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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案7 新人教A版必修5 我將從教材分析、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程的構(gòu)思與設(shè)想以及教學(xué)反思等五個(gè)方面對(duì)本節(jié)課的設(shè)計(jì)進(jìn)行說(shuō)明。 一、教材分析 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，現(xiàn)實(shí)生活和高等數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容常用到它，同時(shí)又是對(duì)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、歸納、計(jì)算、推理等基本訓(xùn)練,提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。 學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念、等差數(shù)列及其求和公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，這為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)又為數(shù)列在各方面的應(yīng)用奠定基礎(chǔ) 基于以上認(rèn)識(shí)，我認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)為：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。由于公式的推導(dǎo)方法學(xué)生不易想出，所以本節(jié)課的難點(diǎn)為：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程。突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境將學(xué)生的思維引導(dǎo)到最近的發(fā)現(xiàn)區(qū)。 二、教學(xué)目標(biāo) 依據(jù)教材、教學(xué)大綱和學(xué)生實(shí)際，我確立了如下教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）使學(xué)生掌握并能靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，掌握該公式的推導(dǎo)方法——乘公比錯(cuò)位相減法。 （2）滲透分類討論等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 2、過(guò)程與方法目標(biāo)：在公式及其推導(dǎo)方法的探究過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想、分析、綜合的思維能力，使學(xué)生掌握研究問(wèn)題的科學(xué)方法。 3、情感與態(tài)度目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)輕松愉快的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生在自主探究、合作交流過(guò)程中收獲知識(shí)，提升能力，獲得學(xué)習(xí)成功的愉悅和快樂(lè)，并關(guān)注其個(gè)性品質(zhì)；通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)和對(duì)公比q的討論，進(jìn)一步形成學(xué)生勇于探索、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)態(tài)度。 三、教學(xué)方法 教學(xué)過(guò)程是教與學(xué)以及師生合作、生生合作的多邊活動(dòng)過(guò)程，教學(xué)方法對(duì) 教學(xué)目的的實(shí)現(xiàn)和學(xué)生素質(zhì)的提高具有非常重要的意義。 （1） 教法 建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)不能由教師簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生而只能由學(xué)生依據(jù)自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以建構(gòu)，因此本節(jié)課我主要采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”來(lái)突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。 過(guò)程如下： 第一步，講述數(shù)學(xué)故事并設(shè)置問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 第二步，解決故事中提出的問(wèn)題?！盁o(wú)意中”求出麥粒數(shù)這個(gè)等比數(shù)列前64項(xiàng)的和。引導(dǎo)學(xué)生反思求和過(guò)程，根據(jù)求和過(guò)程大膽猜想等比數(shù)列求和的方法。 