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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.1 橢圓教案 ●網(wǎng)絡(luò)體系總覽 ●考點(diǎn)目標(biāo)定位 1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程. 2.掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì). 3.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì). 4.能夠根據(jù)具體條件利用各種不同的工具畫橢圓、雙曲線、拋物線的圖形，了解它們在實(shí)際問題中的初步應(yīng)用. 5.結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步加強(qiáng)對運(yùn)動(dòng)變化和對立統(tǒng)一等觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí). ●復(fù)習(xí)方略指南 本章主要內(nèi)容有橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì).它們作為研究曲線和方程的典型問題，成了解析幾何的主要內(nèi)容，在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用.因此在高考中，圓錐曲線成為命題的熱點(diǎn)之一.分析近幾年高考試題，有下面幾個(gè)顯著特點(diǎn)： 1.注重雙基 保持穩(wěn)定 圓錐曲線在題型、題量、難度等方面風(fēng)格獨(dú)特，每年的試卷中客觀題2至3道，主觀題1道，分值占全卷的15%左右，“難、中、易”層次分明，既有基礎(chǔ)題，又有能力題. 2.全面考查 重點(diǎn)突出 試題中，圓錐曲線的內(nèi)容幾乎全部涉及，考查的知識(shí)點(diǎn)約占圓錐曲線總知識(shí)點(diǎn)的四分之三，通過知識(shí)的重新組合，考查學(xué)生系統(tǒng)掌握課程知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，重點(diǎn)仍在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系上. 3.考查能力 探究創(chuàng)新 試題具有一定的綜合性，重點(diǎn)考查學(xué)生畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力. 在今后的高考中，圓錐曲線仍將考查圓錐曲線的概念和性質(zhì)、求曲線方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、解析幾何中的定值最值問題.其中直線和圓錐曲線的位置關(guān)系仍是命題的熱點(diǎn)，解析幾何中的定值及最值問題也會(huì)有所加強(qiáng).圓錐曲線內(nèi)容的“應(yīng)用性問題”和“探索性問題”將會(huì)出現(xiàn)在今后的高考中. 學(xué)好本章的關(guān)鍵在于正確理解和掌握由曲線求方程和由方程討論曲線的性質(zhì)這兩個(gè)問題.為此建議在學(xué)習(xí)中做到： 1.搞清概念（對概念定義應(yīng)“咬文嚼字”）； 2.熟悉曲線（會(huì)“速寫”出符合題目數(shù)量特征要求的曲線）； 3.熟練運(yùn)用代數(shù)、三角、幾何、向量的知識(shí)； 4.處理問題時(shí)要在“大處著眼”（即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學(xué)思想）“小處著手”（即在細(xì)節(jié)上能熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法）. 8.1 橢圓 ●知識(shí)梳理 定義 1.到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定長（＞|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡 2.到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（∈（0，1））的點(diǎn)的軌跡 3.參數(shù)方程 方程 1. +=1（a＞b＞0），c=，焦點(diǎn)是F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0） 2.+=1（a＞b＞0），c=，焦點(diǎn)是F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c） x=acosθ， θ為參數(shù) y=bsinθ 性質(zhì) E：+=1（a＞b＞0） 1.范圍：|x|≤a，|y|≤b 2.對稱性：關(guān)于x，y軸均對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 3.頂點(diǎn)：長軸端點(diǎn)A1（－a，0），A2（a，0）；短軸端點(diǎn)B1（0，－b），B2（0，b） 4.離心率：e=∈（0，1） 5.準(zhǔn)線：l1：x=－，l2：x= 6.焦半徑：P（x，y）∈E r1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=a－ex 思考討論 對于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1（a＞b＞0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式怎樣推導(dǎo)？ ●點(diǎn)擊雙基 1.（xx年北京宣武區(qū)模擬題）已知F1、F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，則△MNF2的周長為 A.8 B.16 C.25 D.32 解析：利用橢圓的定義易知B正確. 答案：B 2.（xx年湖北，6）已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為 A. B.3 C. D. 解析：由余弦定理判斷∠P<90，只能∠PF1F2或∠PF2F1為直角.由a=4，b=3得c=， ∴|yP|=. 答案：D （為參數(shù)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 3.（xx年春季北京）橢圓 x=4+5cos， y=3sin A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 解析：消參數(shù)得橢圓+=1，∴c=4.易得焦點(diǎn)（0，0），（8，0）. 答案：D 4.如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________. 解析：橢圓方程化為+=1. 焦點(diǎn)在y軸上，則>2，即k<1.