同的真假性． 由此會引起我們的思考：一個命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關系呢？讓學生結合所做練習分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關系． 學生通過分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關系如下圖所示： 7、總結歸納 若P，則q． 若q，則P． 原命題 互 逆 逆命題 互 否 互 為 否 逆 互 否 為 互 逆 否 否命題 逆否命題 互 逆 若￢P，則￢q． 若￢q，則￢P． 由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關系如下： （1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； （2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系． 由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題． （三）、例題分析：例4： 證明：若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2． 分析：如果直接證明這個命題比較困難，可考慮轉化為對它的逆否命題的證明。 將“若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p + q ＞2，則p2 + q2 ≠2”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的． 證明：若p ＋ q ＞2，則 　　p2 ＋ q2　?。剑郏╬ －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞２２＝２ 所以p2 ＋ q2≠2．這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。 練習鞏固：證明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，則a－b≠１． （四）、課堂總結：（１）逆命題、否命題與逆否命題的概念；（２）兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性；（３）兩個命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關系；（４）原命題與它的逆否命題等價；否命題與逆命題等價． （五）、作業(yè)　　P9：習題1．１Ａ組第２、３、４題 五、教后反思： 第三課時 1．2.1充分條件與必要條件 一、教學目標:1.知識與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；會判斷命題的充分條件、必要條件．2.過程與方法：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力． ３．情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育． 二、教學重點與難點 重點：充分條件、必要條件的概念．(解決辦法：對這三個概念分別先從實際問題引起概念，再詳細講述概念，最后再應用概念進行論證．) 難點：判斷命題的充分條件、必要條件 關鍵：分清命題的條件和結論，看是條件能推出結論還是結論能推出條件 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 (一)、創(chuàng)設情境 當某一天你和你的媽媽在街上遇到老師的時候，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”.那么，大家想一想這個時候你的媽媽還會不會補充說：“你是她的孩子”呢？不會了！為什么呢？因為前面你所介紹的她是你的媽媽就足于保證你是她的孩子.那么，這在數(shù)學中是一層什么樣的關系呢？今天我們就來學習這個有意義的課題—充分條件與必要條件. （二）、活動嘗試 問題1：前面討論了“若p則q”形式的命題的真假判斷，請同學們判斷下列命題的真假，并說明條件和結論有什么關系？ （1）若x＝y(tǒng)，則x2＝y(tǒng)2（2）若ab = 0，則a = 0（3）若x2>1，則x>1（4）若x＝1或x＝2，則x2－3x＋2＝0 推斷符號“”的含義： “若p則q”為真，是指由p經(jīng)過推理可以得出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立，記作pq，或者qp；如果由p推不出q，命題為假，記作pq. 簡單地說，“若p則q”為真，記作pq（或qp）；“若p則q”為假，記作pq（或qp）. （三）、師生探究 命題(1)、 (4)為真，是由p經(jīng)過推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此時可記作“pq”，命題(2)、（3）為假，是由p經(jīng)過推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此時可記作“pq.” 說明： “pq”表示“若p則q”為真，可以解釋為：如果具備了條件p，就是以保證q成立，即表示“p蘊含q”。 （四）、歸納概括 1.