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2019-2020年高中物理 5.5《探究洛倫茲力》學(xué)案 滬科版選修3-1 一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 1． 掌握洛侖茲力，掌握帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 2．特別是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一些基本特征。 3．了解速度選擇器，質(zhì)譜儀，回旋加速器等的工作原理。 二、難點(diǎn)剖析 1、洛倫茲力 I B F安 F 運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的磁場(chǎng)力叫洛倫茲力，它是安培力的微觀(guān)表現(xiàn)。 計(jì)算公式的推導(dǎo)：如圖所示，整個(gè)導(dǎo)線(xiàn)受到的磁場(chǎng)力（安培力）為F安 =BIL；其中I=nesv；設(shè)導(dǎo)線(xiàn)中共有N個(gè)自由電子N=nsL；每個(gè)電子受的磁場(chǎng)力為F，則F安=NF。由以上四式可得F=qvB。條件是v與B垂直。當(dāng)v與B成θ角時(shí)，F(xiàn)=qvBsinθ。 2、磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用。 帶電量為q、以速度υ在磁感強(qiáng)度為B的均強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子所受到的作用為稱(chēng)為洛侖茲力，其大小fB的取值范圍為 0≤fB≤qυB. 當(dāng)速度方向與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，洛侖茲力取值最小，為零；當(dāng)速度方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，洛侖茲力取值最大，為qυB.如果速度方向與磁場(chǎng)方向夾角為θ，可采用正交分解的方式來(lái)處理洛侖茲力大小的計(jì)算問(wèn)題。而洛侖茲力的方向則是用所謂的“左手定則”來(lái)判斷的。 磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的洛侖茲力作用具備著如下特征，即洛侖茲力必與運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向垂直，這一特征保證了“洛侖茲力總不做功”，把握住這一特征，對(duì)帶電粒子在更為復(fù)雜的磁場(chǎng)中做復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)的有關(guān)問(wèn)題的分析是極有幫助的。 3、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) （1）電荷的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的三種運(yùn)動(dòng)形式。 如運(yùn)動(dòng)電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中除洛侖茲力外其他力均忽略不計(jì)（或均被平衡），則其運(yùn)動(dòng)有如下三種形式： 當(dāng)υ∥B時(shí)，所受洛侖茲力為零，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)； 當(dāng)υ⊥B時(shí)，所受洛侖力充分向心力，做半徑和周期分別為 R=，T= 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)； 當(dāng)υ與B夾一般角度時(shí)，由于可以將υ正交分解為υ∥和υ⊥（分別平行于和垂直于）B，因此電荷一方向以υ∥的速度在平行于B的方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，另一方向以υ⊥的速度在垂直于B的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，電荷的合運(yùn)動(dòng)在中學(xué)階段一般不要求定量掌握。 三、典型例題。 M N B O v 例題1． 如圖直線(xiàn)MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與MN成30角的同樣速度v射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？ 解：由公式知，它們的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫(huà)出半徑，由對(duì)稱(chēng)性知：射入、射出點(diǎn)和圓心恰好組成正三角形。所以?xún)蓚€(gè)射出點(diǎn)相距2r，由圖還可看出，經(jīng)歷時(shí)間相差2T/3。答案為射出點(diǎn)相距，時(shí)間差為。關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對(duì)稱(chēng)。 例題2． 如圖—5所示，在y＜0的區(qū)域內(nèi) 存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一帶正電的粒子以速度υ0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ.若粒子射出磁場(chǎng)的位置 與O點(diǎn)的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比。 圖—5 分析：注意到幾何關(guān)系的確認(rèn)。 解答：如圖—6所示，帶電粒子射入磁 場(chǎng)后，由于受到洛侖茲力的作用，粒子將沿圖示的 軌跡運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，O、A間的距離為 l.射出方向與x軸的夾角仍為θ，由洛侖茲力公 式和牛頓定律可得， qυ0B=m 式中R為圓軌道的半徑 解得R= 圓軌道的圓心位于OA的中垂線(xiàn)上，由幾何關(guān)系可得=Rsinθ y x o B v v a O/ 聯(lián)立上述兩式，解得= 例題3．　