第三步，通過(guò)特殊數(shù)列驗(yàn)證改進(jìn)猜想。并嚴(yán)格證明猜想，得出等比數(shù)列求和公式及其推導(dǎo)方法。 第四步，通過(guò)例題和練習(xí)，鞏固所學(xué)內(nèi)容。 這樣設(shè)計(jì)將有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，將學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程轉(zhuǎn)化為學(xué)生的自主探索過(guò)程，使學(xué)生真正成為課堂的主人，參與到整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程中。采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”，通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境和一系列活動(dòng)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，特別有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展他們的研究能力和實(shí)踐能力。 （2）學(xué)法 我們常說(shuō)：“現(xiàn)代的文盲不是不識(shí)字的人，而是沒(méi)有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，因而在教學(xué)中要特別重視對(duì)學(xué)法的指導(dǎo)。教師只有教給學(xué)生治學(xué)之道，求是之法，才能讓學(xué)生把握學(xué)習(xí)的靈魂。 本節(jié)課學(xué)生將經(jīng)歷觀察、猜想、分析、證明、練習(xí)及鞏固過(guò)程。 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)的過(guò)程就是通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題進(jìn)一步擴(kuò)充自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。逐步掌握認(rèn)真觀察、動(dòng)腦思考，大膽猜想，嚴(yán)格證明這一探索、研究問(wèn)題的重要方法。 總之，本節(jié)教學(xué)方法設(shè)計(jì)是給學(xué)生提供眼耳腦口手五官并用的機(jī)會(huì)，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，真正讓學(xué)生成為教學(xué)活動(dòng)的主體。 同時(shí)還使用演示課件、投影等手段擴(kuò)大課堂容量、激發(fā)學(xué)生興趣。 四、教學(xué)過(guò)程 依據(jù)辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論，教育心理學(xué)規(guī)律，根據(jù)教材分析和學(xué)生實(shí)際，本著提高學(xué)生探究能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的目的，我把本節(jié)課的課堂結(jié)構(gòu)分為以下四環(huán)節(jié)。 1、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 本環(huán)節(jié)分為兩個(gè)層次： （1）復(fù)習(xí)等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式，并通過(guò)定義=q，得出an+1=anq， 啟發(fā)學(xué)生得出無(wú)窮等比數(shù)列的某一項(xiàng)乘以公比q所得結(jié)果仍然是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，并且是這一項(xiàng)的后一項(xiàng)，有窮數(shù)列的最后一項(xiàng)除外。 本層次主要是為掃除因舊知識(shí)不清而出現(xiàn)的障礙，為后面突破難點(diǎn)做好鋪墊。 （2）講述教學(xué)故事設(shè)置問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境。 師生一塊回憶本章引言中關(guān)于國(guó)際象棋的傳說(shuō)：國(guó)際象棋起源于古代印度，國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求，發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒，依次類推，每一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子。國(guó)王覺得這并不是很難辦的事，就欣然同意了他的要求?？蓢?guó)王錯(cuò)了，皇家總管用了整整三天的時(shí)間才算出麥粒數(shù)是18446744073709551615。這些麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了7000億噸。7000億噸是一個(gè)多么龐大的數(shù)字，學(xué)生們可能想象不到，可以給學(xué)提供一個(gè)參照物：我們國(guó)家在xx年的糧食總產(chǎn)量不足5億噸，照我們國(guó)家現(xiàn)在的生產(chǎn)力水平7000億噸大約是1400多年的糧食總產(chǎn)量，何況古代印度的生產(chǎn)力水平呢？ 