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2019-2020年高考數(shù)學考點分類自測 曲線與方程 理 一、選擇題 1．已知| |＝3，A、B分別在y軸和x軸上運動，O為原點， ＝ ＋ ，則動點P的軌跡方程是 (　　) A.＋y2＝1　　　　　　　 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 2．已知兩個定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于 (　　) A．π B．4π C．8π D．9π 3．平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足 ＝λ1 ＋λ2 (O為原點)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點C的軌跡是 (　　) A．直線 B．橢圓 C．圓 D．雙曲線 4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是 (　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1) C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 5．給出以下方程： ①2x＋y2＝0；②3x2＋5y2＝1；③3x2－5y2＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，則其對應的曲線可以放進一個足夠大的圓內(nèi)的方程的個數(shù)是 (　　)A． 1 B．2 C．3 D．4 6．圓O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)為兩個定點．直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準線，則拋物線焦點所在的軌跡是 (　　) A．雙曲線　　　　　　 B．橢圓 C．拋物線 D．圓 二、填空題 7．直線＋＝1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是____________． 8．△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． 9．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點的軌跡．給出下列三個結(jié)論： ①曲線C過坐標原點； ②曲線C關于坐標原點對稱； ③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結(jié)論的序號是____． 三、解答題 10．已知A、B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個動點，線段AB的長為2，P是AB的中點． 求動點P的軌跡C的方程． 11．已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1. (1)求橢圓C的方程； (2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 12．在平面直角坐標系xOy中，直線l：x＝－2交x軸于點A，設P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO＝∠AOP. 當點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程． 一、選擇題 1．解析：設A(0，y0)，B(x0,0)，P(x，y)，則由| |＝3得x＋y＝9，又因為 ＝ (x，y)， ＝(0，y0)， ＝(x0,0)，由 ＝ ＋ 得x＝，y＝，因此x0＝，y0＝3y，將其代入x＋y＝9得＋y2＝1. 答案：A 2．解析：設P(x，y)，則|PA|2＝(x＋2)2＋y2，|PB|2＝(x－1)2＋y2，又|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2， ∴(x－2)2＋y2＝4，表示圓，∴S＝πr2＝4π. 答案：B 3．解析：設C(x，y)，則 ＝(x，y)， ＝(3,1)， ＝(－1,3)， ∵＝λ1 ＋λ2 ，∴，又λ1＋λ2＝1， ∴x＋2y－5＝0，表示一條直線． 答案：A 4．解析：由題意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|， ∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2， 故點F的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支，又c＝7，a＝1，b2＝ 48，∴點F的軌跡方程為y2－＝1(y≤－1)． 答案：A 5．解析：所給出的方程中，①2x＋y2＝0是拋物線，②3x2＋5y2＝1是橢圓，③3x2－5y2＝1是雙曲線，④|x|＋|y|＝2是一個正方形，⑤|x－y|＝2是兩條平行直線，只有②④兩個方程對應的曲線是封閉曲線，可以放進一個足夠大的圓內(nèi)． 答案：B 6．解析：設拋物線的焦點為F，因為A、B在拋物線上，所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準線l的距離AM、BN，于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|. 過O作OP⊥l，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OP是中位線，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|. 根據(jù)橢圓的定義知，焦點F的軌跡是一個橢圓． 答案：B 二、填空題 7．解析：(參數(shù)法)設直線＋＝1與x、y軸交點為A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中點為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1) 8．解析：如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支， 方程為－＝1(x＞3)． 答案：－＝1(x＞3)． 9．解析：因為原點O到兩個定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a＞1，所以曲線C不過原點，即①錯誤；因為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)關于原點對稱，所以|PF1||PF2|＝a2對應的軌跡關于原點對稱，即②正確；因為S△F1PF2＝|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面積不大于a2，所以③正確． 答案：②③ 三、解答題 10．解：設P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵P是線段AB的中點，∴ ∵A、B分別是直線y＝x和y＝－x上的點， ∴y1＝x1，y2＝－x2. ∴ 又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12. ∴12y2＋x2＝12. ∴動點P的軌跡C的方程為＋y2＝1. 11．解：(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c， 由已知得解得a＝4，c＝3. b2＝a2－c2＝16－9＝7. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設M(x，y)，其中x∈[－4,4]． 由已知＝λ2及點P在橢圓C上可得 ＝λ2， 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]． ①λ＝時，化簡得9y2＝112，所以點M的軌跡方程為y＝(－4 ≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段． ②λ≠時，方程變形為＋＝1， 其中x∈[－4,4]； 當0＜λ＜時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分； 當＜λ＜1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分； 當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓． 12．解：如圖，可得直線l：x＝－2與x軸交于點A(－2,0)，設P(－2，m)， (1)當m＝0時，點P與點A重合，這時OP的垂直平分線為x＝－1，由∠AOP＝∠MPO＝0，得M(－1,0)； (2)當m≠0時，設M(x0，y0)， ①若x0>－1，由∠MPO＝∠AOP得MP∥OA，有y0＝m， 又kOP＝－，OP的中點為(－1，)， ∴OP的垂直平分線為y－＝(x＋1)，而點M在OP的垂直平分線上， ∴y0－＝(x0＋1)，又m＝y(tǒng)0， 于是y0－＝(x0＋1)，即y＝4(x0＋1)(x0>－1)． ②若x0<－1，如圖，由∠MPO＝∠AOP得點M為OP的垂直平分線與x軸的交點，在y－＝(x＋1)中，令y＝0，有x＝－－1<－1，即M(－ －1,0)， ∴點M的軌跡E的方程為y2＝4(x＋1)(x≥－1)和y＝0(x<－1)．