什么是充分條件？什么是必要條件？ 一般地，如果已知pq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件；如果已知pq，且qp，那么就說：p是q的充分且必要條件，簡記充要條件；如果已知pq，那么就說：p不是q的充分條件；q不是p的必要條件； 回答上述命題(1)(2)(3)(4)中的條件關系. 命題(1)中因x＝y(tǒng) x2＝y(tǒng)2，所以“x＝y(tǒng)”是“x2＝y(tǒng)2”的充分條件，“x2＝y(tǒng)2”是“x＝y(tǒng)”的必要條件；x2＝y(tǒng)2x＝y(tǒng)，所以“x2＝y(tǒng)2”不是“x＝y(tǒng)”的充分條件，“x＝y(tǒng)”不是“x2＝y(tǒng)2”的必要條件； 命題(2)中因a = 0 ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分條件.“ab = 0”是“a = 0”的必要條件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分條件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要條件； 命題(3)中，因“x>1x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分條件，“x2>1”是“x>1”的必要條件. x2>1 x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分條件，“x>1”不是“x2>1”的必要條件. 命題4)中，因x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分條件. 由上述命題的充分條件、必要條件的判斷過程，可確定命題按條件和結論的充分性、必要性可分為四類：(1)充分不必要條件，即pq，而q p.(2)必要不充分條件，即：p q，而qp. (3)既充分又必要條件，即pq，又有qp.(4)既不充分又不必要條件，即p q，又有q p. 2.充分條件與必要條件的判斷：（1）直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結論是相對的）（2）利用等價命題關系判斷：“pq”的等價命題是“qp”。即“若┐q┐p成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”。 （五）、鞏固運用 例1 指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：兩條直線平行；q：內(nèi)錯角相等. （3） p：a>b；q：a2>b2 （4）p：四邊形的四條邊相等；q：四邊形是正四邊形. 分析：可根據(jù)“若p則q”與“若q則p”的真假進行判斷. 解：⑴由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分條件，q是p的必要條件. ⑵由pq，即兩條直線平行內(nèi)錯角相等，知p是q的充要條件，q是p的充要條件； ⑶由pq，即a>b a2>b2，知p不是q的充分條件，q不是p的必要條件；qp，即a2>b2a>b，知q不是p的充分條件，p不是q的必要條件.綜述：p是q的既不充分條件又不必要條件。 ⑷由q p，即四邊形是正四邊形四邊形的四條邊相等，知q是p的充分條件，p是q的必要條件. 由pq，即四邊形的四條邊相等四邊形是正四邊形，知p不是q的充分條件，q不是p的必要條件；綜述：p是q的必要不充分條件。 以上是直接利用定義由原命題判斷充分條件與必要條件的方法.那么，如果由命題不是很好判斷的話，我們可以換一種方式，根據(jù)互為逆否命題的等價性，利用它的逆否命題來進行判斷. 例2(補)如圖1，有一個圓A，在其內(nèi)又含有一個圓B. 請回答： ⑴命題：若“A為綠色”，則“B為綠色”中，“A為綠色”是“B為綠色”的什么條件；“B為綠色”又是“A為綠色”的什么條件. ⑵命題：若“紅點在B內(nèi)”，則“紅點一定在A內(nèi)”中，“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的什么條件；“紅點在A內(nèi)”又是“紅點在B內(nèi)”的什么條件. 解法1(直接判斷)：⑴∵“A為綠色B為綠色”是真的，∴由定義知，“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件. ⑵如圖2⑴，∵“紅點在B內(nèi)紅點在A內(nèi)”是真的，∴由定義知，“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的充分條件；“紅點在A內(nèi)”是“紅點在B內(nèi)”的必要條件. 解法2(利用逆否命題判斷)：⑴它的逆否命題是：若“B不為綠色”則“A不為綠色”. ∵“B不為綠色 A不為綠色”為真，∴“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件. ⑵它的逆否命題是：若“紅點不在A內(nèi)”，則“紅點一定不在B內(nèi)”. 如圖2⑵，∵“紅點不在A內(nèi)紅點一定不在B內(nèi)”為真，∴“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的充分條件；“紅點在A內(nèi)”是“紅點在B內(nèi)”的必要條件. 