一個(gè)質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（a，0）點(diǎn)以速度v，沿與x正方向成60的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：由射入、射出點(diǎn)的半徑可找到圓心O/，并得出半徑為；射出點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）。 O B S v θ P 例題4. 一個(gè)負(fù)離子，質(zhì)量為m，電量大小為q，以速率v垂直于屏S經(jīng)過(guò)小孔O射入存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)的真空室中，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向與離子的運(yùn)動(dòng)方向垂直，并垂直于圖1中紙面向里. （1）求離子進(jìn)入磁場(chǎng)后到達(dá)屏S上時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離. （2）如果離子進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)位置P，證明:直線(xiàn)OP與離子入射方向之間的夾角θ跟t的關(guān)系是。 解析：（1）離子的初速度與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直，在洛侖茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)圓半徑為r，則據(jù)牛頓第二定律可得： ，解得 如圖所示，離了回到屏S上的位置A與O點(diǎn)的距離為：AO=2r 所以 r v R v O/ O （2）當(dāng)離子到位置P時(shí)，圓心角： 因?yàn)?，所? 畫(huà)好輔助線(xiàn)（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線(xiàn)）。偏角可由求出。經(jīng)歷時(shí)間由得出。 O A v0 B 注意：由對(duì)稱(chēng)性，射出線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)必過(guò)磁場(chǎng)圓的圓心。 例題5． 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的正離子，從A點(diǎn)正對(duì)著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點(diǎn)射出，求正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損失，不計(jì)粒子的重力。 解析：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無(wú)能量損失和電量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運(yùn)動(dòng)的軌跡是對(duì)稱(chēng)的，如圖所示。設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞n次（），則每相鄰兩次碰撞點(diǎn)之間圓弧所對(duì)的圓心角為2π/（n+1）.由幾何知識(shí)可知，離子運(yùn)動(dòng)的半徑為 離子運(yùn)動(dòng)的周期為，又， 所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為. O＇ M N L A O 例題6. 圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個(gè)磁感強(qiáng)度為B、方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蚶锏膭驈?qiáng)磁場(chǎng)，與區(qū)域邊緣的最短距離為L(zhǎng)的O＇處有一豎直放置的熒屏MN，今有一質(zhì)量為m的電子以速率v從左側(cè)沿OO＇方向垂直射入磁場(chǎng)，越出磁場(chǎng)后打在熒光屏上之P點(diǎn)，如圖所示，求O＇P的長(zhǎng)度和電子通過(guò)磁場(chǎng)所用的時(shí)間。 M N O, L A O R θ/2 θ θ/2 B P O// P 解析 ：電子所受重力不計(jì)。它在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O″，半徑為R。圓弧段軌跡AB所對(duì)的圓心角為θ，電子越出磁場(chǎng)后做速率仍為v的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)， 如圖4所示，連結(jié)OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可見(jiàn)O、B、P在同一直線(xiàn)上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中，O＇P=（L+r）tanθ，而，，所以求得R后就可以求出O＇P了，電子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間可用t=來(lái)求得。 由得R= ， ， A B C D 例題7. 長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示，磁感強(qiáng)度為B，板間距離也為L(zhǎng)，板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線(xiàn)以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是： A．使粒子的速度v5BqL/4m； C．使粒子的速度v>BqL/m； D．使粒子速度BqL/4m5BqL/4m時(shí)粒子能從右邊穿出。 粒子擦著上板從左邊穿出時(shí)，圓心在O＇點(diǎn)，有r2＝L/4，又由r2＝mv2/Bq=L/4得v2＝BqL/4m ∴v2d，即v>Bed/m. 例題9． 如圖—2所示，有a、b、c、d四個(gè)離子，它們帶等量同種電荷，質(zhì)量不等，有ma=mb＜mc=md，以不等的速度υa＜υb＜υc＜υd進(jìn)入速度選擇器 后， 有兩種離子從速度選擇器中射出，進(jìn)入B2磁場(chǎng)，由此可判定（ ） A．射向P1的是a離子 B．射向P2的是b離子 C．射到A1的是c離子 D．射到A2的是d離子 圖—2 分析：比例解答要求了解“速度選擇器”和“質(zhì)譜儀”的基本原理。 