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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 6.1 不等式的性質(zhì)（二）優(yōu)秀教案 教學(xué)目的： 1理解同向不等式，異向不等式概念； 2理解不等式的性質(zhì)定理1—3及其證明； 3理解證明不等式的邏輯推理方法． 4通過對(duì)不等式性質(zhì)定理的掌握，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的解題能力和思考問題嚴(yán)謹(jǐn)周密的習(xí)慣 教學(xué)重點(diǎn)：掌握不等式性質(zhì)定理1、2、3及推論，注意每個(gè)定理的條件 教學(xué)難點(diǎn)：1理解定理1、定理2的證明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的證明這兩個(gè)定理證明的依據(jù)是實(shí)數(shù)大小的比較與實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則 2定理3的推論，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法則的依據(jù)但兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相減時(shí)，就不能得出一般結(jié)論 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)方法: 引導(dǎo)啟發(fā)結(jié)合法——即在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生利用已學(xué)過的有關(guān)知識(shí)，順利完成定理的證明過程及定理的簡單應(yīng)用 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件是： 2．(1)如果甲的年齡大于乙的年齡，那么乙的年齡小于甲的年齡嗎?為什么? (2)如果甲的個(gè)子比乙高，乙的個(gè)子比丙高，那么甲的個(gè)子比丙高嗎?為什么? 從而引出不等式的性質(zhì)及其證明方法． 二、講解新課： 1．同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式 異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(對(duì)稱性) 即：a>bbb 證明：∵a>b ∴a-b>0 由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得-(a-b)<0 即b-a<0 ∴bb，則和誰大？根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤來說明證明的必要性“實(shí)數(shù)a、b的大小”與“a-b與零的關(guān)系”是證明不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)，本定理也稱不等式的對(duì)稱性． 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(傳遞性) 即a>b，b>ca>c 證明：∵a>b，b>c ∴a-b>0， b-c>0 根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，得 (a-b)+( b-c)>0 即a -c>0 ∴a>c 根據(jù)定理l，定理2還可以表示為：cb，那么a+c>b+c． 即a>ba+c>b+c 證明：∵a>b， ∴a-b>0， ∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c 點(diǎn)評(píng)：(1)定理3的逆命題也成立； (2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是說，不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從—邊移到另一邊． 推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法則) 即a>b， c>d a+c>b+d． 證法一： a+c>b+d 證法二： a+c>b+d 點(diǎn)評(píng)：（1）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向； （2）兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相減時(shí)，不能作出一般的結(jié)論； 三、講解范例： 例1.判斷下列各式是否正確？為什么？ 1判斷下列命題的真假，并說明理由： (1)如果a＞b，那么a－c＞b－c； (2)如果a＞b，那么＞ （3）如果ac bc2,那么a>b 分析：從不等式性質(zhì)定理找依據(jù)，與性質(zhì)定理相違的為假，與定理相符的為真 答案：(1)真因?yàn)橥评矸?hào)定理3 (2)假由不等式的基本性質(zhì)2，3(初中)可知，當(dāng)c＜0時(shí)，＜即不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)，必須明確這個(gè)數(shù)的正負(fù) (3)假 (4)真 例2.π/4b，cb-d．(相減法則) 分析：思路一：證明“a－c＞b－d”，實(shí)際是根據(jù)已知條件比較a－c與b－d的大小，所以以實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系為依據(jù)，直接運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來確定差的符號(hào)，最后達(dá)到證題目的 證法一：∵a＞b，c＜d ∵a－b＞0，d－c＞0 ∴（a－c）－（b－d） ＝（a－b）＋（d－c）＞0(兩個(gè)正數(shù)的和仍為正數(shù)) 故a－c＞b－d 思路二：我們已熟悉不等式的性質(zhì)中的定理1～定理3及推論，所以運(yùn)用不等式的性質(zhì)，加以變形，最后達(dá)到證明目的 證法二：∵c＜d ∴－c＞－d 又∵a＞b ∴a＋（－c）＞b＋（－d） ∴a－c＞b－d 四、課堂練習(xí)： 1回答下列問題： （1)如果a＞b，c＞d，能否斷定a＋c與b＋d誰大誰小?舉例說明； (2)如果a＞b，c＞d，能否斷定a－2c與b－2d誰大誰小?舉例說明 答案：(1)不能斷定例如：2＞1，1＜32＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0８2－1＞1－0８異向不等式作加法沒定論 (2)不能斷定例如a＞b，c＝1＞d＝－1a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定a＝８＞1＝b時(shí)a－2c＝６＞b＋2＝3而a＝2＞1＝b時(shí)a－2c＝0＜b＋2＝3 2求證：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c； (2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b 證明：(1) (2)a＞b－2a＜－2bc－2a＜c－2b 4已和a＞b＞c＞d＞0，且，求證：a＋d＞b＋c 證明：∵ ∴ ∴（a－b）d＝（c－d）b 又∵a＞b＞c＞d＞0 ∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且＞1 ∴＞1 ∴a－b＞c－d 即a＋d＞b＋c 評(píng)述：此題中，不等式性質(zhì)和比例定理聯(lián)合使用，使式子形與形之間的轉(zhuǎn)換更迅速這道題不僅有不等式性質(zhì)應(yīng)用的信息，更有比例的信息，因此這道題既要重視性質(zhì)的運(yùn)用技巧，也要重視比例定理的應(yīng)用技巧 五、小結(jié) ：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)定理1～定理3及其推論，理解不等式性質(zhì)的反對(duì)稱性(a＞bb＜a＝、傳遞性(a＞b，b＞ca＞c)、可加性(a＞ba＋c＞b＋c)、加法法則（a＞b，c＞da＋c＞b＋d），并記住這些性質(zhì)的條件，尤其是字母的符號(hào)及不等式的方向，要搞清楚這些性質(zhì)的主要用途及其證明的基本方法 六、課后作業(yè)： 1．如果，求不等式同時(shí)成立的條件． 解： 2．已知， 求證： 證：∵ ∴ 又∵ ∴>0 ∴ ∵ 且 ∴ 3．已知 比較與的大?。? 解：- 當(dāng)時(shí)∵即 ∴ ∴< 當(dāng)時(shí)∵即 ∴ ∴> 4．如果 求證： 證： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：