如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？下面我們以例2為例來說明. 先說充分性：說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的.例如，說“A為綠色”是“B為綠色”的一個充分條件，就是說“A為綠色”，它足以保證“B為綠色”.它符合上述的“若p則q”為真（即pq）的形式. 再說必要性：必要就是必須，必不可少.從例2的圖可以看出，如果“B為綠色”，A可能為綠色，A也可能不為綠色.但如果“B不為綠色”，那么“A不可能為綠色”.因此，必要條件簡單說就是：有它不一定，沒它可不行.它滿足上述的“若非q則非p”為真（即┐q┐p）的形式. 總之，數(shù)學上的充分條件、必要條件的“充分”、“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”、“必要”意義相近，不過，要準確理解它們，還是應該以數(shù)學定義為依據(jù). 例2的問題，若用集合觀點又怎樣解釋呢？請同學們想一想. 給定兩個條件p ,q，要判斷p是q的什么條件，也可考慮集合：A={x |x滿足條件q},B={x |x滿足條件p}①AB,則p為q的充分條件，q為p的必要條件；②BA, 則p為q的充要條件，q為p的充要條件； （六）、回顧反思 本節(jié)主要學習了推斷符號“”的意義，充分條件與必要條件的概念，以及判斷充分條件與必要條件的方法.（1）若pq（或若┐q┐p），則p是q的充分條件；若qp（或若┐p┐q），則p是q的必要條件.（2）條件是相互的；（3）p是q的什么條件，有四種回答方式： ① p是q的充分而不必要條件；② p是q的必要而不充分條件； ③ p是q的充要條件； ④ p是q的既不充分也不必要條件。 （七）、練習鞏固：P12 練習 第1、2、3、4題 （八）、作業(yè)： P14：習題1.2A組第1(1)(2),2(1)(2)題 注：（1）條件是相互的；（2）p是q的什么條件，有四種回答方式： ① p是q的充分而不必要條件；② p是q的必要而不充分條件；③ p是q的充要條件；④ p是q的既不充分也不必要條件． 五、教后反思： 第四課時 1.2.2充要條件 一、教學目標 1.知識與技能目標：（1）、正確理解充要條件的定義,了解充分而不必要條件, 必要而不充分條件, 既不充分也不必要條件的定義．（2）、正確判斷充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、 既不充分也不必要條件.（3）、通過學習，使學生明白對條件的判定應該歸結為判斷命題的真假,． 2.過程與方法目標：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學生思維能力的嚴密性品質(zhì)． 3. 情感、態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生的學習熱情，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神． 二、教學重點與難點 重點：1、正確區(qū)分充要條件；2、正確運用“條件”的定義解題 難點：正確區(qū)分充要條件． 三、教學過程 （一）、復習提問 1.什么叫充分條件？什么叫必要條件？說出“”的含義 2.指出下列各組命題中，“pq”及“qp”是否成立 （1）p：內(nèi)錯角相等 q：兩直線平行 （2）p：三角形三邊相等 q：三角形三個角相等 （二）、探析新課 1、（通過復習提問直接引入課題）充要條件定義： 一般地，如果既有pq，又有qp，就記作：pq。 這時，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件 點明思路：判斷p是q的什么條件，不僅要考查pq是否成立，即若p則q形式命題是否正確，還得考察qp是否成立，即若q則p形式命題是否正確。 2、辨析題：（學生討論并解答，教師引導并歸納） 思考：下列各組命題中，p是q的什么條件： 1) p： x是6的倍數(shù)。 q：x是2的倍數(shù) 2) p： x是2的倍數(shù)。 q：x是6的倍數(shù) 3) p： x是2的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)。q：x是6的倍數(shù) 4) p： x是4的倍數(shù) q：x是6的倍數(shù) 總結：1) pq 且q≠> p 則 p是q的充分而不必要條件 2) qp 且p≠>q 則p 是q 的必要而不充分條件 3) pq 且qp 則q 是p的充要條件 4) p≠>q 且q≠>p則 p是 q的既不充分也不必要條件 強調(diào)：判斷p是q的什么條件，不僅要考慮pq是否成立，同時還要考慮qp是否成立。 且p是q的什么條件，以上四種情況必具其一. 