國(guó)王犯這樣的錯(cuò)，主要是因?yàn)槿狈?shù)學(xué)知識(shí)，那么，我們?cè)鯓友杆儆?jì)算出麥?？倲?shù)呢？ 因?yàn)樵谏弦还?jié)等比數(shù)列的概念中，學(xué)生已經(jīng)知道麥粒數(shù)構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列，此時(shí)提出等比數(shù)列怎樣求和水到渠成。 繼續(xù)講述故事：現(xiàn)在我們假設(shè)發(fā)明者要求使用另一種放法，在第1個(gè)格子里放2顆麥粒，在第2個(gè)格子里放4顆麥粒，在第3個(gè)格子里放8顆麥?！来晤愅疲恳粋€(gè)格子里放的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子。 并設(shè)置問(wèn)題：后一種放法與前一種放法相比，發(fā)明者能多得多少顆麥粒。 教師放手讓學(xué)生去研究、去探索、去討論。 學(xué)生比較容易得出： S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263 S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264 兩式相減得S-S64=264-1 也就是第二種放法比第一種放法能多得264-1顆麥粒。 教師引導(dǎo)學(xué)生考慮每一格中兩種放法對(duì)應(yīng)的麥粒數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得出兩種放法對(duì)應(yīng)的麥?？倲?shù)的關(guān)系。 至此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)S-S64=S64，也就是第二種放法比第一種放法多得的麥粒數(shù)恰好為第一種放法所得麥?？倲?shù)。 為引導(dǎo)學(xué)生觀察教師提出問(wèn)題：“在S64 與S中有這么多項(xiàng)你是怎樣計(jì)算出結(jié)果的?！睂W(xué)生發(fā)現(xiàn)兩式中絕大多數(shù)項(xiàng)相同，在作差時(shí)被消去，從而為后面突破難點(diǎn)設(shè)置臺(tái)階。 本層次通過(guò)故事引入，可以極大地調(diào)動(dòng)全體同學(xué)的積極性，使不同層次的學(xué)生都興致勃勃地參與課堂活動(dòng)。改編故事設(shè)置第二種放法，主要是因?yàn)榈缺葦?shù)列前n項(xiàng)和的求法，學(xué)生不易想出，而學(xué)生在解決故事中的問(wèn)題時(shí)會(huì)在“不經(jīng)意”中求出一個(gè)等比數(shù)列的和，從而回頭反思求和的過(guò)程。當(dāng)然這里學(xué)生的“不經(jīng)意”是教師故意設(shè)置的教學(xué)情境。 2、自主探索、合作交流 本環(huán)節(jié)是教學(xué)過(guò)程的難點(diǎn)，我通過(guò)四個(gè)層次來(lái)分散難點(diǎn)、突出重點(diǎn)。 （1）觀察分析、提出猜想 教師提出問(wèn)題：“剛才我們?cè)诓唤?jīng)意中求出了一個(gè)數(shù)列的前64項(xiàng)和，現(xiàn)在我們回頭分析一下是怎求求和的，請(qǐng)大家首先觀察兩個(gè)等式之間有什么關(guān)系，并考慮我們求出和的過(guò)程。” 屏幕顯示：S64=1+2+4+8+16+32+64+……+262+263 ------- ---① S=2+4+8+16+32+64+128+……+263+264 ---------------② 學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析、討論，將兩式關(guān)系總結(jié)為兩點(diǎn)： （Ⅰ） ②式對(duì)應(yīng)的數(shù)列是①式的對(duì)應(yīng)數(shù)列的各項(xiàng)乘以2后得到的。 （Ⅱ）①式與②式絕大多數(shù)項(xiàng)相同，在相減時(shí)被消去。 教師設(shè)置問(wèn)題：“據(jù)此分析，請(qǐng)同學(xué)們大膽猜想，求一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和可以怎樣進(jìn)行？” 讓學(xué)生暢所欲言，大膽發(fā)表自己的看法。如果學(xué)生回答確有困難，教師可對(duì)照上面的解法給予適當(dāng)提示。根據(jù)以往授課經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為可以將Sn乘以2后再與Sn相減。 （2）驗(yàn)證猜想，改進(jìn)猜想 教師指導(dǎo)全體學(xué)生按照多數(shù)學(xué)生的猜想進(jìn)行研究，其他同學(xué)的猜想在課后自己進(jìn)行研究。 啟發(fā)學(xué)生先用特殊數(shù)列驗(yàn)證猜想。 屏幕顯示等比數(shù)列：1，3，9，27，……，3n-1，… 學(xué)生驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)不能求出Sn 學(xué)生思路受阻，教師選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生觀察：第二個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)的兩個(gè)等式和第一個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)的兩個(gè)等式之間有什么差別。 