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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上冊(cè) 8.1《向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算》教案二 滬教版 時(shí)間： 年 月 日 1、 授課內(nèi)容： 2、 目的與考點(diǎn)分析： 3、 授課內(nèi)容： （1） 知識(shí)點(diǎn)回顧： （2） 典型題型分析講解： 一.情境引入 上海市莘莊中學(xué)的健美操隊(duì)四名隊(duì)員A、B、C、D在一個(gè)長(zhǎng)10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進(jìn)行健美操表演. （1）若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊(duì)形.隊(duì)員A位于點(diǎn)F處，隊(duì)員B在邊FG上距F點(diǎn)3米處，隊(duì)員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？ [說(shuō)明] 此時(shí)隊(duì)員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個(gè)圖形比較特殊，學(xué)生很快就會(huì)得到答案，這時(shí)教師引入第二個(gè)問(wèn)題. （2）若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊(duì)形.隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？ [說(shuō)明] 不要求學(xué)生寫出結(jié)果，只引導(dǎo)學(xué)生思考.這個(gè)圖形更為一般一些，學(xué)生解決的可能不是很順，這時(shí)，教師就可以說(shuō)，這一節(jié)我們就來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的內(nèi)容：向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算，學(xué)習(xí)了這個(gè)內(nèi)容之后，同學(xué)們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時(shí)間就可以解決這個(gè)問(wèn)題了，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與探究的欲望. 二．學(xué)習(xí)新課 1. 向量的正交分解 我們稱在平面直角坐標(biāo)系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個(gè)單位向量叫做基本單位向量，分別記為，如圖，稱以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量為位置向量，如下圖左，即為一個(gè)位置向量. 思考1：對(duì)于任一位置向量，我們能用基本單位向量來(lái)表示它嗎？ 如上圖右，設(shè)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來(lái)表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來(lái)表示嗎？（依向量與實(shí)數(shù)相乘的幾何意義可得），于是可得： 由上面這個(gè)式子，我們可以看到：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一位置向量都能表示成兩個(gè)相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解. 2.向量的坐標(biāo)表示 思考2：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個(gè)向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左. 顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個(gè)向量都存在一個(gè)與它相等的位置向量.由于這一點(diǎn)，我們研究向量的性質(zhì)就可以通過(guò)研究其相應(yīng)的位置向量來(lái)實(shí)現(xiàn).由于任意一個(gè)位置向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內(nèi)任意的一個(gè)向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即： == 上式中基本單位向量前面的系數(shù)x,y是與向量相等的位置向量的終點(diǎn)A的坐標(biāo).由于基本單位向量是固定不可變的，為了簡(jiǎn)便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來(lái)，得到有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）.可知有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）與向量的位置向量是一一對(duì)應(yīng)的.因而可用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示向量，并稱（x,y）為向量的坐標(biāo)，記作： =（x,y） [說(shuō)明]（x,y）不僅是向量的坐標(biāo)，而且也是與相等的位置向量的終點(diǎn)A的坐標(biāo)！當(dāng)將向量的起點(diǎn)置于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)A的坐標(biāo)是唯一的，所以向量的坐標(biāo)也是唯一的.這樣，我們就將點(diǎn)與向量、向量與坐標(biāo)統(tǒng)一起來(lái)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化. 顯然，依上面的表示法，我們有：. 例1.（課本例題）如圖，寫出向量的坐標(biāo). 解：由圖知 與向量相等的位置向量為， 可知 與向量相等的位置向量為， 可知 [說(shuō)明] 對(duì)于位置向量，它的終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)；對(duì)于起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們是通過(guò)先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標(biāo)得到它們的坐標(biāo).那么，有沒有不通過(guò)位置向量，直接就寫出任意向量的坐標(biāo)的方法呢？答案是肯定的，而且很簡(jiǎn)便，但我們需幾分鐘后再來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.讓我們先學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算： 3.向量的坐標(biāo)表示的運(yùn)算 我們學(xué)過(guò)向量的運(yùn)算，知道向量有加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的乘法等運(yùn)算，那么，在學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示以后，我們?cè)趺从孟蛄康淖鴺?biāo)形式來(lái)表示這些運(yùn)算呢？ 設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)， 由于 所以 于是有： [說(shuō)明]上面第一個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：兩個(gè)向量的和(差)的橫坐標(biāo)等于它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的和(差)，兩個(gè)向量的和(差)的縱坐標(biāo)也等于它們對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的和(差)，可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱為：兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和(差)； 同樣，第二個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標(biāo)等于數(shù)與向量的橫坐標(biāo)的積，數(shù)與向量的積的縱坐標(biāo)等于數(shù)與向量的縱坐標(biāo)的積，也可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱為：數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于數(shù)與向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的積. 4.應(yīng)用與深化 下面我們來(lái)研究剛才提出的不通過(guò)位置向量，如何直接寫出任意向量的坐標(biāo)的問(wèn)題： 例2.如下圖左，設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，如何用P、Q的坐標(biāo)來(lái)表示向量？ 解：如上圖右，向量 從而有 [說(shuō)明]上面這個(gè)式子告訴我們：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量的橫坐標(biāo)等于它終點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它起點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差，縱坐標(biāo)也等于它終點(diǎn)的縱坐標(biāo)與它起點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差，可簡(jiǎn)稱為“任意向量坐標(biāo)=終點(diǎn)坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo)”. 例3.（課本例題）如圖，平面上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、. （1）寫出向量的坐標(biāo)； （2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標(biāo). 解：（1） （2）在上圖中，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，于是有 又 故 由此可得 解得 因此點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 練習(xí)：（1）請(qǐng)大家用兩分鐘的時(shí)間解答本節(jié)課一開始我們所提出的在某時(shí)刻，健美操隊(duì)員C的位置問(wèn)題.即：在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊(duì)形.如下圖左，隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？ 解：以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系.則依題意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),設(shè)C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得： 又 故 于是 x=8, y=7,即C（8，7）. 答：隊(duì)員C位于距EF邊8米、距FG邊7米處. （2）在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持平行四邊形隊(duì)形.已知隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區(qū)域內(nèi)（包括邊界）某一位置.你能確定此時(shí)隊(duì)員D可能的位置區(qū)域嗎？ 解：以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系.依題意有A(2,1),B(6,3),設(shè)D(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得： 又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2) 由題意 于是可得隊(duì)員D可能的位置區(qū)域如圖所示陰影部分（除去點(diǎn)B）： 例4.已知向量與，求的坐標(biāo). 解：因?yàn)椋? 所以 三．鞏固練習(xí) 1. 如圖，寫出向量的坐標(biāo). 2.已知，若其終點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),則其起點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；若其起點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),則其終點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 3.已知向量與，求及的坐標(biāo). 解：1.由題意： 2.設(shè)起點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y)，則(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,-1)； 設(shè)終點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y)，則(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,3). 3. =3 =3 [另法]：== 四、總結(jié)： 五、課后作業(yè)： 6、 學(xué)生對(duì)于本次課的評(píng)價(jià)： 意見： 學(xué)生簽字： 7、 教師評(píng)定： 1、學(xué)生上次作業(yè)評(píng)價(jià)： 好 較好 一般 差 2、學(xué)生本次上課情況評(píng)價(jià)： 好 較好 一般 差 教師簽字： 主任簽字： 蓋章處