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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《回歸分析》教案1蘇教版選修2-3 教學(xué)目標 （1）通過實例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機誤差的原因； （2）通過對回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法； （3）能求出簡單實際問題的線性回歸方程． 教學(xué)重點，難點 線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計值的探求方法． 教學(xué)過程 一．問題情境 1． 情境：對一作直線運動的質(zhì)點的運動過程觀測了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計當x=９時的位置y的值． 時刻/s 位置觀測值/cm 根據(jù)《數(shù)學(xué)（必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個問題的方法是： 先作散點圖，如下圖所示： 從散點圖中可以看出，樣本點呈直線趨勢，時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式， 可以得到線性回歸方為，所以當時，由線性回歸方程可以估計其位置值為 2．問題：在時刻時，質(zhì)點的運動位置一定是嗎？ 二．學(xué)生活動 思考，討論：這些點并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系，的實際值與估計值之間存在著誤差． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．線性回歸模型的定義： 我們將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)； 的實際值與估計值之間的誤差記為，稱之為隨機誤差； 將稱為線性回歸模型． 說明：（1）產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測誤差． （2）對于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個問題： ①模型是否合理（這個問題在下一節(jié)課解決）； ②在模型合理的情況下，如何估計，？ 2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計值： 對于問題②，設(shè)有對觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對于每一個，對應(yīng)的隨機誤差項，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時的，值作為，的估計值，記為，． 注：這里的就是擬合直線上的點到點的距離． 用什么方法求，？ 回憶《數(shù)學(xué)3（必修）》“2．4線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求，的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到，的計算公式為 ， 其中， 由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 在前面質(zhì)點運動的線性回歸方程中，，． 3． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應(yīng)地平均增加個單位； 4． 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想） 在實際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式． （1），令，，則有． （2），令，，，則有． （3），令，，，則有． （4），令，，，則有． （5），令，，則有． 四．數(shù)學(xué)運用 1．例題： 例1．下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計我國年的人口數(shù)． 年份 人口數(shù)/百萬 解：為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表： 作出個點構(gòu)成的散點圖， 由圖可知，這些點在一條直線附近，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式（1）可得 這里的分別為的估 計值，因此線性回歸方程 為 由于年對應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估計為13.23億. 例2． 某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)： 人均 資本 /萬元 人均 產(chǎn)出 /萬元 （1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計和的值； （2）估計企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出（精確到）． 分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對數(shù)運算的性質(zhì)可知，只要對的兩邊取對數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系． 解（1）在的兩邊取常用對數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示． 1 人均資本/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均產(chǎn)出/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14613 4 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 仿照問題情境可得，的估計值，分別為由可得，即，的估計值分別為和． （2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見書本 頁） 當時，（萬元），故當企業(yè)人均資本為萬元時，人均產(chǎn)值約為萬元． 2．練習(xí)：練習(xí)第題． 五．回顧小結(jié)： 1． 線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）其中的隨機誤差提供了選擇模型的準則以及在模型合理的情況下探求最佳估計值，的工具； 2． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應(yīng)地平均增加個單位； 3．求線性回歸方程的基本步驟． 六．課外作業(yè)：第題．