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2019-2020年高考數學異構異模復習第八章立體幾何課時撬分練8.3直線平面平行的判定與性質文 1.[xx武邑中學預測]已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列為真命題的是(　　) A．m∥n，m⊥α?n⊥α B．α∥β，m?α，n?β?m∥n C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β 答案　A 解析　選項A中，如圖①，n∥m，m⊥α?n⊥α一定成立，選項A正確．選項B中，如圖②，α∥β，m?α，n?β，m與n互為異面直線，∴選項B不正確．選項C中，如圖③，m⊥α，m⊥n，n?α，∴選項C不正確．選項D中，如圖④，m?α，n?α，m∥β，n∥β，但α與β相交，∴選項D不正確． 2．[xx衡水二中模擬]直線m，n均不在平面α，β內，給出下列命題： ①若m∥n，n∥α，則m∥α；②若m∥β，α∥β，則m∥α；③若m⊥n，n⊥α，則m∥α；④若m⊥β，α⊥β，則m∥α. 其中正確命題的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　對命題①，根據線面平行的判定定理知，m∥α；對命題②，如果直線m與平面α相交，則必與平面β相交，而這與α∥β矛盾，故m∥α；對命題③，在平面α內取一點A，設過A，m的平面γ與平面α相交于直線b.因為n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，則m∥α；對命題④，設α∩β＝l，在α內作m′⊥β，因為m⊥β，所以m∥m′，從而m∥α.故四個命題都正確． 3．[xx棗強中學期末]已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中錯誤的是(　　) A．若m⊥α，m⊥β，則α∥β B．若α∥γ，β∥γ，則α∥β C．若m?α，n?β，m∥n，則α∥β D．若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β 答案　C 解析　由線面垂直的性質可知A正確；由兩個平面平行的性質可知B正確；由異面直線的性質易知D也是正確的；對于選項C，α，β可以相交、可以平行，故C錯誤，選C. 4．[xx衡水二中仿真]平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是(　　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB與CD相交 D．A，B，C，D四點共面 答案　D 解析　充分性：A，B，C，D四點共面，由平面與平面平行的性質知AC∥BD.必要性顯然成立． 5．[xx棗強中學期中]如圖，在正四棱柱A1C中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況) 答案　M位于線段FH上 解析　連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一) 6．[xx冀州中學期末]給出下列關于互不相同的直線l、m、n和平面α、β、γ的三個命題： ①若l與m為異面直線，l?α，m?β， 則α∥β； ②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n. 其中真命題為________． 答案?、? 解析?、僦挟敠僚cβ不平行時，也能存在符合題意的l、m. ②中l(wèi)與m也可能異面． ③中?l∥m， 同理l∥n，則m∥n，正確． 7．[xx衡水中學預測]如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是一個直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD.若E為PC的中點，則BE與平面PAD的位置關系是________． 答案　平行 解析　取PD的中點F，連接EF，AF.在△PCD中，EF∥CD，且EF＝CD.∵AB∥CD，且CD＝2AB，∴EF∥AB，且EF＝AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD. 8．[xx棗強中學熱身]如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是側棱PA上的中點． (1)求證：PC∥平面BDE； (2)求四棱錐P－ABCD的體積． 解　(1)證明：連接AC交BD于點O，連接OE，如圖： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴O是AC的中點． 又E是PA的中點，∴PC∥OE. ∵PC?平面BDE，OE?平面BDE， ∴PC∥平面BDE. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴VP－ABCD＝S正方形ABCDPA＝122＝， ∴四棱錐P－ABCD的體積為. 9．[xx衡水中學猜題]已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′＝3，E，F(xiàn)分別在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2. (1)求證：BB′⊥底面ABC； (2)在棱A′B′上找一點M，使得C′M∥平面BEF，并給出證明． 證明　(1)如圖，取BC中點O，連接AO，因為三角形ABC是等邊三角形，所以AO⊥BC， 又平面BCC′B′⊥底面ABC，AO?平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC， 所以AO⊥平面BCC′B′， 又BB′?平面BCC′B′， 所以AO⊥BB′. 又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO?平面ABC，AC?平面ABC， 所以BB′⊥底面ABC. (2)如圖，顯然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一點M，使得C′M∥平面BEF，過M作MN∥AA′交BE于N，連接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面， 所以C′M∥FN， 所以四邊形C′MNF為平行四邊形， 所以MN＝2， 所以MN是梯形A′B′BE的中位線，M為A′B′的中點． 10．