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2019-2020年高考數學一輪復習 第十一篇 計數原理 第2講　排列與組合教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．考查排列組合的概念及其公式的推導． 2．考查排列組合的應用． 【復習指導】 復習時要掌握好基本計算公式和基本解題指導思想，掌握一些排列組合的基本模式題的解決方法，如指標分配問題、均勻分組問題、雙重元素問題、涂色問題、相鄰或不相鄰問題等． 基礎梳理 1．排列 (1)排列的概念：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． (2)排列數的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A表示． (3)排列數公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列數公式 A＝n(n－1)(n－2)…21＝n！(叫做n的階乘)． 2．組合 (1)組合的定義：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． (2)組合數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數．用符號C表示． (3)組合數公式 C＝＝＝ (n，m∈N*，且m≤n)．特別地C＝1. (4)組合數的性質：①C＝C；②C＝C＋C. 一個區(qū)別 排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”．取出元素后交換順序，如果與順序有關是排列，如果與順序無關即是組合． 兩個公式 (1)排列數公式A＝ (2)組合數公式C＝利用這兩個公式可計算排列問題中的排列數和組合問題中的組合數． ①解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關鍵是在計算中體現“有序”和“無序”． ②要能夠寫出所有符合條件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數相符，使復雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解，檢驗算法的正確與否，又可以對排列數或組合數較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 四字口訣 求解排列組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．” 雙基自測 1．8名運動員參加男子100米的決賽．已知運動場有從內到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,8的八條跑道，若指定的3名運動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)數字(如：4,5,6)，則參加比賽的這8名運動員安排跑道的方式共有(　　)． A．360種 B．4 320種 C．720種 D．2 160種 解析　本題考查排列組合知識，可分步完成，先從8個數字中取出3個連續(xù)的三個數字共有6種可能，將指定的3名運動員安排在這三個編號的跑道上，最后剩下的5個排在其他的編號的5個跑道上，故共有6AA＝4 320種方式． 答案　B 2．以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有(　　)． A．200個 B．190個 C．185個 D．180個 解析　正五棱柱共有10個頂點，若每四個頂點構成一個四面體，共可構成C＝210個四面體．其中四點在同一平面內的有三類： (1)每一底面的五點中選四點的組合方法有2C個． (2)五條側棱中的任意兩條棱上的四點有C個． (3)一個底面的一邊與另一個底面相應的一條對角線平行 (例如AB∥E1C1)，這樣共面的四點共有2C個． 所以C－2C－C－2C＝180(個)，選D. 答案　D 3．(xx山東)某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位．該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　)． A．36種 B．42種 C．48種 D．54種 解析　因為丙必須排在最后一位，因此只需考慮其余五人在前五位上的排法．當甲排在第一位時，有A＝24種排法，當甲排在第二位時，有AA＝18種排法，所以共有方案24＋18＝42(種)，故選B. 答案　B 1 2 3 3 1 2 2 3 1 4.如圖，將1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有(　　)． A．6種 B．12種 C．24種 D．48種 解析　只需要填寫第一行第一列，其余即確定了．因此共有AA＝12(種)． 答案　B 5．某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同排法種數是________(用數字作答)． 解析　可將6項工程分別用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五個元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共AC＝20種排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共CA＝20種排法． 答案　20 考向一　排列問題 【例1】?六個人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站在兩端；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰有兩人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人順序已定． [審題視點] 根據題目具體要求，選擇恰當的方法，如捆綁法、插空法等． 解　(1)AA＝480； (2)AA＝240； (3)AA＝480； (4)AAA＝144； (5)A－2A＋A＝504； (6)A＝120. 有條件的排列問題大致分四種類型． (1)某元素不在某個位置上問題，①可從位置考慮用其它元素占上該位置，②可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問題)；③可間接計算即從排列總數中減去不符合條件的排列個數． (2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列． (3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空(即插空法)． (4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法． 【訓練1】 用0,1,2,3,4,5六個數字排成沒有重復數字的6位數，分別有多少個？(1)0不在個位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個數；(5)1不在個位；(6)偶數數字從左向右從小到大排列． 解　(1)AA＝480； (2)AAA＝192； (3)AA－AAA＝408， (4)AAA＋AA＝120； (5)A－2A＋A＝504； (6)A－A＝60. 考向二　組合問題 【例2】?