3、鞏固強化 例題：指出下列各命題中，p是q的什么條件： 1) p：x>1 q：x>2 2) p：x>5 q：x>-1 3) p：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=0 4) p：x=3 q：=9 5) p：x=1 q：x-1=0 解：1） ∵x>1≠> x>2 但x>2x>1 ∴ p是q的必要而不充分條件 2) ∵x>5x>-1 但x>-1≠> x>5 ∴p是q的充分而不必要條件 3) ∵(x-2)(x-3)=0 ≠>x-2=0但 x-2=0(x-2)（x-3）=0 ∴p是q的必要而不充分條件 4) ∵x=3x=9 但x=9 ≠>x=3 ∴ p是q的充分而不必要條件 5) ∵x= 1x-1=0 且x=1x=1 ∴p是q的充要條件 通過例題引導同學觀察歸納：當p、q分別從集A、B合出現(xiàn)時若AB但B不包含于A，即A 是B的真子集，則p是q的充分而不必要條件；若AB 但A不包含于B， 即B是A的真子集，則p是q的必要而不充分條件；若AB且BA 即A=B 則p是q的充要條件；若A不包含于B，且B不包含于A，則p是q的既不充分也不必要條件 總結判斷p是q的什么條件：方法1：考察pq 及qp 是否成立。即：判斷若p則q形式命題及若q則p形式命題真假.方法2：集合觀點 4、拓展聯(lián)系：1）請舉例說明：p是q的充分而不必要條件；p是q的必要而不充分條件 p是q的既不充分也不必要條件；p是q的充要條件 2）從 “充分而不必要條件” “必要而不充分條件” “充要條件” “既不充分也不必要條件”中選出適當一種填空： ①“aN”是“aZ”的 ②“a≠0”是“ab≠0”的 ③“x=3x+4”是“x=”的 ④“四邊相等”是“四邊形是正方形”的 3）判斷下列命題的真假： ①“a>b”是“a>b”的充分條件；②“a>b”是“a>b”的必要條件；③“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件；④“a>b”是“ac>bc”的充分條件 （點題：舉反例在說明p≠>q或q≠>p時應用） （三）、鞏固提高：（學生討論，師生共同完成） 1、若甲是乙的充分而不必要條件，丙是乙的充要條件,丁是丙的必要而不充分條件，問丁是甲的什么條件？ 2、求證：關于X的方程ax+bx+c=0(a≠0)有兩個符號相反且不為零的實根充要條件是ac<0 3、已知 P： ≤ 2 ，q：x-2x+1-m≤0 (m>0)且p是q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍。 （點題：依據(jù)：若p則q命題與其逆否命題若q則p同真假，由qp且p≠>q，知pq且q≠>p） （四）、小結 （學生回顧所學內(nèi)容并小結,教師補充完善） （1) 充要條件：若pq 且qp則p是q的充要條件 （2） 判斷p是q 的什么條件，不僅要考察pq是否成立，還要考察qp是否成立 （3） 判斷pq是否成立， 思路1： 判斷若p則q形式命題真假 ；思路2： 若p則q形式命題真假難判斷時 判斷其逆否命題真假；思路3： 集合的觀點 （五）、作業(yè)：P1４：習題1.2A組第1(3)(2),2(3),3題 五、教后反思： 1.3簡單的邏輯聯(lián)結詞 第五課時1.3.1 且與或 一、教學目標：1.知識與技能目標：（1）掌握邏輯聯(lián)結詞“或、且”的含義；（2）正確應用邏輯聯(lián)結詞“或、且”解決問題；（3）掌握真值表并會應用真值表解決問題。2．過程與方法目標：在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重學生思維的嚴密性品質(zhì)的培養(yǎng)．3.情感態(tài)度價值觀目標：激發(fā)學生的學習熱情，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神． 二、教學重點與難點 重點：通過數(shù)學實例，了解邏輯聯(lián)結詞“或、且”的含義，使學生能正確地表述相關數(shù)學內(nèi)容。難點：1、正確理解命題“P∧q”“P∨q”真假的規(guī)定和判定．2、簡潔、準確地表述命題“P∧q”“P∨q”. 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、引入：在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯．具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質(zhì)的重要方面．數(shù)學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的數(shù)學比初中更強調(diào)邏輯性．如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經(jīng)常犯邏輯性的錯誤．其實，同學們在初中已經(jīng)開始接觸一些簡易邏輯的知識． 在數(shù)學中，有時會使用一些聯(lián)結詞，如“且”“或”“非”。在生活用語中，我們也使用這些聯(lián)結詞，但表達的含義和用法與數(shù)學中的含義和用法不盡相同。下面介紹數(shù)學中使用聯(lián)結詞“且”“或”“非”聯(lián)結命題時的含義和用法。 為敘述簡便，今后常用小寫字母p，q，r，s，…表示命題。（注意與上節(jié)學習命題的條件p與結論q的區(qū)別） （二）、探析新課 1、思考、分析：問題1：下列各組命題中，三個命題間有什么關系？ （1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍數(shù)；②27是9的倍數(shù)；③27是7的倍數(shù)或是9的倍數(shù)。 學生很容易看到，在第（1）組命題中，命題③是由命題①②使用聯(lián)結詞“且”聯(lián)結得到的新命題，在第（2）組命題中，命題③是由命題①②使用聯(lián)結詞“或”聯(lián)結得到的新命題，。 