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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)列的極限》教案 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 極限概念是微積分中最重要和最基本的概念之一，因?yàn)槲⒎e分中其它重要的基本概念（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分等）都是用極限概念來表述的，而且它們的運(yùn)算和性質(zhì)也要用極限的運(yùn)算和性質(zhì)來推導(dǎo)，同時(shí)數(shù)列極限的掌握也有利于函數(shù)極限的學(xué)習(xí)，所以，極限概念的掌握至關(guān)重要. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1．理解數(shù)列極限的概念，能初步根據(jù)數(shù)列極限的定義確定一些簡(jiǎn)單數(shù)列的極限. 2．觀察運(yùn)動(dòng)和變化的過程，初步認(rèn)識(shí)有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，提高的數(shù)學(xué)概括能力、抽象思維能力和審美能力. 3．利用劉徽的割圓術(shù)說明極限，滲透愛國主義教育，增強(qiáng)民族自豪感和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念以及簡(jiǎn)單數(shù)列的極限的求解. 難點(diǎn)：數(shù)列極限的定義的理解. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 電腦課件和實(shí)物展示臺(tái)，通過電腦的動(dòng)畫演示來激發(fā)興趣、引發(fā) 思考、化解難點(diǎn)，即對(duì)極限定義的理解，使學(xué)生初步的完成由有限到無限的過渡，運(yùn)用實(shí)物展示臺(tái)來呈現(xiàn)學(xué)生的作業(yè)，指出學(xué)生課堂練習(xí)中的優(yōu)點(diǎn)和不足之處，及時(shí)反饋. 實(shí)例引入 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 幾何 理解 數(shù)列的極限 概念 符號(hào) 運(yùn)用與深化(例題解析、鞏固練習(xí)) 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、 情景引入 1、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題 1. 觀察 教師：在古代有人曾寫道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.” 哪位同學(xué)能解釋一下此話意思？ 學(xué)生：一根一尺長的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此繼續(xù)下去，永遠(yuǎn)也無法取完思考 教師：如果把每天取得的木棒長度排列起來，會(huì)得到一組怎樣的數(shù)？ 學(xué)生 ： 3．討論 教師； 隨著的增大，數(shù)列的項(xiàng)會(huì)怎樣變化？ 學(xué)生： 慢慢靠近0. 教師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的數(shù)列的極限----引出課題 二、學(xué)習(xí)新課 2、觀察歸納，形成概念 （1）直觀認(rèn)識(shí) 教師：請(qǐng)同學(xué)們考察下列幾個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì) （a） ①“項(xiàng)”隨的增大而減小 ②但都大于0 ③當(dāng)無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)可以“無限趨近于”常數(shù)0 （b） ①“項(xiàng)”的正負(fù)交錯(cuò)地排列，并且隨的增大其絕對(duì)值減小 ②當(dāng)無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)可以“無限趨近于”常數(shù)0 （c） ①“項(xiàng)”隨的增大而增大 ②但都小于1 ③當(dāng)無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)可以“無限趨近于”常數(shù)1 教師：用電腦動(dòng)畫演示數(shù)列的不同的趨近方式： （a）從右趨近 （c）從左趨近 （b）從左右 兩方趨近，使學(xué)生明白不同的趨近方式 教師：上面的莊子講的話體現(xiàn)了極限的思想，其 實(shí)我們的先輩還會(huì)用極限的思想解決問題,我國魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家劉徽于公元前 263年創(chuàng)立的“割圓術(shù)”借助圓內(nèi)接正多邊形的周長，得到圓的周長就是極限思想的一次很好的應(yīng)用.劉徽把他的操作方法概括這樣幾個(gè)字：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓和體，而無所失矣.” 概念辨析 教師：歸納數(shù)列極限的描述性定義 學(xué)生：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無限的趨近于某一個(gè)常數(shù)那么就說數(shù)列以為極限. 