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1、應用直觀教學手段開展學生的抽象思維能力 摘要：數(shù)學是一門抽象性、邏輯性很強的學科，應用直觀的教學手段增強學生對數(shù)學知識的理解，開展學生的認知能力具有十分重要的作用.初中階段正是學生思維方式開展的關鍵期和轉折期，思維上表達手段，以領悟數(shù)學知識為媒介，促進學生數(shù)學思維的開展，是數(shù)學教育工作者應當思考的問題.關鍵詞：實物直觀；模像直觀；模式直觀；語言直觀義務教育數(shù)學課程標準〔2021年版〕指出：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系〞、“學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程〞[1].捷克教育家夸美紐斯在?大教學論?中指出，“應該盡可能地把事物本身或代替它的圖像放

2、在面前，讓學生去看看、聽聽、觸觸[2].〞美國著名的哲學家、教育學家和心理學家杜威提出了“做中學〞，“從活動中學〞，“從經(jīng)驗中學〞.他明確提出：“從做中學要比從聽中學更是一種較好的方法[3].〞這些教育思想中無不說明手段以深化學生對數(shù)學知識的領悟方面談談筆者的一些做法和感受.1通過實物直觀教學，開展抽象思維能力以新北師大版數(shù)學教材〔下同〕為例，列舉一些運用實物直觀教學來深化學生對數(shù)學關系的領悟的例子，比方在“九年級上冊第一章——特殊的平行四邊形〞這一章節(jié)中，結合教材資源提問：用折紙和剪紙的方法〔如圖1〕如何得到一個菱形或正方形，并說明道理.通過引導學生進行實際操作和演示，讓他們嘗試解說從折到剪

3、的全過程，力求能夠做到具體、形象地講解圖形的邊、角、對角線的內(nèi)在關系，并辨析圖形變化前后的數(shù)值和位置關系.筆者讓學生思考和驗證：上述方法能否剪出一個〔不是正方形的〕矩形，為什么？調(diào)動和激發(fā)學生的積極性和好奇心，課堂活動進入了新的高潮.從而深化了學生從邊、角或?qū)蔷€的角度，對菱形、正方形間的內(nèi)在關系的領悟和掌握.又如在“七年級上冊第一章——豐富的圖形世界〞這一章節(jié)中，通過準備好長方體、正方體、圓柱體、剪刀、美工刀、卡紙等教具，在課堂演示操作，適時引導學生參與教學實驗，讓學生準確地把握圖形的形狀、數(shù)量和位置關系。通過直觀的實物展示，促進了學生對相對復雜的空間關系的認識，準確把握了長方體和圓柱體的截

4、面形狀、組合體的三視圖以及其間正方形的分布位置、組合體中正方體最多或最少個數(shù)問題等的解決方法；為了進一步深化領悟，再設置了如下問題：用一個平面截一個正方體，截面形狀能否是七邊形？請同學們切割用白蘿卜制成的正方體，并說說你在切割中的發(fā)現(xiàn).實物直觀教學開展了學生抽象思維能力、空間想象能力，提高了他們發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.再如，事件的“可能性〞、“頻率與概率〞，讓學生參與摸紅球、轉轉盤、擲骰子、拋硬幣、拋圖釘、擲飛鏢等游戲活動中，通過親身經(jīng)歷和實際操作，感知數(shù)學規(guī)律的真實性與存在性，深化了學生對應用古典概型或幾何概型解決實際問題的方法的領悟，從根本上把握不確定事件的數(shù)學關系.這樣的例子還

5、有很多.實物直觀本身也存在局限性，如圖形的變換〔縮放、平移、旋轉、對折等〕，想通過實物直觀教學手段來深化學生對知識的領悟的難度是很大的，所以實際教學中借助了其他直觀手段加以實現(xiàn).2通過數(shù)學模像直觀教學，開展抽象思維能力一般地，觀察與教材相關的模型與圖像〔如PPT、圖片、圖表、視頻等〕，形成表象的方法被稱為模像直觀。它是實物直觀的有效補充.數(shù)學模像直觀主要是通過前景或背景顏色的強調(diào)、形狀的縮放、動作路徑的設定、對象的參照等手段形成實物中非本質(zhì)特征的強度改變，從而突出數(shù)學教學中需要概括的數(shù)學對象的本質(zhì)因素.用動畫形式表現(xiàn)圖形的變換〔縮放、平移、旋轉、對折〕、呈現(xiàn)點、線、面、體的動態(tài)過程、展示相關數(shù)

