《2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理.doc（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母__d__表示． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中項(xiàng) 如果A＝，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)． 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． 5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝或Sn＝na1＋d. 6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))． 7．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，則Sn存在最__小__值． 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　√　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(　　) (5)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝n，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(　　) (6)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．(　√　) 1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝____________________________________. 答案　6 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a1＋a9＝a4＋a6＝－6，且a1＝－11， ∴a9＝5，從而d＝2. ∴Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n， ∴當(dāng)n＝6時(shí)，Sn取最小值． 2．設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝2a8－3a4，則＝________. 答案　 解析　由已知得a1＝2a1＋14d－3a1－9d， ∴a1＝d，又＝， 將a1＝d代入化簡(jiǎn)得＝. 3．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝________. 答案　88 解析　S11＝＝＝88. 4．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＝12，則a1＋a2＋…＋a7＝________. 答案　28 解析　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4， ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 5．(xx北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大． 答案　8 解析　因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故當(dāng)n＝8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大. 題型一　等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 例1　(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對(duì)任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______． (2)已知在等差數(shù)列{an}中，a2＝7，a4＝15，則前10項(xiàng)和S10＝________. 答案　(1)　(2)210 解析　(1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－2，公差為的等差數(shù)列， 所以S10＝10(－2)＋＝. (2)因?yàn)閍2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3， 故S10＝103＋1094＝210. 思維升華　(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想． 　(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝________. (2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列{an}的公差是________． 答案　(1)5　(2)2 解析　(1)∵{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a5＝2a3， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1， ∴S5＝＝5a3＝5. (2)∵Sn＝，∴＝，又－＝1， 得－＝1，即a3－a2＝2， ∴數(shù)列{an}的公差為2. 題型二　等差數(shù)列的判定與證明 例2　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由． (1)證明　因?yàn)閍n＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－. 所以數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列． (2)解　由(1)知bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. 設(shè)f(x)＝1＋， 則f(x)在區(qū)間(－∞，)和(，＋∞)上為減函數(shù)． 所以當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1，當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3. 引申探究 例2中，若條件變?yōu)閍1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，探求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　由已知可得＝＋1， 即－＝1，又a1＝， ∴是以＝為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)1＝n－， ∴an＝n2－n. 思維升華　等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 (1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個(gè)常數(shù)． (2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 　(1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是________． ①公差為3的等差數(shù)列 ②公差為4的等差數(shù)列 ③公差為6的等差數(shù)列 ④公差為9的等差數(shù)列 (2)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為_(kāi)_____________． 答案　(1)③　(2)an＝ 解析　(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2) ＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2) ＝2＋22＝6， ∴{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列． (2)由已知式＝＋可得 －＝－，知{}是首項(xiàng)為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝. 題型三　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 命題點(diǎn)1　等差數(shù)列的性質(zhì) 例3　(1)(xx廣東)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. (2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________. 答案　(1)10　(2)60 解析　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10. (2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20， ∴S30－30＝10＋210＝30，∴S30＝60. 命題點(diǎn)2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 例4　在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 解　∵a1＝20，S10＝S15， ∴1020＋d＝1520＋d， ∴d＝－. 方法一　由an＝20＋(n－1) ＝－n＋. 得a13＝0. 即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0，當(dāng)n≥14時(shí)，an＜0. ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最大值， 且最大值為S12＝S13＝1220＋ ＝130. 方法二　Sn＝20n＋ ＝－n2＋n ＝－2＋. ∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 方法三　由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 引申探究 例4中，若條件“a1＝20”改為a1＝－20，其他條件不變，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最小值，并求出最小值． 解　由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， ∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0， ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最小值， 最小值S12＝S13＝＝－130. 思維升華　(1)等差數(shù)列的性質(zhì)： ①項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差． ②和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 a．S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； b．S2n－1＝(2n－1)an. (2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法： ①函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解． ②鄰項(xiàng)變號(hào)法： a．當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm； b．當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm. 　(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是________． (2)設(shè)數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______． (3)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝20，公差d＝－2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為_(kāi)_______． 答案　(1)6　(2)5或6　(3)110 解析　(1)依題意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又?jǐn)?shù)列{an}是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝6. (2)由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大． (3)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得， Sn＝na1＋d＝20n－2 ＝－n2＋21n＝－2＋2， 又因?yàn)閚∈N*，所以n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得最大值，最大值為110. 