又k>0，∴00，n>0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程組 y=x+1， mx2+ny2=1. 消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0. Δ=4n2－4（m+n）（n－1）>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx1x2+y1y2=0， 即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0， ∴－+1=0.∴m+n=2. ① 由弦長公式得2=（）2，將m+n=2代入，得mn=. ② 或 解①②得 m=， m=， n= n=. ∴橢圓方程為+y2=1或x2+=1. 8.（xx年南京市模擬題）設(shè)x、y∈R，i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8. （1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程. （2）過點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)=+，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由. （1）解法一：∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8， ∴點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F1（0，－2），F(xiàn)2（0，2）的距離之和為8. ∴軌跡C為以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，方程為+=1. 解法二：由題知，+=8， 移項(xiàng)，得=8－， 兩邊平方，得x2+（y+2）2=x2+（y－2）2－16+64， 整理，得2=8－y， 兩邊平方，得4［x2+（y－2）2］=（8－y）2， 展開，整理得+=1. （2）∵l過y軸上的點(diǎn)（0，3）， 若直線l是y軸，則A、B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn). ∵=+=0， ∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾. ∴直線l的斜率存在.設(shè)l方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）， 消y得（4+3k2）x2+18kx－21=0.此時(shí)，Δ=（18k2）－4（4+3k2） 由 y=kx+3， +=1， （－21）＞0恒成立，且x1+x2=－，x1x2=－. ∵=+，∴四邊形OAPB是平行四邊形.若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，即=0. ∵=（x1，y1），=（x2，y2）， ∴=x1x2+y1y2=0， 即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0， 即（1+k2）（－）+3k（－）+9=0，即k2=，得k=. ∴存在直線l：y=x+3，使得四邊形OAPB是矩形. 探究創(chuàng)新 9.已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且==，P為GE與OF的交點(diǎn)（如下圖）.問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由. 分析：根據(jù)題設(shè)條件首先求出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值. 解：按題意，有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）. 設(shè)===k（0≤k≤1）， 由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）. 直線OF的方程為2ax+（2k－1）y=0. ① 直線GE的方程為－a（2k－1）x+y－2a=0. ② 由①②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）滿足方程2a2x2+y2－2ay=0. 整理得+=1. 當(dāng)a2=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn). 當(dāng)a2≠時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長. 當(dāng)a2＜時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（－，a），（，a）的距離之和為定值. 當(dāng)a2＞時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0，a－），（0，a+）的距離之和為定值2a. 評(píng)注：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊(yùn)涵著方程思想、分類討論思想和構(gòu)造法. ●思悟小結(jié) 1.橢圓的定義是解決問題的出發(fā)點(diǎn)，尤其是第二定義，如果運(yùn)用恰當(dāng)可收到事半功倍之效（如關(guān)于求焦半徑的問題）. 2.要明確參數(shù)a、b、c、e的相互關(guān)系、幾何意義及與一些概念的聯(lián)系.靈活運(yùn)用它們之間的關(guān)系可使問題順利解決. 3.橢圓參數(shù)的幾何意義，如下圖所示： （1）|PF1|+|PF2|=2a，==e； （2）|A1F1|=|A2F2|=a－c，|A1F2|=|A2F1|=a+c； （3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c； （4）|F1K1|=|F2K2|=p=， |PM2|+|PM1|=. ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 本節(jié)的重點(diǎn)是橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì).難點(diǎn)是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，及利用第二定義解決問題，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的運(yùn)用.為此建議在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)： （1）橢圓中有一個(gè)十分重要的三角形OF1B2（如下圖），它的三邊長分別為a、b、c.易見c2=a2－b2，且若記∠OF1B2=θ，則cosθ==e. （2）應(yīng)理解橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡，本質(zhì)上，它與坐標(biāo)系無關(guān)，而坐標(biāo)系是研究的手段.