經(jīng)過(guò)學(xué)生觀察、討論可以得到第二個(gè)數(shù)列的兩式?jīng)]有出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項(xiàng)。 教師組織學(xué)生進(jìn)一步討論：“為什么第一個(gè)數(shù)列乘以2后能出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項(xiàng)因而能求和，而第二個(gè)數(shù)列乘以2后不能出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項(xiàng)因而不能求和？第一個(gè)數(shù)列乘以2后能求和是不是一種偶然的巧合呢？” 學(xué)生思考、分析、討論，如果學(xué)生回答確有困難，教師可以提示：第一個(gè)數(shù)列乘以2后能求和而第二個(gè)數(shù)列乘以2后不能求和，是不是2相對(duì)于兩個(gè)數(shù)列角色不一樣？ 學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析、討論后認(rèn)定2是第一個(gè)數(shù)列的公比，但并不是第二個(gè)數(shù)列的公比。 教師及時(shí)引導(dǎo)：“看來(lái)我們的猜想還需要進(jìn)一步改進(jìn)，那么應(yīng)怎樣改進(jìn)呢？” 學(xué)生很快得出：應(yīng)將Sn乘以公比后再與Sn作差 教師啟發(fā)學(xué)生先用特殊數(shù)列驗(yàn)證。 學(xué)生按改進(jìn)后的猜想，去求剛才的第二個(gè)等比數(shù)列1，3，9，27，…，3n-1…的前n項(xiàng)和，發(fā)現(xiàn)能求出Sn . 教師提出問(wèn)題：改進(jìn)后的猜想能用來(lái)求這兩個(gè)數(shù)列的和，那么是不是所有的等比數(shù)列都可以這樣求和呢？ 學(xué)生得出肯定的結(jié)論后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：為什么乘以公比以后能求和。 如果學(xué)生回答確有困難，教師可提示學(xué)生出現(xiàn)絕大多數(shù)相同項(xiàng)作差時(shí)能消去是關(guān)鍵，再結(jié)合剛上課復(fù)習(xí)等比數(shù)列定義時(shí)得出的等比數(shù)列中的項(xiàng)乘以公比q所得結(jié)果為該數(shù)列中這一項(xiàng)的后一項(xiàng)，則可以斷定Sn乘以公比q后的qSn表達(dá)式與Sn表達(dá)式中絕大多數(shù)項(xiàng)相同，作差時(shí)能消去。 再回頭看第一個(gè)數(shù)列乘以2，再作差能求和，表面現(xiàn)象是乘以2，其本質(zhì)是乘以等比數(shù)列的公比。也就是出現(xiàn)那么多相同項(xiàng)的根本原因在于將每一項(xiàng)均乘以公比q后得到了這一項(xiàng)的下一項(xiàng)（有窮數(shù)列最后一項(xiàng)除外）。 分析至此，等比數(shù)列求和的方法已浮出水面。 （3）證明猜想 教師繼續(xù)引導(dǎo)：“這只是我們的分析過(guò)程，下面需要做的工作大家認(rèn)為是什么？” 在學(xué)生答出證明以后，教師用屏幕顯示： 設(shè)公比為q的等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an 讓學(xué)生按照改進(jìn)后的猜想去推導(dǎo)Sn，讓一名學(xué)生到黑板板演，教師巡回觀察。 學(xué)生一般出現(xiàn)兩種解法： 解法一： Sn=a1+a2+a3+a4…+an-1+an （a） q Sn=a1q+a2q+a3q+a4q…+an-1q+anq （b） （a）-（b）得（1-q）Sn=a1-anq，繼而求出Sn 解法二： Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1 （c） qSn=a1q+a1q2+a1q3…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn （d） （c）-（d）得（1-q）Sn=a1-a1qn，繼而求出Sn 不論采用哪種解法，學(xué)生能夠比較容易地推出預(yù)定結(jié)論，但是，學(xué)生易在由（1-q）Sn=a1-anq或（1-q）Sn=a1-a1qn求出Sn時(shí)忽視對(duì)公比q的討論。 此處我的設(shè)計(jì)是，如果板演的同學(xué)討論了，則讓其他同學(xué)研究為什么討論；如果板演的同學(xué)沒(méi)有討論，則讓全體同學(xué)觀察其推理過(guò)程是否嚴(yán)密，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性。 當(dāng)q=1時(shí)的情形由學(xué)生自己得出。 投影學(xué)生的另一種解法，并讓學(xué)生研究?jī)煞N結(jié)果的一致性。 （4）加深認(rèn)識(shí) 為使加深學(xué)生對(duì)公式及其推導(dǎo)過(guò)程的認(rèn)識(shí)并進(jìn)一步滲透分類討論思想，我設(shè)置以下兩點(diǎn)： ①給推導(dǎo)過(guò)程命名。