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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第02講 函數(shù)概念與表示教案 新人教版 一．課標(biāo)要求 1．通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念； 2．在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)； 3．通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用； 4．通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義； 5．學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。 二．命題走向 函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問(wèn)題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。 從近幾年來(lái)看，對(duì)本部分內(nèi)容的考察形勢(shì)穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對(duì)于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過(guò)具體問(wèn)題（幾何問(wèn)題、實(shí)際應(yīng)用題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)，尋求問(wèn)題的結(jié)果。 高考對(duì)函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對(duì)較小，本節(jié)知識(shí)作為工具和其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)命題的可能性依然很大。 預(yù)測(cè)xx年高考對(duì)本節(jié)的考察是： 1．題型是1個(gè)選擇和一個(gè)填空； 2．熱點(diǎn)是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點(diǎn)。 三．要點(diǎn)精講 1．函數(shù)的概念： 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x。 2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域 （1）解決一切函數(shù)問(wèn)題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式： ①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）； ②限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤； ③實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。 （2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題。 ①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。 3．兩個(gè)函數(shù)的相等： 函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。 4．區(qū)間 （1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間； （2）無(wú)窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示。 5．映射的概念 一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”。 函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就叫映射。 注意：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹觥? （2）“都有唯一”什么意思？ 包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思。 6．常用的函數(shù)表示法 （1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)解析式； （2）列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系； （3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。 7．分段函數(shù) 若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱(chēng)分段函數(shù)； 8．復(fù)合函數(shù) 若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)，u稱(chēng)為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。 四．典例解析 題型1：函數(shù)概念 例1．（1）設(shè)函數(shù) （2）（xx上海理，1）設(shè)函數(shù)f（x）＝，則滿(mǎn)足f（x）=的x值為 。 解：（1）這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問(wèn)題，需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)值代換， = = （2）當(dāng)x∈（－∞，1，值域應(yīng)為［，＋∞］， 當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)值域應(yīng)為（0，＋∞）， ∴y＝，y∈（0，＋∞）， ∴此時(shí)x∈（1，＋∞）， ∴l(xiāng)og81x＝，x＝81＝3。 點(diǎn)評(píng)：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。 變式題：（xx山東 文2）設(shè)（ ） A．0 　 B．1 C．2 D．3 解：選項(xiàng)為C。 例2．（xx安徽 文理15） （1）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，若則__ ________； （2）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，若則__________。 解：（1）由得， 所以，則。 （2）由得，所以，則。 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式，考察學(xué)生的邏輯思維能力。 題型二：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同 例3．試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)； （2）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)； （3）由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n1為奇數(shù)， ∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)； （4）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g（x）=的定義域?yàn)閧x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)； （5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。 （1）第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù)。（2）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來(lái)講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。 題型三：函數(shù)定義域問(wèn)題 例4．求下述函數(shù)的定義域： （1）； （2） 解：（1），解得函數(shù)定義域?yàn)? （2） ，（先對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，然后對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論）， ①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋? ②當(dāng)時(shí)，得， 1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋? 2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋? 3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋? ③當(dāng)時(shí)，得， 1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋? 2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋? 3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椤? 點(diǎn)評(píng)：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論，考察學(xué)生分類(lèi)討論的能力。 例5．已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域： (1) ；(2)。 解：（1）由0＜x＜2， 得 點(diǎn)評(píng)：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類(lèi)型是一些數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會(huì)涉及到。 變式題：已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A．a(chǎn)＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a(chǎn)≤ 解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。 題型四：函數(shù)值域問(wèn)題 例5．求下列函數(shù)的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）。 解：（1）（配方法）， ∴的值域?yàn)椤? 改題：求函數(shù)，的值域。 解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增， ∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為。 ∴函數(shù)，的值域?yàn)椤? （2）求復(fù)合函數(shù)的值域： 設(shè)（），則原函數(shù)可化為。 又∵， ∴，故， ∴的值域?yàn)椤? （3）（法一）反函數(shù)法： 的反函數(shù)為，其定義域?yàn)椋? ∴原函數(shù)的值域?yàn)椤? （法二）分離變量法：， ∵，∴， ∴函數(shù)的值域?yàn)椤? （4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則， ∴原函數(shù)可化為，∴， ∴原函數(shù)值域?yàn)椤? 注：總結(jié)型值域， 變形：或 （5）三角換元法： ∵，∴設(shè)， 則 ∵，∴，∴， ∴， ∴原函數(shù)的值域?yàn)椤? （6）數(shù)形結(jié)合法：， ∴，∴函數(shù)值域?yàn)椤? （7）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)椤? 