問題2：以前我們有沒有學習過象這樣用聯(lián)結詞“且”或“或”聯(lián)結的命題呢？你能否舉一些例子？ 例如：命題p：菱形的對角線相等且菱形的對角線互相平分。 命題q：三條邊對應成比例的兩個三角形相似或兩個角相等的兩個三角形相似。 2、歸納定義 一般地，用聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作p∧q讀作“p且q”。 一般地，用聯(lián)結詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作p∨q,讀作“p或q”。 命題“p∧q”與命題“p∨q”即，命題“p且q”與命題“p或q”中的“且”字與“或” 字與下面兩個命題中的“且” 字與“或” 字的含義相同嗎？ （1）若 x∈A且x∈B，則x∈A∩B。（2）若 x∈A或x∈B，則x∈A∪B。 定義中的“且”字與“或” 字與兩個命題中的“且” 字與“或” 字的含義是類似。但這里的邏輯聯(lián)結詞“且”與日常語言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相當，表明前后兩者同時兼有，同時滿足, 邏輯聯(lián)結詞“或”與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能. 說明：符號“∧”與“∩”開口都是向下，符號“∨”與“∪”開口都是向上。 注意：“p或q”，“p且q”，命題中的“p”、“q”是兩個命題，而原命題，逆命題，否命題，逆否命題中的“p”,“q”是一個命題的條件和結論兩個部分. 3、命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假的規(guī)定 你能確定命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假嗎？命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假和命題p，q的真假之間有什么聯(lián)系？ 引導學生分析前面所舉例子中命題p，q以及命題p∧q的真假性，概括出這三個命題的真假之間的關系的一般規(guī)律。 例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，①②都是真命題，所以命題③是真命題。 第（2）組命題中，①是假命題，②是真命題，但命題③是真命題。 p q p∧q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 （即一假則假） （即一真則真） 一般地，我們規(guī)定： 當p，q都是真命題時，p∧q是真命題；當p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，p∧q是假命題；當p，q兩個命題中有一個是真命題時，p∨q是真命題；當p，q兩個命題都是假命題時，p∨q是假命題。 （三）、例題 例1：將下列命題分別用“且”與“或” 聯(lián)結成新命題“p∧q” 與“p∨q”的形式，并判斷它們的真假。 （1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等。 （2）p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分； （3）p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù). 解：（1）p∧q：平行四邊形的對角線互相平分且平行四邊形的對角線相等.也可簡寫成平行四邊形的對角線互相平分且相等. p∨q: 平行四邊形的對角線互相平分或平行四邊形的對角線相等. 也可簡寫成平行四邊形的對角線互相平分或相等. 由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題, p∨q也是真命題． （2）p∧q：菱形的對角線互相垂直且菱形的對角線互相平分. 也可簡寫成菱形的對角線互相垂直且平分. p∨q: 菱形的對角線互相垂直或菱形的對角線互相平分. 也可簡寫成菱形的對角線互相垂直或平分. 由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題, p∨q也是真命題． （3）p∧q：35是15的倍數(shù)且35是7的倍數(shù). 也可簡寫成35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù). p∨q: 35是15的倍數(shù)或35是7的倍數(shù). 也可簡寫成35是15的倍數(shù)或是7的倍數(shù). 由于p是假命題, q是真命題,所以p∧q是假命題, p∨q是真命題． 說明，在用＂且＂或＂或＂聯(lián)結新命題時，如果簡寫，應注意保持命題的意思不變． 例2：選擇適當?shù)倪壿嬄?lián)結詞“且”或“或”改寫下列命題，并判斷它們的真假。 （1）1既是奇數(shù)，又是素數(shù)；（2）2是素數(shù)且3是素數(shù)；（3）2≤2． 解略． 例3、判斷下列命題的真假；（1）6是自然數(shù)且是偶數(shù)；（2）是A的子集且是A的真子集；（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（4）周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等． 