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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習講義 第十章 算法初步與框圖 【知識圖解】 算法 算法的描述 流程圖 偽代碼 自然語言 條 件 結(jié) 構(gòu) 循 環(huán) 結(jié) 構(gòu) 順 序 結(jié) 構(gòu) 條 件 結(jié) 構(gòu) 循 環(huán) 結(jié) 構(gòu) 輸入(出)語句 順 序 結(jié) 構(gòu) 順 序 結(jié) 構(gòu) 順 序 結(jié) 構(gòu) 【方法點撥】 1.學(xué)習算法要理解算法的含義.明確建立算法就是設(shè)計完成一件事的操作步驟.一般地說，這樣的操作步驟應(yīng)該具有通用性，能處理一類問題. 2.掌握算法的三種基本結(jié)構(gòu).順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法的三種基本結(jié)構(gòu).要通.具體實例了解三種基本結(jié)構(gòu)的使用范圍，通過流程圖認識它們的基本特征. 3.掌握流程圖的畫法.用流程圖表示算法具有、清晰的特點，也是高考重點考查的內(nèi)容，要予以重視.特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖，對判斷框中的條件與前測試還是后測試之間的關(guān)系一定要弄清楚. 4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般為：先探尋解決問題的方法，并用通俗的語言進行表述，再將通俗的算法語言用流程圖直觀表示，最后根據(jù)流程圖選擇適當?shù)乃惴ㄕZ句用偽代碼表示算法過程. 第1課 算法的含義 【考點導(dǎo)讀】 正確理解算法的含義.掌握用自然語言分步驟表達算法的方法. 高考要求對算法的含義有最基本的認識，并能解決相關(guān)的簡單問題. 【基礎(chǔ)練習】 1．下列語句中是算法的個數(shù)為 3個 ①從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎； ②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事； ③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹； ④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角 形的面積. 2．早上從起床到出門需要洗臉刷牙（5 min）、刷水壺（2 min）、燒水（8 min）、泡面（3 min）、吃飯（10 min）、 聽廣播（8 min）幾個步驟.從下列選項中選最好的一種算法 　③　　. ①S1洗臉刷牙、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播 ②S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯、S5聽廣播 ③S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播 ④S1吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉刷牙、S4刷水壺 3．寫出交換兩個大小相同的杯子中的液體（A水、B酒）的兩個算法. 答案：解析：算法1： S1.再找一個大小與A相同的空杯子C； S2.將A中的水倒入C中； S3.將B中的酒倒入A中； S4.將C中的水倒入B中，結(jié)束. 算法2： S1.再找兩個空杯子C和D； S2.將A中的水倒入C中，將B中的酒倒入D中； S3.將C中的水倒入B中，將D中的酒倒入A中，結(jié)束. 注意：一個算法往往具有代表性，能解決一類問題，如，可以引申為：交換兩個變量的值. 4．寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7的一個算法. 解析：本例主要是培養(yǎng)學(xué)生理解概念的程度，了解解決數(shù)學(xué)問題都需要算法 算法一：按照逐一相加的程序進行. 第一步　計算1＋2，得到3； 第二步　將第一步中的運算結(jié)果3與3相加，得到6； 第三步　將第二步中的運算結(jié)果6與4相加，得到10； 第四步　將第三步中的運算結(jié)果10與5相加，得到15； 第五步　將第四步中的運算結(jié)果15與6相加，得到21； 第六步　將第五步中的運算結(jié)果21與7相加，得到28. 算法二：可以運用公式1＋2＋3＋…＋n＝直接計算. 第一步　取n＝7；第二步　計算；第三步　輸出運算結(jié)果. 點評：本題主要考查學(xué)生對算法的靈活準確應(yīng)用和自然語言表達一個問題的算法的方法.算法不同，解決問題的繁簡程度也不同，我們研究算法，就是要找出解決問題的最好的算法. 