由得： ① ①當(dāng)即時(shí)，①即，∴ ②當(dāng)即時(shí)，∵時(shí)方程恒有實(shí)根， ∴△， ∴且， ∴原函數(shù)的值域?yàn)椤? （8）， ∵，∴， ∴， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立。 ∴， ∴原函數(shù)的值域?yàn)椤? （9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：， ∴（其中）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原函數(shù)的值域?yàn)椤? 點(diǎn)評(píng)：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見(jiàn)類(lèi)型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。 題型五：函數(shù)解析式 例6．（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足，求； （4）已知滿(mǎn)足，求。 解：（1）∵， ∴（或）。 （2）令（），則， ∴，。 （3）設(shè)， 則， ∴，， ∴。 （4） ①， 把①中的換成，得 ②， ①②得， ∴。 點(diǎn)評(píng)：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法。 例7．（xx重慶理21）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。 （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)； （Ⅱ）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)= x0。求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式。 解：（Ⅰ）因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x， 所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。 又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。 若f(0)=a，則f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。 （Ⅱ）因?yàn)閷?duì)任意x∈R，有f(f(x))－ x2 +x)=f(x)－ x2 +x。 又因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)－ x0。 所以對(duì)任意x∈R，有f(x)－ x2 +x= x0.。 在上式中令x= x0，有f(x0)－x + x0= x0。 又因?yàn)閒(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。 若x0=0，則f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2 –x。 但方程x2 –x=x有兩上不同實(shí)根，與題設(shè)條件矛質(zhì)，故x2≠0。 若x2=1，則有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1。 易驗(yàn)證該函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件。 綜上，所求函數(shù)為f(x)= x2 –x+1（xR）。 點(diǎn)評(píng)：該題的題設(shè)條件是一個(gè)抽象函數(shù)，通過(guò)應(yīng)用條件進(jìn)一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。 題型六：函數(shù)應(yīng)用 例8．（xx北京春，理文21）某租賃公司擁有汽車(chē)100輛.當(dāng)每輛車(chē)的月租金為3000元時(shí)，可全部租出。當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛。租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元。 （1）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車(chē)？ （2）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車(chē)輛數(shù)為： =12，所以這時(shí)租出了88輛車(chē)。 （2）設(shè)每輛車(chē)的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為： f（x）=（100－）（x－150）－50， 整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。 所以，當(dāng)x=4050時(shí)，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050。 即當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元. 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達(dá)式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實(shí)際問(wèn)題本身的限制。 例9．（xx湖南 理20）對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少； (Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。 解：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z。 由題設(shè)有=0.99，解得x=19。 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿(mǎn)足方程: 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。 因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少。 （II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類(lèi)似（I）得 ，（*） 于是+ 當(dāng)為定值時(shí),, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 此時(shí) 將代入（*）式得 故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為， 最少總用水量是。 當(dāng), 故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說(shuō)明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。 點(diǎn)評(píng)：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決。該題典型代表高考的方向。 題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例10．（1）設(shè)，其中a、b、c、d是常數(shù)。 如果求； （2）若不等式對(duì)滿(mǎn)足的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：（1）構(gòu)造函數(shù)則故： （2）原不等式可化為 構(gòu)造函數(shù)，其圖象是一條線段。 根據(jù)題意，只須： 即 解得。 點(diǎn)評(píng)：上面兩個(gè)題目通過(guò)重新構(gòu)造函數(shù)解決了實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用。 五．思維總結(jié) “函數(shù)”是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，學(xué)習(xí)函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內(nèi)容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類(lèi)問(wèn)題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴(lài)于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練。 1．求函數(shù)解析式的題型有： （1）已知函數(shù)類(lèi)型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法； （2）已知求或已知求：換元法、配湊法； （3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式； （4）滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法； （5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。 2．求函數(shù)定義域一般有三類(lèi)問(wèn)題： （1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合； （2）實(shí)際問(wèn)題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問(wèn)題有意義； （3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域： ①掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域； ②若已知的定義域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出。 3．求函數(shù)值域的各種方法 函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的。其類(lèi)型依解析式的特點(diǎn)分可分三類(lèi)：(1)求常見(jiàn)函數(shù)值域；(2)求由常見(jiàn)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見(jiàn)函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域。 ①直接法：利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求 一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽； 反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}，值域?yàn)閧y|y0}； 二次函數(shù)的定義域?yàn)镽， 當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閧}； 當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閧}。 ②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式； ③分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”） ④換元法：通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想； ⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域； ⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來(lái)求值域； ⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。 ⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。