某醫(yī)院有內科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現選派5名參加賑災醫(yī)療隊，其中 (1)某內科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ (4)隊中至少有一名內科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ [審題視點] “無序問題”用組合，注意分類處理． 解　(1)只需從其他18人中選3人即可，共有C＝816(種)； (2)只需從其他18人中選5人即可，共有C＝8 568(種)； (3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有CC＋C＝6 936(種)； (4)法一(直接法)：至少有一名內科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內四外；二內三外；三內二外；四內一外，所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(種)． 法二　(間接法)：由總數中減去五名都是內科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數，得C－(C＋C)＝14 656(種)． 對于有條件的組合問題，可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為“先取再后取”產生順序造成計算錯誤． 【訓練2】 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，(1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種？(2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種？ 解　(1)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數共有CCC＝24(種)． (2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數為CC，又甲乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數為C種，因此滿足條件的不同選法種數為CC－C＝30(種)． 考向三　排列、組合的綜合應用 【例3】?(1)7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，試問：每個盒子都不空的放法共有多少種？ (2)計算x＋y＋z＝6的正整數解有多少組； (3)計算x＋y＋z＝6的非負整數解有多少組． [審題視點] 根據題目要求分類求解，做到不重不漏． 解　(1)法一　先將其中4個相同的小球放入4個盒子中，有1種放法；再將其余3個相同的小球放入4個不同的盒子中，有以下3種情況： ①某一個盒子放3個小球，就可從這4個不同的盒子中任選一個放入這3個小球，有C種不同的放法； ②這3個小球分別放入其中的3個盒子中，就相當于從4個不同的盒子中任選3個盒子，分別放入這3個相同的小球，有C種不同放法； ③這3個小球中有兩個小球放在1個盒子中，另1個小球放在另一個盒子中，從這4個不同的盒子中任選兩個盒子排成一列，有A種不同的方法． 綜上可知，滿足題設條件的放法為C＋C＋A＝20(種)． 法二　“每個盒子都不空”的含義是“每個盒子中至少有一個小球”，若用“擋板法”，可易得C＝20. (2)可看做將6個相同小球放入三個不同盒子中，每盒非空有多少種放法．轉化為6個0,2個1的排列，要求1不排在兩端且不相鄰，共有C＝10種排法，因此方程x＋y＋z＝6有10組不同的正整數解； (3)可看做將6個相同小球放入三個不同的盒子中，轉化為6個0,2個1的排列，共有C＝28種排法，因此方程x＋y＋z＝6有28組不同的非負整數解． 排列與組合的根本區(qū)別在于是“有序”還是“無序”，對于將若干個相同小球放入幾個不同的盒子中，此類問題可利用“擋板法”求解，實質上是最終轉化為組合問題．(2)在計算排列組合問題時，可能會遇到“分組”問題，要特別注意是平均分組還是不平均分組．可從排列與組合的關系出發(fā)，用類比的方法去理解分組問題，比如將4個元素分為兩組，若一組一個、一組三個共有CC種不同的分法； 而平均分為兩組則有種不同的分法． 【訓練3】 有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？ (1)分成1本、2本、3本三組； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； (3)分成每組都是2本的三組； (4)分給甲、乙、丙三人，每人2本． 解　(1)分三步：先選一本有C種選法；再從余下的5本中選2本有C種選法；對于余下的三本全選有C種選法，由分步乘法計數原理知有CCC＝60種選法． (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎上，還應考慮再分配的問題，因此共有CCCA＝360種選法． (3)先分三步，則應是CCC種選法，但是這里面出現了重復，不妨記6本書為分別A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB，CD，EF)，則CCC種分法中還有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A種情況，而且這A種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有＝15(種)． (4)在問題(3)的基礎上再分配，故分配方式有A＝CCC＝90(種)． 閱卷報告16——實際問題意義不清，計算重復、遺漏致誤 【問題診斷】 排列組合問題由于其思想方法獨特計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題. 【防范措施】 “至少、至多型”問題不能利用分步計數原理求解，多采用分類求解或轉化為它的對立事件求解 【示例】? 有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有多少種？ 錯因　第二步若取出一等品則與第一步取出的一等品有了先后順序，從而使取法重復． 實錄　按分步原理，第一步確保1個一等品，有C種取法；第二步從余下的19個零件中任意取2個，有C種不同的取法，故共有CC＝2 736種取法． 正解　法一　將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，由分類計數原理有：CC＋CC＋C＝1 136(種)． 法二　考慮其對立事件“3個都是二等品”，用間接法：C－C＝1 136(種)． 【試一試】 在10名演員中，5人能歌，8人善舞，從中選出5人，使這5人能演出一個由1人獨唱4人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？ [嘗試解答]　本題中的“雙面手”有3個，僅能歌的2人，僅善舞的5人．把問題分為：(1)獨唱演員從雙面手中選，剩下的2個雙面手和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔；(2)獨唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的2人中選拔，這樣3個雙面手就可以和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔．故選法種數是CC＋CC＝245.