【范例解析】 例1 下列關(guān)于算法的說法，正確的有 . （1）求解某一類問題的算法是惟一的 （2）算法必須在有限步驟操作之后停止 （3）算法的每一操作必須是明確的，不能有歧義或模糊（4）算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果 解 由于算法具有可終止性，明確性和確定性，因而（2）（3）（4）正確，而解決某類問題的算法不一定是惟一的，從而（1）錯. 例2.寫出解方程x2-2x-3=0的一個算法. 分析 本題是求一元二次方程的解的問題，方法很多，下面利用配方法，求根公式法寫出這個問題的兩個算法 算法一： （1）移項，得x2-2x=3； ① （2）①兩邊同加1并配方，得(x-1)2=4 ② （3）②式兩邊開方，得x-1=2; ③ （4）解③，得x=3或x=-1. 算法二：（1）計算方程的判別式，判斷其符號： （2）將a=1，b=-2,c= -3,代入求根公式，得 點評 比較兩種算法，算法二更簡單，步驟最少，由此可知，我們只要有公式可以利用，利用公式解決問題是最理想，合理的算法.因此在尋求算法的過程中，首先是利用公式.下面我們設(shè)計一個求一般的一元二次方程的ax2+bx+c=0根的算法如下： (1)計算（2）若（3）方程無實根;（4）若（5）方程根 例3：一個人帶三只狼和三只羚羊過河.只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物.沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃掉羚羊. （1）設(shè)計安全渡河的算法; （2）思考每一步算法所遵循的相同原則是什么. 解析：（1）S1　人帶兩只狼過河. S2　人自己返回. S3　人帶兩只羚羊過河. S4　人帶一只狼返回. S5　人帶一只羚羊過河. S6　人自己返回. S7　人帶兩只狼過河. （2）在人運送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目. 點評 這是一個實際問題，生活中解決任何問題都需要算法，我們要在處理實際問題的過程中理解算法的含義，體會算法設(shè)計的思想方法. 【反饋演練】： 1．下面對算法描述正確的一項是 C 　　. A．算法只能用偽代碼來描述 B．算法只能用流程圖來表示 C．同一問題可以有不同的算法 D．同一問題不同的算法會得到不同的結(jié)果 解析：自然語言、圖形和偽代碼都可以表示算法，只要是同一問題，不同的算法也應(yīng)該有相同的結(jié)果. 2．計算下列各式中的S的值，能設(shè)計算法求解的是?、佟、?. ①；②；③ 解析：因為算法步驟具有“有限性”特點，故②不可用算法求解. 3．已知一個學(xué)生的語文成績?yōu)?9，數(shù)學(xué)成績?yōu)?6，外語成績?yōu)?9，求他的總分和平均成績的一個算法為： 第一步　取A＝89，B＝96，C＝99; 第二步　　　　①　　?。? 第三步　　　?、凇　　?； 第四步　輸出D，E. 請將空格部分（兩個）填上適當?shù)膬?nèi)容 答案：①計算總分D＝A+B+C?、谟嬎闫骄煽僂＝ 4．寫出123456的一個算法. 答案：解析：按照逐一相乘的程序進行. 第一步　計算12，得到2； 第二步　將第一步中的運算結(jié)果2與3相乘，得到6； 第三步　將第二步中的運算結(jié)果6與4相乘，得到24； 第四步　將第三步中的運算結(jié)果24與5相乘，得到120； 第五步　將第四步中的運算結(jié)果120與6相乘，得到720； 第六步　輸出結(jié)果. 5．已知一個三角形的三邊邊長分別為2、3、4，設(shè)計一個算法，求出它的面積. 答案：解析：可利用公式 S＝求解. 第一步　取a＝2，b＝3，c＝4； 第二步　計算p＝； 第三步　計算三角形的面積S＝； 第四步　輸出S的值. 6. 求1734，816，1343的最大公約數(shù). 分析：三個數(shù)的最大公約數(shù)分別是每個數(shù)的約數(shù)，因此也是任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)，也就是說三個數(shù)的最大公約數(shù)是其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù). 解：用“輾轉(zhuǎn)相除法”. 先求1734和816的最大公約數(shù)， 1734=8162+102； 816=1028； 所以1734與816的最大公約數(shù)為102. 再求102與1343的最大公約數(shù)， 1343=10213+17；102=176. 所以1343與102的最大公約數(shù)為17，即1734，816，1343的最大公約數(shù)為17. 7. 寫出用二分法求關(guān)于x的方程x2－2＝0的根（精確到0.005）的算法. 第一步 令f(x)=x2-2，因為f(1)<0，f(2)>0，所以設(shè)x1=1，x2=2 第二步 令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若是，則m為所求，否則，則繼續(xù)判斷f(x1)f(m)大于0還是小于0. 