實(shí)際上，人們研究圓錐曲線的記錄早于笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系，從而橢圓本身所固有的性質(zhì)并不依賴于坐標(biāo)系，這些性質(zhì)不因坐標(biāo)系的選擇而改變.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等，均不因坐標(biāo)系的改變而改變. （3）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于|F1F2|時(shí)，其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和小于|F1F2|時(shí)，其軌跡不存在. （4）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中兩個(gè)參數(shù)a和b確定了橢圓的形狀和大小.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0；橢圓的焦點(diǎn)位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；a、b、c的關(guān)系是c2=a2－b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同號(hào)，就是橢圓方程. （5）當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦長相關(guān)時(shí)，常利用橢圓的第二定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來研究，即正確應(yīng)用焦半徑公式. （6）使用橢圓的第二定義時(shí)，一定要注意動(dòng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離與對應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線不是對應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了. 拓展題例 【例1】 （xx年太原市模擬題）如下圖，已知△OFQ的面積為S，且=1. （1）若＜S＜2，求向量與的夾角θ的取值范圍； （2）設(shè)||=c（c≥2），S=c，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)||取最小值時(shí)，求橢圓的方程. 解：（1）由已知，得 ||||sin（π－θ）=S， ||||cosθ=1. ∴tanθ=2S. ∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4. 則＜θ＜arctan4. （2）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），Q（x，y）. =（c，0），則=（x－c，y）. ∵||y=c，∴y=. 又∵=c（x－c）=1，∴x=c+. 則||==（c≥2）. 可以證明：當(dāng)c≥2時(shí)，函數(shù)t=c+為增函數(shù)， ∴當(dāng)c=2時(shí)， ||min==， 此時(shí)Q（，）.將Q的坐標(biāo)代入橢圓方程， 解得 得 +=1， a2=10， a2－b2=4. b2=6. ∴橢圓方程為+=1. 【例2】 （xx年春季全國）已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1（－4，0）、F2（4，0），過點(diǎn)F2，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且｜F1B｜＋｜F2B｜＝10．橢圓上不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差數(shù)列. （1）求該橢圓的方程； （2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)； （3）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍. （1）解：由橢圓定義及條件知 2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，得a＝5.又c＝4，所以b＝＝3． 故橢圓方程為＋＝1． （2）解：由點(diǎn)B（4，yB）在橢圓上，得｜F2B｜＝｜yB｜＝． 方法一：因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x＝，離心率為． 根據(jù)橢圓定義，有｜F2A｜＝（－x1），｜F2C｜＝（－x2）． 由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差數(shù)列，得 （－x1）＋（－x2）＝2． 由此得出x1＋x2＝8． 設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0）， 則x0＝＝＝4． 方法二：由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差數(shù)列，得＋＝2， ① 由A（x1，y1）在橢圓＋＝1上，得y12＝（25－x12）， 所以= ＝＝（25－4x1）. ② 同理可得＝（25－4x2）． ③ 將②③代入①式，得（25－4x1）＋（25－4x2）＝． 所以x1＋x2＝8． 設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0），則x0＝＝＝4． （3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在橢圓上，得 9x12＋25y12＝925， ④ 9x22＋25y22＝925． ⑤ 由④－⑤得9（x12－x22）＋25（y12－y22）＝0， 即9（）＋25（）（）＝0（x1≠x2）. 將＝x0=4，＝y(tǒng)0，＝－（k≠0）代入上式，得 94＋25y0（－）＝0（k≠0）． 由上式得k＝y(tǒng)0（當(dāng)k＝0時(shí)也成立）. 由點(diǎn)P（4，y0）在弦AC的垂直平分線上，得y0＝4k＋m， 所以m＝y(tǒng)0－4k＝y(tǒng)0－y0＝－y0． 由P（4，y0）在線段BB′（B′與B關(guān)于x軸對稱）的內(nèi)部，得－＜y0＜. 所以－＜m＜． 評(píng)述：在推導(dǎo)過程中，未寫明“x1≠x2”“k≠0”“k＝0時(shí)也成立”及把結(jié)論寫為“－≤m≤”也可以. 解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P（4，y0）， 所以直線AC的方程為y－y0＝－（x－4）（k≠0）. ⑥ 將⑥代入橢圓方程+＝1，得 （9k2＋25）x2－50（ky0＋4）x＋25（ky0＋4）2－259k2＝0． 所以x1＋x2＝＝8． 解得k＝y(tǒng)0（當(dāng)k＝0時(shí)也成立）. 以下步驟同解法一.