解略． （四）、練習：Ｐ2０ 練習第1 ， 2題 （五）、課堂總結：（1）掌握邏輯聯(lián)結詞“或、且”的含義；（2）正確應用邏輯聯(lián)結詞“或、且”解決問題；（3）掌握真值表并會應用真值表解決問題 p q P∧q P∨q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 （六）、作業(yè)：P20：習題１.３Ａ組第1、2題 五、教后反思： 第六課時 1.3.2 非 一、教學目標 1.知識與技能目標：（1）掌握邏輯聯(lián)結詞“非”的含義；（2）正確應用邏輯聯(lián)結詞“非”解決問題；（3）掌握真值表并會應用真值表解決問題 2．過程與方法目標：觀察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重學生思維能力中嚴密性品質(zhì)的培養(yǎng)． 3.情感態(tài)度價值目標：激發(fā)學生的學習熱情，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神． 二、教學重點與難點 重點：通過數(shù)學實例，了解邏輯聯(lián)結詞“非”的含義，使學生能正確地表述相關數(shù)學內(nèi)容. 難點： 1、正確理解命題 “￢P”真假的規(guī)定和判定．2、簡潔、準確地表述命題 “￢P”. 三、教學方法：探析歸納，講練結合 三、教學過程： （一）、思考、分析 問題1：下列各組命題中的兩個命題間有什么關系？ （1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除； （2） ①方程x2+x+1=0有實數(shù)根。 ②方程x2+x+1=0無實數(shù)根。 學生很容易看到，在每組命題中，命題②是命題①的否定。 （二）、歸納定義 1、定義：一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作￢p；讀作“非p”或“p的否定”。 2、命題“￢p”與命題p的真假間的關系 命題“￢p”與命題p的真假之間有什么聯(lián)系？ 引導學生分析前面所舉例子中命題p與命題￢p的真假性，概括出這兩個命題的真假之間的關系的一般規(guī)律。 例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，命題①是真命題，而命題②是假命題。 第（2）組命題中，命題①是假命題，而命題②是真命題。 由此可以看出，既然命題￢P是命題P的否定，那么￢P與P不能同時為真命題，也不能同時為假命題，也就是說， 若p是真命題，則￢p必是假命題；若p是假命題，則￢p必是真命題； p ￢P 真 假 假 真 3、命題的否定與否命題的區(qū)別：讓學生思考：命題的否定與原命題的否命題有什么區(qū)別？ 命題的否定是否定命題的結論，而命題的否命題是對原命題的條件和結論同時進行否定，因此在解題時應分請命題的條件和結論。 例：如果命題p:5是15的約數(shù)，那么命題￢p：5不是15的約數(shù)； p的否命題：若一個數(shù)不是5，則這個數(shù)不是15的約數(shù)。 顯然，命題p為真命題，而命題p的否定￢p與否命題均為假命題。 （三）、例題分析 　例1 寫出下表中各給定語的否定語。 若給定語為 等于 大于 是 都是 至多有一個 至少有一個 其否定語分別為 分析：“等于”的否定語是“不等于”；“大于”的否定語是“小于或者等于”；“是”的否定語是“不是”；　“都是”的否定語是“不都是”；“至多有一個”的否定語是“至少有兩個”；“至少有一個”的否定語是“一個都沒有”。 例2：寫出下列命題的否定，判斷下列命題的真假 （1）p：y ＝ sinx 是周期函數(shù)； （2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集。 解析：（1）￢P：y ＝ sinx不是周期函數(shù)；假命題；（2）￢P：3≥2；真命題；（3）￢P：空集不是集合A的子集；假命題。 （四）、練習鞏固：P20 練習第3題 （五）、小結（１）正確理解命題 “￢P”真假的規(guī)定和判定．（２）簡潔、準確地表述命題 “￢P”. （六）、作業(yè)　　P20：習題１.３Ａ組第3題 五、教后反思： 第七課時 簡單的邏輯聯(lián)結詞（一）或且非 一、教學目標：了解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義，理解復合命題的結構. 二、教學重點：邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義及復合命題的構成。 教學難點：對“或”的含義的理解； 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、創(chuàng)設情境：前面我們學習了命題的概念、命題的構成和命題的形式等簡單命題的基本框架。本節(jié)內(nèi)容，我們將學習一些簡單命題的組合，并學會判斷這些命題的真假。 問題1：下列語句是命題嗎？如果不是，請你將它改為命題的形式 ①11>5 ②3是15的約數(shù)嗎？ ③0.7是整數(shù) ④x>8 （二）、活動嘗試 ①是命題，且為真；②不是陳述句，不是命題，改為③是3是15的約數(shù)，則為真； ③是假命題 ④是陳述句的形式，但不能判斷正確與否。