第三步 若f(x1)f(m) >0則令x1=m，否則x2=m. 第四步 判斷|x1-x2|<0.005是否成立？若是則x1、x2之間的任意值均為滿足條件的近似值；否則返回第二步. 點評 .區(qū)間二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步驟為 S1　取［a，b］的中點x0=（a+b）/2； S2　若f(x0)=0，則x0就是方程的根，否則 若f(a)f(x0)>0，則a←x0；否則b←x0； S3　若|a－b|b ；（2）　b-a　 　　　 【范例解析】 例1.已知梯形的上底、下底和高分別為5、8、9，寫出求梯形的面積的算法，畫出流程圖. （第1題） 解 算法如下 S1 a←5； S2　b←8； S3　h←9； S4　S←（a+b）h/2； S5　輸出S. 流程圖為 ： 點評 本題中用的是順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu). 例（第2題） 開始 a>0 輸入a,b 結(jié)束 輸出x>x0 輸出xx0,否則輸出x20 . (第5題) 結(jié)束 輸出a 開始 a=b 輸出a,b,c a>b a>c a=c Y Y N N 結(jié)束 輸出s 開始 s=0,n=2,i=1 s=s+1/n n=n+2 i=i+1 Y N (第4題) 5. 給出以下一個算法的程序框圖（如圖所示）.該程序框圖的功能是 求出a,b,c三數(shù)中的最小數(shù) . (第6題) 6.根據(jù)下面的算法畫出相應(yīng)的流程圖. 算法： S1　T←0； S2　I←2； S3　T←T+I； S4　I←I+2； S5　如果I不大于200，轉(zhuǎn)S3； S6　輸出T . 答案：解：這是計算2+4+6+…+200的一個算法. 流程圖如下： 第3課 算法語句A 【考點導(dǎo)讀】 會用偽代碼表述四種基本算法語句：輸入輸出語句，賦值語句，條件語句和循環(huán)語句.會用上述基本語句描述簡單問題的算法過程.高考要求對算法語句有最基本的認識，并能解決相關(guān)的簡單問題. 【基礎(chǔ)練習】 1 .下列賦值語句中，正確的是 （1） . 2．條件語句表達的算法結(jié)構(gòu)為 ② . ①．順序結(jié)構(gòu) ②．選擇結(jié)構(gòu) ③．循環(huán)結(jié)構(gòu) ④．以上都可以 解析：條件語句典型的特點是先判斷再執(zhí)行，對應(yīng)的是選擇結(jié)構(gòu). 3．關(guān)于循環(huán)說法錯誤的是 ④ . ①．在循環(huán)中，循環(huán)表達式也稱為循環(huán)體 ②．在循環(huán)中，步長為1，可以省略不寫，若為其它值，則不可省略 ③．使用循環(huán)時必須知道終值才可以進行 ④．循環(huán)中控制結(jié)束一次循環(huán)，開始一次新循環(huán) 解析：循環(huán)中是指整個循環(huán)結(jié)束，而不是一次循環(huán)結(jié)束 【范例解析】 例1．試寫出解決求函數(shù)y=的函數(shù)值這一問題的偽代碼． 解：　　　　Read x If x<2 Then y ← x2-1 Else y ← -x2+1 End If Print y 點評 分段函數(shù)問題是考查If語句一個重要的載體，因此，我們要注意此類問題可以先根據(jù)語言敘說，讓學(xué)生先列出函數(shù)關(guān)系式，再寫出相應(yīng)的偽代碼． 例2.已知S＝5+10+15+…+1500，請用流程圖描述求S的算法并用偽代碼表示. 解 流程圖如下圖所示： 從流程圖可以看出這是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，我們可以運用循環(huán)語句來實現(xiàn). S←5 For I from 10 to 1500 step 5 S←S+I End For Print S 點評 在準確理解算法的基礎(chǔ)上，學(xué)會循環(huán)語句的使用.循環(huán)語句包括for循環(huán)、While循環(huán).解題時要根據(jù)需要靈活運用. 循環(huán)語句包括if…then，if…then…else，并且if…then…else可以嵌套，解題時要根據(jù)需要靈活運用. 例3. 青年歌手大獎賽有10名選手參加，并請了12名評委.為了減少極端分數(shù)的影響，通常去掉一個最高分和一個最低分后再求平均分.請用算法語句表示：輸入12名評委所打的分數(shù)ai，用函數(shù)Max(a1,a2,…,a12)和Min (a1,a2,…,a12) 分別求出中ai(i=1,2,…,12)的最大值和最小值，最后輸出該歌手的成績. 解 S←0 For I from 1 to 12 Read ai S←S+ai End For G←(S - Max(a1,a2,…,a12)- Min (a1,a2,…,a12))/10 Print G 【反饋演練】 1.