解答：從離子在磁場(chǎng)B2中的偏轉(zhuǎn)方向可知離子帶正電，而正離子在速度選擇器中受到磁場(chǎng)B1的洛侖茲力方向又可由左手定則判斷為向右，電極P1、P2間的電場(chǎng)方向必向左，因?yàn)閝υbB1=qυcB1=qE，所以能沿直線(xiàn)穿過(guò)速度選擇器的必然是速度相等的b、c兩離子；因?yàn)閝υaB1＜qE，所以a離子穿過(guò)速度選擇器必向左偏；因?yàn)閝υdB1＞qE，所以d離子穿過(guò)速度器時(shí)必向右偏；因?yàn)椋?，所以在B2中偏轉(zhuǎn)半徑較小而射到A1的是b離子，在B2中偏轉(zhuǎn)半徑較大而射到A2的是C離子。即經(jīng)例應(yīng)選A。 例題10．霍爾效應(yīng)：（xx年理科綜合第29題） 如圖（4）：厚度為h，寬度為d的導(dǎo)體板放在垂直于它的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)電流通過(guò)導(dǎo)體板時(shí),在導(dǎo)體板的上側(cè)面A和下側(cè)面A′之間會(huì)產(chǎn)生電勢(shì)差。該現(xiàn)象稱(chēng)為霍爾效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)磁場(chǎng)不太強(qiáng)時(shí)，電勢(shì)差U，電流I和B的關(guān)系為U=KIB/d。其中比例系數(shù)K稱(chēng)為霍爾系數(shù)。 分析：外部磁場(chǎng)的洛侖茲力使運(yùn)動(dòng)的電子聚集在導(dǎo)體板的一側(cè)，在導(dǎo)體板的另外一側(cè)會(huì)出現(xiàn)多余的正電荷，從而形成橫向電場(chǎng)，橫向電場(chǎng)對(duì)電子施加與洛侖茲力方向相反的靜電力。當(dāng)靜電力與洛侖茲力達(dá)到平衡時(shí)，導(dǎo)體板上下兩側(cè)之間就形成穩(wěn)定的電勢(shì)差。 設(shè)電流I是由電子的定向流動(dòng)形成的，電子的平均定向速度為v，電量為e，則： (1) 達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，導(dǎo)體板上側(cè)面A的電勢(shì) 下側(cè)面Aˊ的電勢(shì)。（填高于、低于或等于）。 這里要提醒學(xué)生注意的是導(dǎo)體板中移動(dòng)的是自由電子，如圖當(dāng)電流向右時(shí)電子向左定向移動(dòng)，根據(jù)左手定則可知電子受到的洛侖茲力向上，從而在上側(cè)面A聚集電子帶負(fù)電，下側(cè)面Aˊ因失去電子而帶正電。故φA<φA′。 (2) 電子受到的洛侖茲力的大小為 evB 。 (3) 當(dāng)導(dǎo)體板上下兩側(cè)之間的電勢(shì)差為U時(shí)，電子所受到的靜電力大小為 因?yàn)榉€(wěn)定時(shí)靜電力等于洛侖茲力，故F電=qE=eU/h或evB。 (4) 由電場(chǎng)力和洛侖茲力的平衡條件證明霍爾系數(shù)K=1/ne，其中n代表導(dǎo)體板單位體積內(nèi)電子的個(gè)數(shù)。 證明：由F電=F洛，有 eU/h=evB, 得 U=Bvh， 而已知U=KIB/d ， I=q/t=nehdvt/t=nevhd。 代入Bvh=KnevhdB/d，得 K=1/ne。 在xx年理科綜合考試第24題中，再次考到霍爾效應(yīng)。命題材料是電磁流量計(jì)，知識(shí)點(diǎn)比上題多考了電阻定律和閉合電路歐姆定律, 這里不再重復(fù)了。 例題11． 如圖-4所示，A、B為水平放置的足夠長(zhǎng)的平行板，板間距離為d=1.010-2m，A板上有一電子源P，Q點(diǎn)為P點(diǎn)正上方B板上的一點(diǎn)，在紙面內(nèi)向Q點(diǎn)發(fā)射速度在0～3.2107m/s范圍內(nèi)的電子。若垂直紙面加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=9.110-3T，已知電子的質(zhì)量m=9.110-31㎏，電子的電量e=1.610-19C，不計(jì)電子的重力和電子間的相互作用力，且電子打到板上均被吸收，并轉(zhuǎn)移到大地，求電子擊中A、B兩板上的范圍。 解析：該題雖然與上題條件不同，但都是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，同樣可以用上述方法。 P v 圖-5 假設(shè)電子在不受邊界限制的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則根據(jù)左手定則可以判斷：沿PQ方向以大小不同的速度發(fā)射電子，均做順時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，這些半徑不等的圓均與PQ相內(nèi)切，它們的圓心都在過(guò)P點(diǎn)的水平直線(xiàn)上，如圖-5所示。其中電子運(yùn)動(dòng)的最大軌跡半徑rm由F洛=qvB=m得rm= ，代入數(shù)據(jù)得到rm=210-2m=2d，這樣在圖-5的基礎(chǔ)上再加上與直線(xiàn)AP平行的且間距為d的直線(xiàn)BQ就相當(dāng)于磁場(chǎng)的兩個(gè)邊界線(xiàn)，如圖-6所示。這里只需畫(huà)出半徑分別是d和2d的兩個(gè)特殊的圓，所求范圍由圖即可直接得到。 M P Q N 0 H F 圖-6 A B 由圖-6可知隨著速度的不斷增大，電子的運(yùn)動(dòng)半徑也隨之增大，而這些電子只要經(jīng)過(guò)半個(gè)圓就可以打到A板上，當(dāng)半徑增大到d即如圖中的小圓時(shí)，圓正好與B板相切，且切點(diǎn)為N，電子開(kāi)始打到B板上，同時(shí)電子又被B板擋住，不再打到 A板上，此圓也是電子打到A板上最遠(yuǎn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓，這樣電子打在A板上的范圍應(yīng)該是PH段。而從此刻開(kāi)始電子只打到B板上，隨著速度的增大，所打到B板上的點(diǎn)逐漸向左移動(dòng)，一直增大到最大半徑即如圖-6中的大圓的位置，則由圖可知打在B板上的范圍是MN段。根據(jù)幾何關(guān)系，H點(diǎn)正好是大圓的圓心。則有 FH===，QM=PF=（2-）d=2.6810-3m， QN=d=1.010-2m，PH=2d=210-2m, 則電子擊中A板P點(diǎn)右側(cè)與P點(diǎn)相距0～210-2m的范圍，即PH段， 擊中B板Q 點(diǎn)右側(cè)與Q點(diǎn)相距2.6810-3m～110-2m的范圍，即MN段