教師：是不是每個(gè)數(shù)列都有極限呢？ 學(xué)生1：（思考片刻）不是.如 學(xué)生2： 教師：請(qǐng)大家再看一下，下面的數(shù)列極限存在嗎？如果有，說出極限. n是偶數(shù) n是奇數(shù) （a） （b）無窮數(shù)列： 學(xué)生1：數(shù)列（a）有極限，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的極限是0，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 的極限是1.數(shù)列（b）的極限是0.4. 教師： 有不同意見嗎？ 學(xué)生2：數(shù)列（b）的極限是0.34 學(xué)生3：數(shù)列（b）的極限不存在 （這時(shí)課堂上的學(xué)生們都在紛紛議論，大家對(duì)數(shù)列（b）的極限持有各自不同的觀點(diǎn)，但對(duì)數(shù)列（a）的極限的認(rèn)識(shí)基本贊同學(xué)生1的觀點(diǎn).） 教師： 數(shù)列（a）有極限嗎？數(shù)列（b）的極限究竟是多少？（學(xué)生們沉思） 學(xué)生4：數(shù)列（a）沒極限，原因是極限的描述性定義中要求趨近與一個(gè)常數(shù),數(shù)列（b）的極限是. 教師：回答的非常正確（用動(dòng)畫演示數(shù)列（b）的逼近過程），同學(xué)們對(duì)（a）判斷錯(cuò)誤的原因是對(duì)描述性定義還未很好的理解.對(duì)（b）判斷錯(cuò)誤的原因是描述性定義的局限性導(dǎo)致的，數(shù)列（b）隨著的無限增大，它會(huì)趨近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以無限的接近必須有量化的表述. （2）量化認(rèn)識(shí) 教師：用什么來體現(xiàn)這種無限接近的過程呢？ 學(xué)生：用和之間的距離的縮小過程，即 趨近0 教師：現(xiàn)在以數(shù)列為例說明這種過程觀察： 距離量化：，隨著的增大，的值越來越小，不論給定怎樣小的一個(gè)正數(shù)（記為ε），只要充分的大，都有比給定的正數(shù)小. 教師：請(qǐng)同桌的兩位同學(xué)，一個(gè)取ε，另一個(gè)找. 問題拓展 學(xué)生：老師再來幾個(gè)其它的數(shù)列 教師：以上我們以提到的和 為例，大家可以再操作一下. 教師：（學(xué)生問答完畢）大家作了這項(xiàng)活動(dòng)以后有什么感受？ 學(xué)生：只要數(shù)列有極限，對(duì)于給定的正數(shù)ε，總可以找到一項(xiàng)，使得它后面的所有的項(xiàng)與數(shù)列的極限的差的絕對(duì)值小于ε. 教師：順理成章的給出數(shù)列極限的定義： 一般地，設(shè)數(shù)列是一個(gè)無窮數(shù)列，是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)，就有，那么就說數(shù)列以為極限，記作，或者時(shí). 教師：常數(shù)數(shù)列的極限如何？ 學(xué)生：是這個(gè)常數(shù)本身. 教師：為什么？ 學(xué)生：因?yàn)闃O限和項(xiàng)的差的絕對(duì)值為0，當(dāng)然比所有給定的正數(shù)小. 三、鞏固練習(xí) 講授例題 已知數(shù)列 ① 把這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)在數(shù)軸上表示出來. ②寫出的解析式.③中的第幾項(xiàng)以后的所有項(xiàng)都滿足 ④指出數(shù)列的極限. 課堂練習(xí) 第41至42的練習(xí). 四、課堂小結(jié) ①無窮數(shù)列是該數(shù)列有極限的什么條件. ②常數(shù)數(shù)列的極限就是這個(gè)常數(shù). ③數(shù)列極限的描述性定義. ④數(shù)列極限的的定義 五、作業(yè)布置 1．課本第42頁習(xí)題2，3,4 2．根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，結(jié)合你自己對(duì)數(shù)列極限的體會(huì)，寫一篇《我看極限》的短文，格式不限（本作業(yè)的意圖是想把學(xué)生的態(tài)度、情感、價(jià)值觀融入到所學(xué)的知識(shí)中去.） 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 對(duì)于數(shù)列極限的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生來說是有限到無限認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，由于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的局限性和學(xué)習(xí)習(xí)慣、方法的影響，學(xué)習(xí)過程中的困難會(huì)較大，根據(jù)一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律和學(xué)生的心理特征，設(shè)計(jì)了直觀認(rèn)識(shí)、量化認(rèn)識(shí)和極限定義三個(gè)教學(xué)步驟，由淺入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使學(xué)生很好的理解極限的概念.