下圖中程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是_____7___________. I1 For n from 1 to 11 step 2 I2I+1 If I>20 Then II－20 End if End for Print I （第2題） 2.寫出下面流程圖所表述的算法的功能并用偽代碼表示. (第2題) 答案：解：輸出兩個不同的數(shù)中小的一個數(shù).用偽代碼表示為 Read a，b If a>b then Print b Else Print a End if 第4課 算法語句B 【考點導(dǎo)讀】 1.循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法用循環(huán)語句表示. 2理解“While循環(huán)”和“For循環(huán)”，前者是前測試的當當型循環(huán)，后者是在循環(huán)次數(shù)已知時使用的循環(huán). 【基礎(chǔ)練習】 1．下列偽代碼中的循環(huán)次數(shù)為 9 ． s←0 For I from 1 to 25 step 3 s←s+I End for Print s 2.要使以下For循環(huán)執(zhí)行20次，循環(huán)變量的初值應(yīng)該是 14 .(For k From To -5 Step -1) 3.下面這段偽代碼的功能 計算其中小于0數(shù)的個數(shù) . n 0 Read x1,x2…x10 For i from 1 to10 If xi<0 then n n+1 End if End for Print n (第3題) Read x If x≤5 Then y←10x Else y←2.5x+5 End If Print y (第4題) 4．下面是一個算法的偽代碼．如果輸出的y的值是20，則輸入的x的值是 2或6 . 解析：若，由，則；若，由，得. 【范例解析】 例1.設(shè)計算法，求的值. 解 偽代碼： s←1 For I from 2 to 100 End for Print s 點評 本題是連乘求積的問題，自然想到用循環(huán)語句設(shè)計算法，算法的設(shè)計又帶有靈活性和通用性，熟練地掌握這一類題的解法，對于解決與此相關(guān)的問題有很大幫助. 例3.某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題： （1）寫出該城市人口數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系式； （2）用偽代碼寫出計算10年以后該城市人口總數(shù)的算法； （3）用偽代碼寫出計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人. 解：（1）y=100（1+0.012）x. （2）10年后該城市人口總數(shù)為y=100（1+0.012）10. 算法如下： y←100 t←1.012 For I from 1 to 10 y←yt End for Print y End （3）設(shè)x年后該城市人口將達到120萬人，即100（1+0.012）x=120. 算法如下： S←100 I←1.012 T←0 While S<120 S←SI T←T+1 End while Print T End 【反饋演練】 1．如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的 2550 . 開始 ？ 是 否 輸出 結(jié)束 N Y 開始 輸入f0(x) i←0 i←i+1 fi (x)←f’i-1 (x) i=xx 輸出fi(x) 結(jié)束 (第4題) 開始 n←1 a←15n 輸出a n←n+1 n>66 結(jié)束 Y N ① ③ ② (第3題) 3．下圖是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法，下列說法中：(1)①是循環(huán)變量的初始化，循環(huán)將要開始；(2)②為循環(huán)體；(3)③是判斷是否繼續(xù)循環(huán)的條件；(4)①可以省略不寫．其中正確的的是 ① ② ③ ． 4．在如下程序框圖中，輸入f0(x)=cosx，則輸出的是 cosx ． 5. 當 x=2 時 ，下面程序運行結(jié)果是 15 . While End while Print s End (第5題) 6．依據(jù)不同條件，給出下面的流程圖的運行結(jié)果： （1）當箭頭a指向①時，輸出 6 ； （2）當箭頭a指向②時，輸出 20 . ； 7.已知數(shù)列中，，且，求這個數(shù)列的第m項的值.現(xiàn)給出此算法流程圖的一部分，請將空格部分（兩個）填上適當?shù)膬?nèi)容① 2 ② m+1 Y 輸入m S←T+S N Y T≥ ② 結(jié)束 輸出m,S 開始 T←T+1 S←2，T← ① (第7題) 開始 ① ② a 輸出S N 結(jié)束 Y (第6題)