改為x2≥0，則為真； 例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.這些語句中含有變量x或y，在沒有給定這些變量的值之前，是無法確定語句真假的.這種含有變量的語句叫做開語句（有的邏輯書也稱之為條件命題）。我們不要在判斷一個語句是不是命題上下功夫，因為這個工作過于復雜，只要能從正面的例子了解命題的概念就可以了。 （三）、師生探究 問題2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍數(shù)且6是3的倍數(shù)；（3）不是有理數(shù)； 上述三個命題前面的命題在結構上有什么區(qū)別？比前面的命題復雜了，且（1）和（2）明顯是由兩個簡單的命題組合成的新的比較復雜的命題。 命題（1）中的“或”與集合中并集的定義：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意義相同. 命題（2）中的“且”與集合中交集的定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意義相同. 命題（3）中的“非”顯然是否定的意思，即“不是有理數(shù)”是對命題是有理數(shù)”進行否定而得出的新命題. （四）、抽象概括 1. 邏輯連接詞：命題中的“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結詞 2. 復合命題的構成：簡單命題：不含有邏輯聯(lián)結詞的命題叫做簡單命題 復合命題：由簡單命題再加上一些邏輯聯(lián)結詞構成的命題叫復合命題 3.復合命題構成形式的表示：常用小寫拉丁字母p、q、r、s……表示簡單命題. 復合命題的構成形式是：p或q；p且q；非p. 即：p或q 記作 pq p且q 記作 pq 非p (命題的否定) 記作 p 釋義：“p或q”是指p,q中的任何一個或兩者.例如，“xA或xB”，是指x可能屬于A但不屬于B（這里的“但”等價于“且”），x也可能不屬于A但屬于B，x還可能既屬于A又屬于B（即xA∪B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，還可能p,q都為真. “p且q”是指p,q中的兩者.例如，“xA且xB”，是指x屬于A，同時x也屬于B（即xAB）. “非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“xA”，則“非p”表示x不是集合A的元素（即x）. （五）、鞏固運用：例1:指出下列復合命題的形式及構成它的簡單命題： （1）24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；（2）李強是籃球運動員或跳高運動員；（3）平行線不相交 解：（1）中的命題是p且q的形式，其中p：24是8的倍數(shù)；q：24是6的倍數(shù). （2）的命題是p或q的形式，其中p：李強是籃球運動員；q：李強是跳高運動員. （3）命題是非p的形式，其中p：平行線相交。 例2: 分別指出下列復合命題的形式（1）8≥7；（2）2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù)；（3）不是整數(shù)； 解：（1）是“”形式，：，：8=7；（2）是“”形式，：2是偶數(shù)，：2是質(zhì)數(shù)；（3）是“”形式，：是整數(shù)； 例3：寫出下列命題的非命題：（1）p:對任意實數(shù)x，均有x2－2x+1≥0；（2）q：存在一個實數(shù)x，使得x2－9=0（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”． 解：（1）存在一個實數(shù)x，使得x2－2x+1＜0；（2）不存在一個實數(shù)x，使得x2－9=0； （3）AB不平行于CD或AB≠CD；（4）原命題是“p或q”形式的復合命題，它的否定形式是：△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形． 復合命題的構成要注意：（1）“p或q”、“p且q”的兩種復合命題中的p和q可以是毫無關系的兩個簡單命題（2）“非p”這種復合命題又叫命題的否定；是對原命題的關鍵詞進行否定。 下面給出一些關鍵詞的否定： 正面 語詞 或 等于 大于 小于 是 都是 至少一個 至多 一個 否定 且 不等于 不大于 （小于等于） 不小于 （大于等于） 不是 不都是 一個也 沒有 至少 兩個 （六）、回顧反思：本節(jié)課討論了簡單命題與復合命題的構成，以及邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義。需要注意的是否命題的關鍵詞的否定是問題的核心。 （七）、作業(yè)布置：1．命題“方程x2＝2的解是x＝是( ) A．簡單命題 B．含“或”的復合命題C．含“且”的復合命題D．含“非”的復合命題 2．用“或”“且”“非”填空，使命題成為真命題： （1）x∈A∪B，則x∈A__________x∈B；（2）x∈A∩B，則x∈A__________x∈B； （3）a、b∈R，a＞0__________b＞0，則ab＞0． 3．把下列寫法改寫成復合命題“p或q”“p且q”或“非p”的形式： （1）（a－2）（a+2）=0；（2）；（3）a＞b≥0． 4．已知命題p：a∈A，q：a∈B，試寫出命題“p或q”“p且q”“┐p”的形式． 5．