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2019年高一數(shù)學(xué)《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計 備課組長 李梅仙 中心發(fā)言人 李枝升 年級 周次 七 備課日期 5.2 備課題目 2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義 第幾課時 1、2 學(xué)科長簽名 思考題3：、是兩個不共線的向量,已知=2+3，=6+23, =4-8,求證：A、B、D三點共線。 三、教學(xué)問題診斷分析 1．學(xué)生在理解實數(shù)與向量積的定義時可能會出現(xiàn)障礙，主要是學(xué)生在此之前研究的都是數(shù)與數(shù)的積，并習(xí)慣了兩個數(shù)的積只有大小沒有方向，從而把它們混為一談。要克服這一困難，關(guān)鍵是讓學(xué)生知道實數(shù)與向量的積的定義可以看作是數(shù)與數(shù)的積的推廣，但要注意它們的區(qū)別。啟發(fā)學(xué)生在掌握向量加法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)實數(shù)與向量的積的概念及運算律，引導(dǎo)學(xué)生從特殊歸納到一般。 2．學(xué)生在掌握實數(shù)與向量的積的運算律時，又可能會出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會認為實數(shù)與向量的積的運算律與數(shù)與數(shù)的積的運算律是一樣的，每個等式的證明只證明等式兩邊的模相等。針對這一問題，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生尋求其與代數(shù)運算中實數(shù)乘法的運算律的相似性，但應(yīng)注意它們之間的區(qū)別是數(shù)與向量的積運算結(jié)果是一個向量，而數(shù)與數(shù)的積的運算結(jié)果是一個數(shù)。從而掌握實數(shù)與向量的積及其應(yīng)用。 3．學(xué)生在理解兩個向量共線的充要條件時，還可能會出現(xiàn)障礙，主要原因是學(xué)生在前面學(xué)了0與任意向量共線，而這里是非零向量a ，a是否可以為零向量產(chǎn)生困惑。針對這一問題，應(yīng)特別提出如果b＝a=0，數(shù)仍然存在，此時并不唯一，是任意實數(shù)。 四、教學(xué)過程設(shè)計 1、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 問題1.向量的加法是如何定義的？求兩個向量和的方法有那些？ 問題2.向量的加法滿足那些運算律？它們可表示為？ 問題3.向量的減法是如何定義的？差向量的意義是什么？ 問題4.什么是相等向量? 2、講解新課 問題5.在代數(shù)運算中，a＋a＋a＝3a，故實數(shù)乘法可以看成是相同實數(shù)加法的簡便計算方法，相同向量的求和運算也有類似的簡便計算嗎？ 問題6. 若為實數(shù)，a是向量，則a是向量還是數(shù)量？ 已知非零向量a，我們作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a). 由圖可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我們把a＋a＋a記作3a，即＝3a，顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜. 同樣，由圖可知，＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我們把(－a)＋(－a)＋(－a)記作－3a，即＝－3a，顯然－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜. 上述過程推廣后即為實數(shù)與向量的積. 實數(shù)與向量的積的概念： 一般地,實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，其長度和方向規(guī)定如下： (1)｜a｜＝｜｜｜a｜；(2)當＞0時，a與a同向； 當＜0時，a與a反向；當＝0時，a＝0. 問題7. 實數(shù)與向量可以求積，那能不能進行加減運算呢？如：+a，-a有意義嗎？ 問題8. 數(shù)與數(shù)的積滿足那些運算律呢？實數(shù)與向量的積也滿足這些運算律嗎？ 實數(shù)與向量的積的運算律： (1)(μa)＝(μ)a；(2)(＋μ)a＝a＋μa；(3)(a＋b)＝a＋b 說明：對于運算律的驗證要求學(xué)生通過作圖來進行. 例5.計算： （1）（-3）4a ;（2）3(a+b)-2(a-b)-a;（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c) 向量共線的充要條件： 問題9.什么是共線向量? 若有向量a(a0)、b，實數(shù)λ，使b =λa，則a與b為共線向量。 若與共線(a0)且|b|：|a|=μ，則當a與b同向時b =μa； 當a與b反向時b =-μa。 因此，我們得到下面定理。 定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實數(shù)λ，使b=λa。 問題10.在上面定理中，能不能把“非零向量”的“非零”去掉后？原充要條件是否正確？ P89例6 ： 問題10：如何用向量方法證明三點共線？ P89例7： 目標檢測 1、點C在線段AB上，且,則 , . 2、把下列各小題中的向量表示為實數(shù)與向量的積： （1）， ； （2），（3），；（4）， 3、判斷下列各小題中的向量與是否共線： （1）， ； （2），（3）， 5、下列說法正確的是( ) (A)a與b共線，b與c共線，則a與c共線； (B)a與b共線，b與c不共線，則a與c不共線； (C)a與b不共線，b與c不共線，則a與c不共線. 配餐作業(yè) 一、基礎(chǔ)題（A組題）（估計完成時間20分鐘） 1．化簡： (1) ； (2) 。 2．已知3（-）+2（+2）-4（+-）=,則 = ． 3．已知，方向相同，且｜｜=3, =7,｜2-｜= ． 4. 判斷向量a＝－5e與b＝5e是否共線? 二、鞏固題（B組題）（估計完成時間10分鐘） 5.向量e1、e2不共線,(ke1+e2)與(e1+ke2)共線，則k＝ . 6. 已知＝，＝λ，求λ的值。 7. 如圖，已知試判斷是否共線并證明. 三、提高題（C組題）（估計完成時間8分鐘） 8.已知ABCD，E、F分別是DC和AB的中點，求證：AE∥CF.（用向量證明）