[xx衡水中學一輪檢測]如圖所示，在棱長均為4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點． (1)求證：A1D1∥平面AB1D； (2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60，求三棱錐B1－ABC的體積． 解　(1)證明：如圖所示，連接DD1， 在三棱柱ABC－A1B1C1中，因為D，D1分別是BC與B1C1的中點， 所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD. 所以四邊形B1BDD1為平行四邊形，所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因為AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1， 所以四邊形AA1D1D為平行四邊形， 所以A1D1∥AD. 又A1D1?平面AB1D，AD?平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D. (2)在△ABC中，因為AB＝AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC. 因為平面ABC⊥平面B1C1CB，交線為BC，AD?平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A－B1BC的高． 在△ABC中，因為AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2. 在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60， 所以△B1BC的面積S△B1BC＝44＝4， 所以三棱錐B1－ABC的體積即三棱錐A－B1BC的體積，V＝S△B1BCAD＝42＝8. 11．[xx冀州中學模擬]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證： (1)直線EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 證明　(1)如圖，連接SB， ∵E、G分別是BC、SC的中點， ∴EG∥SB. 又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1. (2)連接SD，∵F、G分別是DC、SC的中點，∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1， 又EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1. 12．[xx衡水二中周測]如圖所示的多面體中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝，AD＝2. (1)求證：平面FCB∥平面AED； (2)若二面角A－EF－C為直二面角，求直線BC與平面AEF所成的角θ的正弦值． 解　(1)證明：在矩形BDEF中，F(xiàn)B∥ED， ∵FB?平面AED，ED?平面AED， ∴FB∥平面AED， 同理BC∥平面AED， 又FB∩BC＝B，∴平面FBC∥平面EDA. (2)取EF的中點M.連接AM，CM.連接AC交BD于點N.由于ED⊥平面ABCD，ED∥FB， ∴ED⊥AD，ED⊥DC，F(xiàn)B⊥BC，F(xiàn)B⊥AB. 又ABCD是菱形，BDEF是矩形， ∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形， ∴AE＝AF，CE＝CF， ∴AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A－EF－C的平面角． 延長CB到G，使BC＝BG，由已知可得，ADBG是平行四邊形，又BDEF是矩形，∴AEFG是平行四邊形，即A，E，F(xiàn)，G共面，由此可知，AM⊥MC，CM⊥EF，EF，AM相交于M， ∴CM⊥平面AEFG，∠CGM為所求． 由AD＝2，∠DAB＝60，得AC＝2， 等腰Rt△AMC中，AC＝2，可得MC＝，Rt△GMC中，sin∠CGM＝＝. 能力組 13.[xx棗強中學仿真]已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是(　　) A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2 答案　D 解析　由定理“如果一個平面內有兩條相交直線分別與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”可知，選項D可推知α∥β. 14．[xx衡水二中月考]平面α∥平面β的一個充分條件是________(填寫正確的序號)． ①存在一條直線a，a∥α，a∥β； ②存在一條直線a，a?α，a∥β； ③存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β a∥β，b∥α； ④存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β， a∥β，b∥α. 答案?、? 解析　根據兩平面平行的條件，只有④符合． 15. [xx武邑中學熱身]在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形． (1)若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1； (2)設D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論． 解　(1)證明：因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因為AB，AC為平面ABC內兩條相交直線， 所以AA1⊥平面ABC. 因為直線BC?平面ABC，所以AA1⊥BC. 又AC⊥BC，AA1，AC為平面ACC1A1內兩條相交直線，所以BC⊥平面ACC1A1. (2)取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設O為A1C，AC1的交點． 由已知可知O為AC1的中點． 連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE. 連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO. 因為直線DE?平面A1MC，MO?平面A1MC， 所以直線DE∥平面A1MC， 即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE∥平面A1MC.