用否定形式填空： (1)a＞0或b≤0； (2)三條直線兩兩相交 (3)A是B的子集.___________________ (4)a，b都是正數(shù).___________________ (5)x是自然數(shù).___________________(在Z內(nèi)考慮) 6．在一次模擬打飛機的游戲中，小李接連射擊了兩次，設命題p１是“第一次射擊中飛機”，命題p２是“第二次射擊中飛機”試用p１、p２以及邏輯聯(lián)結詞或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命題： 命題S：兩次都擊中飛機；命題r：兩次都沒擊中飛機；命題t：恰有一次擊中了飛機； 命題u：至少有一次擊中了飛機. 【參考答案：1．B；2．（1）或?。?）且?。?）且；3．（1）p：a－2=0或q：a+2=0；（2）p：x=1且q: y=2 ；（3）p：a＞b且q：b≥0；4．命題“p或q”：a∈A或a∈B．“p且q”：a∈A且a∈B．“┐p”：aA；5．(1)a≤0且b＞0(2)三條直線中至少有兩條不相交(3)A不是B的子集 (4)a，b不都是正數(shù)(5)x是負整數(shù)．6．（1） （2）（3）（4） 五、教后反思： 第八課時 簡單的邏輯聯(lián)結詞（二）復合命題 一、教學目標：加深對“或”“且”“非”的含義的理解，能利用真值表判斷含有復合命題的真假； 二、教學重點：判斷復合命題真假的方法；教學難點：對“p或q”復合命題真假判斷的方法 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、創(chuàng)設情境：1．什么叫做命題？（可以判斷真假的語句叫命題正確的叫真命題，錯誤的叫假命題）2．邏輯聯(lián)結詞是什么？（“或”的符號是“∨”、“且”的符號是“∧”、“非”的符號是“┑”，這些詞叫做邏輯聯(lián)結詞）3．什么叫做簡單命題和復合命題？（不含有邏輯聯(lián)結詞的命題是簡單命題由簡單命題和邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題）4．復合命題的構成形式是什么？p或q(記作“p∨q” )； p且q(記作“p∨q” )；非p(記作“┑q” ) （二）、活動嘗試 問題1: 判斷下列復合命題的真假：（1）8≥7；（2）2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù)；（3）不是整數(shù)； 解：（1）真；（2）真；（3）真； 命題的真假結果與命題的結構中的p和q的真假有什么聯(lián)系嗎？這中間是否存在規(guī)律？ （三）、師生探究 1．“非p”形式的復合命題真假： 例1：寫出下列命題的非，并判斷真假：（1）p：方程x2+1=0有實數(shù)根；（2）p：存在一個實數(shù)x，使得x2－9=0．（3）p:對任意實數(shù)x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形兩底角相等 顯然，當p為真時，非p為假； 當p為假時，非p為真． 2．“p且q”形式的復合命題真假： 例2：判斷下列命題的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)（3）5是10的約數(shù)且是8的約數(shù)（4）x2-5x=0的根是自然數(shù) 所以得：當p、q為真時，p且q為真；當p、q中至少有一個為假時，p且q為假。 3．“p或q”形式的復合命題真假： 例3：判斷下列命題的真假：（1）5是10的約數(shù)或是15的約數(shù)；（2）5是12的約數(shù)或是8的約數(shù)；（3）5是12的約數(shù)或是15的約數(shù)；（4）方程x2－3x-4=0的判別式大于或等于零 當p、q中至少有一個為真時，p或q為真；當p、q都為假時，p或q為假。 （四）、概括歸納 1．“非p”形式的復合命題真假：當p為真時，非p為假； 當p為假時，非p為真． p 非p 真 假 假 真 （真假相反） 2．“p且q”形式的復合命題真假： 當p、q為真時，p且q為真； 當p、q中至少有一個為假時，p且q為假。 p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 （一假必假） 3．“p或q”形式的復合命題真假： 當p、q中至少有一個為真時，p或q為真；當p、q都為假時，p或q為假。 p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 （一真必真） 注：1像上面表示命題真假的表叫真值表； 2由真值表得：“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真； 3真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構成的 復合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。如：p表示“圓周率π是無理數(shù)”，q表示“△ABC是直角三角形”，盡管p與q的內(nèi)容毫無關系，但并不妨礙我們利用真值表判斷其命題p或q 的真假。 4介紹“或門電路”“與門電路”。 或門電路（或） 與門電路（且） （五）、鞏固運用 例4：判斷下列命題的真假： （1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）