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1、 在動手操作中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) ——《比賽場次》教學(xué)案例分析 實驗小學(xué) 朱志軍 [情境回放]： 上課開始，教師從談話入手：“同學(xué)們，你喜歡看體育比賽嗎？ 看來大家對體育比賽還是很感興趣的，如果我們班要舉行一場扳手腕比賽，并要在全班同學(xué)中決出最后的扳手腕冠軍，你覺得比賽可以怎樣安排？（每兩個人之間都要進(jìn)行一場比賽，這樣的賽制叫單循環(huán)賽。）還可以怎樣安排？（兩人之間賽一場，負(fù)者淘汰，勝者進(jìn)入下一輪，最后決出冠軍，這樣的賽制叫淘汰賽。）” 你們聽明白了嗎？哦，還不是很明白，沒關(guān)系。我們先請4位同學(xué)來做個示范，進(jìn)行單循環(huán)賽，他剛才說了

2、那么多，我們能不能用比較簡潔的方法表達(dá)比賽的過程？并算一算一共要比賽多少場? 看了剛才四位同學(xué)的演示，我們知道了體育運動不僅可以強(qiáng)身健體，還蘊藏著許多數(shù)學(xué)知識。今天這節(jié)課我們就要來探索體育中的數(shù)學(xué)問題：比賽場次。 出示例題： 我們班舉行扳手腕比賽，如果每兩名同學(xué)之間都進(jìn)行一場比賽，一共要比賽多少場？ 你認(rèn)為這道題目中那句話比較關(guān)鍵，其實這句話直接告訴我們這次比賽采用的是什么賽制？ 現(xiàn)在有XX名同學(xué)進(jìn)行扳手腕比賽，單循環(huán)賽一共要比多少場，可以怎么解決？（學(xué)生發(fā)表自己的想法）集體交流解決問題的方法. 師：舉手的人不多，你們遇上什么困難了嗎？ 生：人數(shù)太多了。 師：哦，原來數(shù)字太大了

3、，我們遇到了一個非常復(fù)雜的問題。那該怎么辦呢？ 我們在生活當(dāng)中，經(jīng)常說大事化小，化繁為簡，那是不是也可以按照這個思路來尋找解題的方法呢？ 從簡單的情形開始，研究過程，探索解決比賽場次的策略。 對，遇到復(fù)雜的問題，我們可以轉(zhuǎn)化成簡單的開始入手，通過畫圖或列表找找有什么規(guī)律，那么你覺得比賽場次這個問題可以轉(zhuǎn)化為從哪里開始研究呢？（生2個人、3個人、4個人入手研究） 師：接下去我們自己來研究。先看學(xué)習(xí)要求（課件展示）： ①選擇自己喜歡的一種方法，獨立思考、完成其中的一個表格； ②認(rèn)真觀察前后之間的變化情況，想一想：比賽場次與人數(shù)之間有什么規(guī)律？ ③列式算一算：XX人共打幾場比賽？ 預(yù)

4、設(shè)方案一畫圖找規(guī)律 通過畫圖你有什么發(fā)現(xiàn)？ 好，來，我們先請幾個同學(xué)來匯報一下。通過研究你有什么發(fā)現(xiàn)？ （讓學(xué)生自己說完）你聽明白了嗎，有誰還有要補(bǔ)充的嗎？誰能夠再來復(fù)述一遍？ 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：2名同學(xué)時，只有一條連線（即一場比賽）；3名同學(xué)時比2名同學(xué)增加了2條連線；4名同學(xué)時，增加了3條連線；5名同學(xué)時，增加了4條連線，得出1+2+3+4=10 說一說，XX名同學(xué)一共要比賽多少場？ 總結(jié)規(guī)律，找出解題策略：3名同學(xué)時，比賽場次從1加到2；4名同學(xué)時，比賽場次從1加到3；5名同學(xué)時，比賽場次從1加到4；6名同學(xué)時，比賽場次從1加到5；以此類推，64名同學(xué)時，比賽場次從1加到63，即

5、1+2+3+……+XX=，所以XX名同學(xué)一共要比賽XXXX場。 補(bǔ)充等差數(shù)列求和方法：同學(xué)們觀察這些算式特點？能不能很快算出計算結(jié)果。 預(yù)設(shè)方案二列表找規(guī)律（過程同上） 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：把XX名同學(xué)的復(fù)雜問題，轉(zhuǎn)化為從2名開始研究，到3名，到4名，到5名，找出規(guī)律。 你發(fā)現(xiàn)了什么？指名小組代表發(fā)表想法？ 每增加一名同學(xué)增加幾場比賽。 3、小結(jié)：從剛才解決這個這么復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的過程中，你得到了什么啟示？ 生齊答：從簡單的情形開始，找出規(guī)律，算出結(jié)果。（板書） 問題延伸： 淘汰賽呢？組織4位學(xué)生扳手腕。其余同學(xué)認(rèn)真觀察整個過程，用自己喜歡的方法記錄下來。這樣安排算一算一共要比賽多少