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程給這種方法取一個(gè)能夠體現(xiàn)該方法特點(diǎn)的名字，如果學(xué)生總結(jié)確有難度，教師可啟發(fā)學(xué)生觀察公式推導(dǎo)的步驟和作差時(shí)項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最終得出乘公比錯(cuò)位相減法。 ②總結(jié)公式。讓學(xué)生總結(jié)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的表達(dá)式，啟發(fā)學(xué)生用分段函數(shù)的形式來(lái)表示： Sn= 讓學(xué)生閱讀課本，對(duì)所學(xué)內(nèi)容及時(shí)回顧、反思，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 3、練習(xí)應(yīng)用、鞏固提高 為鞏固所學(xué)知識(shí)，我設(shè)置了3道例題： 例1、根據(jù)下列條件求相應(yīng)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn （1）a1=3，q=2，n=6； （2）a1=8，q=，an=； 例2、計(jì)算等比數(shù)列1，2，4，8，…，263的和。 例3、求等比數(shù)列 1，a，a2，…，an-1，…的前n項(xiàng)和.（a∈R，a≠0） 三個(gè)例題都直接應(yīng)用公式求解例1由學(xué)生自己完成；例2由師生一塊完成教師書寫規(guī)范的解題步驟，為學(xué)生規(guī)范解題樹立良好的榜樣，同時(shí)用例2照應(yīng)本節(jié)課開始的數(shù)學(xué)故事；例3用來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的分類討論思想學(xué)生先做最后教師講評(píng)。 4、課堂小結(jié) 本環(huán)節(jié)分為兩個(gè)層次，第一層次由學(xué)生小結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，回憶學(xué)習(xí)過(guò)程，歸納最重要的收獲。以鞏固新知，及時(shí)反思，提高能力。第二層次由教師小結(jié)教材體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法。 以上四環(huán)節(jié)的時(shí)間分配設(shè)計(jì)： 1、創(chuàng)設(shè)情境、引入課題大約6分鐘 2、合作討論、探索方法大約25分鐘 3、練習(xí)應(yīng)用、鞏固提高大約10分鐘 4、課堂小結(jié)大約4分鐘 為更好地復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)內(nèi)容布置如下作業(yè)。第3題為研究性作業(yè)，用于訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性，進(jìn)一步提升學(xué)生的探索和研究能力。 1、求等比數(shù)列8，-4，2，-1, …的前5項(xiàng)的和 2、求等比數(shù)列1，2，4，……從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和。 3、研究性作業(yè)(選做)：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的其他證明方法。 板書設(shè)計(jì) 標(biāo)題 1、定義、通項(xiàng)公式 2、第二種放法比第一種放法多得麥粒數(shù)的計(jì)算及猜想的驗(yàn)證、改進(jìn)等 證明過(guò)程 ----------------------- ----------------------- ----------------------- ----------------------- 3、例題1------------------------ --------------------------- 例題2------------------------- 例題3-------------------------- --------------------------- 4、小結(jié)------------------------ ------------------------- 5、作業(yè)----------------------- ------------------------------ --------------------- 五、教學(xué)反思 本節(jié)課根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，結(jié)合多媒體課件的使用，使難以入手的公式推導(dǎo)變得簡(jiǎn)單可行。 在教學(xué)過(guò)程中積極為學(xué)生創(chuàng)造開放民主、和諧自由的課堂氛圍，可以極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，并關(guān)注學(xué)生個(gè)性品質(zhì)，讓學(xué)生在一種輕松愉快的氣氛中自主探索、合作交流，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，主動(dòng)攝取知識(shí)形成能力，獲得積極的情感體驗(yàn)，形成科學(xué)的態(tài)度和價(jià)值觀，從而促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生全面和諧健康地發(fā)展。 說(shuō)課到此結(jié)束，請(qǐng)各位專家多提寶貴意見！ 謝謝！