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2019-2020年高考數(shù)學總復習 課時提升練74 證明不等式的基本方法 理 新人教版
一、選擇題
1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則s與t的大小關系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s
2＝>，
∴只需比較1＋x與的大小，
∵1＋x－＝＝－<0，
∴1＋x<.因此c＝最大．
【答案】 C
6．(xx湖北高考)設a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則＝( )
A. B. C. D.
【解析】 由題意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①與a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令
.則x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，
即＝.
【答案】 C
二、填空題
7．(xx南昌模擬)若實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2＝4，則3a＋4b＋5c的最大值為________．
【解析】 由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2≤(a2＋b2＋c2)(9＋16＋25)＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，所以3a＋4b＋5c的最大值為10.
【答案】 10
8．以下三個命題：①若|a－b|＜1，則|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，則＜，其中正確命題的序號是________．
【解析】 ①|(zhì)a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1；
②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，
所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
③|x|＜2，|y|＞3，所以＜，
因此＜.
∴①②③均正確．
【答案】 ①②③
9．若x＞0，則函數(shù)f(x)＝3x＋的最小值為________．
【解析】 ∵x＞0，
∴f(x)＝3x＋＝x＋x＋
≥3＝3 ，
等號成立的條件為x＝
∴x＝，
∴x＝時，f(x)的最小值為3.
【答案】 3
三、解答題
10．(xx貴州六校聯(lián)盟)設a、b、c均為正實數(shù)，求證：＋＋≥＋＋≥＋＋.
【證明】 ∵a，b，c均為正實數(shù)，
∴＋≥≥當a＝b時等號成立
＋≥≥當b＝c時等號成立
＋≥≥當a＝c時等號成立
三個不等式相加即得
＋＋≥＋＋≥＋＋當且僅當a＝b＝c時等號成立
即＋＋≥＋＋≥＋＋.
11．(xx遼寧高考)設函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N.
(1)求M；
(2)當x∈M∩N時，證明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
【解】 (1)f(x)＝
當x≥1時，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
當x＜1時，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.
所以f(x)≤1的解集為M＝{x|0≤x≤}．
(2)證明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4，
解得－≤x≤.
因此N＝，
故M∩N＝.
當x∈M∩N時，f(x)＝1－x，
于是x2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]
＝xf(x)＝x(1－x)＝－2≤.
12．(xx東北三省聯(lián)考)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.
(1)求證：|a＋b＋c|≤；
(2)若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實數(shù)a，b，c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
【解】 (1)由柯西不等式得，(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)＝3，
∴－≤a＋b＋c≤，所以a＋b＋c的取值范圍是，
即|a＋b＋c|≤.
(2)同理，(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)＝3，
若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實數(shù)a，b，c恒成立，則|x－1|＋|x＋1|≥3，解集為∪.
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