6、場? 1、通過剛才的計算，發(fā)現(xiàn)XX名同學(xué)進(jìn)行單循環(huán)賽，場次太多，比賽時間太長，不太現(xiàn)實。還是采用淘汰賽比較合適，你又準(zhǔn)備怎樣來解決這個問題呢？（ (1) 讓學(xué)生說說自己的想法。（從2人、3人、4人開始研究。） （2）學(xué)生嘗試畫圖獨立研究。 （3）全班交流。 a.教師展示學(xué)習(xí)成果，校對圖與答案。 b.我們發(fā)現(xiàn)的是什么規(guī)律呀？ c.誰來解釋一下，為什么淘汰賽是比賽人數(shù)減1？ …… [案例分析]： 以上整個教學(xué)活動，從問題情境的導(dǎo)入，到多樣化探究活動的過程，再到解決問題的拓展運用?？雌饋矶紱]有什么大的教學(xué)缺失。然而總覺得有些平白無力，讓人看了象喝白開水一樣，淡而無味。原因在哪里呢

7、？經(jīng)過深入反思，發(fā)現(xiàn)主要是因為數(shù)學(xué)發(fā)展沒有落實到數(shù)學(xué)活動過程中，課堂教學(xué)活動，表面看似熱熱鬧鬧，但數(shù)學(xué)本身特點沒有得到體現(xiàn)，數(shù)學(xué)發(fā)展也看不到應(yīng)有的凸顯，活動流于表面化，形式化，為活動而活動，為多樣而多樣，整個活動過程并沒有形成合力以促進(jìn)個體獲得有意義的數(shù)學(xué)發(fā)展，一句話，也就是缺少數(shù)學(xué)“含金量”。 首先，在數(shù)學(xué)知識點上，這課時是滲透搭配與組合的問題。必須向?qū)W生說明，或讓學(xué)生討論：每兩個隊賽一場是怎么一回事，可以怎樣表示出來。這樣，才能使探究活動更有指向性和目的性，也才能更有利調(diào)動學(xué)生已有認(rèn)知，去認(rèn)識新知。 其次，在數(shù)學(xué)方法上，要引導(dǎo)學(xué)生用演算法、用圖解法、用列表法來探究問題，在引導(dǎo)多樣化探究

8、活動過程中，對學(xué)生呈現(xiàn)出的每一種方法要一一討論其合理性和嚴(yán)密性，還要對三種方法進(jìn)行對比，既梳理出它們之間的聯(lián)系，又要進(jìn)行優(yōu)化選擇。 最后，也是最重要的，在前后兩個延續(xù)的數(shù)學(xué)活動中，要能引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)化發(fā)展的方向上進(jìn)行延伸。本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)化發(fā)展方向并非很明顯，數(shù)學(xué)化發(fā)展的過程性和階段性也并不怎樣到位。 就本節(jié)課的探究過程而言，應(yīng)實現(xiàn)怎樣的數(shù)學(xué)化過程呢？。 第一，從問題情境到學(xué)生操作過程的數(shù)學(xué)化過程。 學(xué)生理解問題情境內(nèi)容的基礎(chǔ)上，讓小組四位同學(xué)分別代表四個隊，以扳手勁的游戲活動形式，進(jìn)行實際操作，親身體驗每兩個隊都要比一場的含義，同時實現(xiàn)一次從問題情境到現(xiàn)實經(jīng)歷的回歸過程。 第二，

9、引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)操作活動，每兩個隊之間比賽一場用一條線段表示，如何用圖解法表示出整個小組共要比賽多少場？促進(jìn)學(xué)生實現(xiàn)由現(xiàn)實操作到圖解的發(fā)展過程。這是很重要的一次橫向數(shù)學(xué)化過程。 第三，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖解法，用數(shù)數(shù)連線或統(tǒng)計計算比賽場次，則是縱向數(shù)學(xué)化發(fā)展的過程，這個過程對學(xué)生而言并不是困難的事。如果有學(xué)生統(tǒng)計時知道用3+2+1=6（場）。應(yīng)給予表揚和肯定。并讓學(xué)生說說想法，與同學(xué)們共享。引導(dǎo)學(xué)生利用列表法探究問題，也有經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化過程，這里不多言。 第四，在探究并獲得一定認(rèn)知基礎(chǔ)上，解決問題（一）：有54個人比賽賽時，學(xué)生將一個隊放在中央，導(dǎo)致圖解法陷入困境。這時教師不要簡單否定學(xué)

10、生這種做法。這是一個非常有價值的生成性資源。教師正好可讓學(xué)生討論：這個圖解法中的線段把每兩個隊比賽場次都表示出來了嗎？圖中哪個隊有干擾的因素？應(yīng)怎樣調(diào)整？引導(dǎo)學(xué)生把從兩個人比賽開始研究開始。通過連線、數(shù)數(shù)、計算得出多個隊比賽場次的規(guī)律： 兩個人比賽：1（場） 三個人比賽：2+1=3（場） 四個人比賽：3+2+1=6（場） 五個人比賽：4+3+2+1=10（場）。 之后，拓展解決有六個隊參加比賽的問題： 5+4+3+2+1=15（場）。 七個隊參加的比賽問題： 6+5+4+3+2+1=21（場）。 讓學(xué)生在感性認(rèn)識基礎(chǔ)上，體驗計算總場次的一般方法，并初步體驗到隊數(shù)與場次的關(guān)系，這是進(jìn)行更高層次數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)。以上的每一個算式，都是學(xué)生經(jīng)歷從圖解中數(shù)連線而后橫向數(shù)學(xué)化得到的。這里的算法只要求初步體驗，并不要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概括總結(jié)。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程，只有緊緊把握住數(shù)學(xué)發(fā)展這一數(shù)學(xué)教學(xué)“含金量”標(biāo)志性內(nèi)容，使它在每一節(jié)課的教學(xué)活動中落到實處。完成數(shù)學(xué)學(xué)科的目標(biāo)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)才能真正得以實現(xiàn)。