6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值 典例　(1)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10＝________. (2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________. (3)等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_(kāi)_______． 思維點(diǎn)撥　(1)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和，可以通過(guò)求解基本量a1，d，代入前n項(xiàng)和公式計(jì)算，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)：a1＋an＝a2＋an－1＝…； (2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，可以將Sn化為關(guān)于n的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值，也可以觀察等差數(shù)列的符號(hào)變化趨勢(shì)，找最后的非負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)． 解析　(1)由題意得a3＋a8＝9， 所以S10＝＝＝＝45. (2)方法一　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a1， 則解得 所以S110＝110a1＋d＝－110. 方法二　因?yàn)镾100－S10＝＝－90， 所以a11＋a100＝－2， 所以S110＝ ＝＝－110. (3)因?yàn)樗? 所以Sn的最大值為S5. 答案　(1)45　(2)－110　(3)S5 溫馨提醒　(1)利用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，要注意到n∈N*； (2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求Sn，突出了整體思想，減少了運(yùn)算量． [方法與技巧] 1．在解有關(guān)等差數(shù)列的基本量問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)列關(guān)于a1，d的方程組進(jìn)行求解． 2．證明等差數(shù)列要用定義；另外還可以用等差中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法，前n項(xiàng)和公式法判定一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列． 3．等差數(shù)列性質(zhì)靈活使用，可以大大減少運(yùn)算量． 4．在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可視具體情況而定． [失誤與防范] 1．當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，當(dāng)公差d＝0時(shí)，an為常數(shù)． 2．公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9的值等于________． 答案　54 解析　根據(jù)題意及等差數(shù)列的性質(zhì)，知2a8－a11＝a5＝6，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，知S9＝9＝9＝69＝54. 2．(xx北京改編)設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是________． ①若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0； ②若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0； ③若0＜a1＜a2，則a2＞； ④若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0. 答案?、? 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正負(fù)不確定，因而a2＋a3符號(hào)不確定，故①錯(cuò)；若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正負(fù)不確定，因而a1＋a2符號(hào)不確定，故②錯(cuò)；若00，d>0，a2>0，a3>0，所以a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，所以a2>，故③正確；若a1<0，則(a2－a1)(a2－a3)＝d(－d)＝－d2≤0，故④錯(cuò)． 3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝________. 答案　5 解析　∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn， ∴數(shù)列也為等差數(shù)列． ∴＋＝，即＋＝0， 解得m＝5，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解． 4．?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝________. 答案　3 解析　設(shè){bn}的公差為d， ∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2. ∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6. ∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d ＝7(－6)＋212＝0. 又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0， ∴a8＝3. 5．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為_(kāi)_______． 答案　7或8 解析　由題意可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為5，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝5－(n－1)＝，該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0，從第9項(xiàng)開(kāi)始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以Sn取得最大值時(shí)，n＝7或8. 6．(xx常州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，則a10＝________. 答案　 解析　由已知得＝＋(10－1)＝1＋3＝4， 故a10＝. 7．已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝a－4，則an＝________. 答案　2n－1 解析　設(shè)等差數(shù)列的公差為d， ∵a3＝a－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4， 解得d2＝4，即d＝2. 由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d＝2. ∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1. 8．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 答案　130 解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n＞5時(shí)，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130. 9．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：成等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝不適合上式． 故an＝ 10．等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn最大？ 解　方法一　由S3＝S11得3a1＋d＝11a1＋d，則d＝－a1. 從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 又a1＞0，所以－＜0.故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大． 方法二　由于Sn＝an2＋bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的圖象關(guān)于n＝＝7對(duì)稱．由方法一可知a＝－＜0，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大． 方法三　由方法一可知，d＝－a1.要使Sn最大， 則有 即 解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大． 方法四　由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0， 所以a7＞0，a8＜0，所以當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大． B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：20分鐘) 11．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，則下列說(shuō)法正確的是________． ①Sn的最大值是S8 ②Sn的最小值是S8 ③Sn的最大值是S7 ④Sn的最小值是S7 答案?、? 解析　由條件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即數(shù)列{an}前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零，所以Sn的最小值為S7. 12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，則正整數(shù)k＝________. 答案　13 解析　Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－， 又Sk＋1＝＝ ＝－，解得k＝13. 13．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝， ∴＝. 14．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn＝，若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 答案　(－8，－7) 解析　依題意得bn＝1＋，對(duì)任意的n∈N*，都有bn≥b8，即數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第8項(xiàng)，于是有≥.又?jǐn)?shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，因此有即由此解得－8＜a＜－7，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－8，－7)． 15．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求通項(xiàng)an； (2)求Sn的最小值； (3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn＝，求非零常數(shù)c. 解　(1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列， 所以a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3a4＝117， 所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩實(shí)根， 又公差d＞0，所以a3＜a4， 所以a3＝9，a4＝13， 所以所以 所以通項(xiàng)an＝4n－3. (2)由(1)知a1＝1，d＝4， 所以Sn＝na1＋d＝2n2－n ＝22－. 所以當(dāng)n＝1時(shí)，Sn最小， 最小值為S1＝a1＝1. (3)由(2)知Sn＝2n2－n， 所以bn＝＝， 所以b1＝，b2＝，b3＝. 因?yàn)閿?shù)列{bn}是等差數(shù)列， 所以2b2＝b1＋b3， 即2＝＋， 所以2c2＋c＝0， 所以c＝－或c＝0(舍去)， 經(jīng)驗(yàn)證c＝－時(shí)，{bn}是等差數(shù)列， 故c＝－.