6、學關系之間的互相轉換等，實際教學中可利用的資源有很多，教師亦可自己制作課件，實現(xiàn)圖像動態(tài)效果的易用軟件包括PPT、Flash、幾何畫板等.例如，七年級下冊“第五章生活中的軸對稱——探索軸對稱的性質(zhì)〞，如果教學過程中只停留在性質(zhì)的驗證和應用上，課堂學習將會變得枯燥無味，學生的主體性和主動性也將無法得到充分的表達以下結論〔如圖2〕：AD=A/D/，∠1=∠2，∠3=∠4，以及AA/被對稱軸l垂直平分等類似的關系，同時對稱軸的位置也顯得十分直觀，不容疑心.模像直觀彌補了實物直觀的缺乏，便于學生對數(shù)學對象本質(zhì)屬性的理解和把握，并且在一定程度上培養(yǎng)了學生的抽象思維能力.3運用模式直觀，促進思維的遷移，開

7、展抽象思維能力所謂模式直觀，是通過相比照較具體的、先前已經(jīng)熟悉的、具有普遍協(xié)調(diào)感的、容易接近的模式作為背景，使得人們能夠進一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對象[4].模式直觀是抽象的數(shù)學知識學習中經(jīng)常運用的教學手段.比方有理數(shù)、實數(shù)、無理數(shù)乃至代數(shù)式的運算教學，通過類比小學已學的運算律、運算順序等已有的算法模式和計算經(jīng)驗，化未知為，成功拓展了數(shù)的范圍，深化了對數(shù)的運算關系的領悟.再如利用“糖水的直觀模式〞證明■<■這一特定不等式提供了直觀的可操作的“思想實驗〞[5]，為學生領悟形如■<■<…<■，以及把握等式根本性質(zhì)■=■〔m≠0〕，防止出現(xiàn)■=■形式提供了直觀的模式.類似的例子還有許多

8、，比方用溫度計類比數(shù)軸來比較實數(shù)的大小問題、用方格紙表達勾股定理及其逆定理、用抽屜原理說明400人中定有2人生日相同問題、用方程與函數(shù)思想解應用題、用摸球游戲做模擬實驗估算概率問題等，通過建模形成不同的模式，用以解決許多同類的實際問題是我們經(jīng)常運用的思想方法.模式直觀的應用，促進了數(shù)學思維的遷移，化被動為主動，化未知為，深化了學生對數(shù)學關系的領悟，對培養(yǎng)學生思維模式和分析問題、解決問題起到了不可替代的作用.4采用語言直觀教學，開展抽象思維能力?醫(yī)學百科?對“語言直觀〞解釋是：教師用生動形象、富有感染力的語言喚起學生對有關事物表象的重現(xiàn)，并按照描述進行重組，以形成新事物的表象.歸結一些口訣或順口

9、溜，不僅直觀形象、富有趣味性，而且對數(shù)學知識的領悟和掌握也很有幫助.比方，正方體的展開圖有11種情況，如何準確、快速、牢固地掌握它們呢？在實踐中借助口訣輔助教學，稱以下6種根本圖形為1-4-1型，并輔以口訣“四個側面放中間，上下兩面各一邊〞，如圖3〔甲〕.當然，為了更加準確、快速地判斷一個圖形是否為正方體的展開圖，還應當對圖形進行變式訓練，即對圖形進行位置的改變，如圖3〔乙〕其實是圖3〔甲〕水平翻轉后對應的圖形.為了便于學生掌握，可對1-4-1型的圖形進行了有序的排列，在教學中也便于語言直觀的表達.同時，還將其他展開圖分別直觀地概括為2-3-1型〔共3種〕也輔以口訣“二三相連不成田，三一相連位

10、不限〞、2-2-2型和3-3型〔各1種〕用一句口訣“二二三三連成梯，十一種類歸四型〞.再如，不等式組的解集問題，可用“大大取大；小小取??；大小、小大取中間；大大小小分兩邊〔無解〕.〞類似于這樣的口訣結合線段圖加以輔助教學，讓復雜的情況變得簡單易懂、生動有趣.通過語言直觀和模像直觀〔或?qū)嵨镏庇^〕相結合進行教學，為深化學生對數(shù)學知識的領悟起到了事半功倍的效果.除了用口訣方式使學習內(nèi)容變得形象生動外，還可借助比喻、對照、轉化、類比等一系列形象生動的教學語言，使一些原本抽象復雜、邏輯性很強的數(shù)學關系變得更加簡單、有趣、易懂.比方在“九年級下冊第三章——圓〞這一章節(jié)中，關于“垂徑定理〞的逆定理是這樣描述

11、的：“平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的弧〞，學生覺得不是太好理解.假設讓學生把這句話轉化為“如果……，那么……〞的形式，同時畫成圖形，即“如果圓O的直徑d平分一條不是直徑〔停頓強調(diào)〕的弦a〔學生畫圖〕，那么這條直徑d就會垂直于弦a，并且平分弦a所對的兩條弧〔結合圖形說明〕〞，學生很快就改寫好了，并且也順利地畫出正確的圖形進行描述.為了加深對定理的理解，又引導學生思考：如果把括號中“不是直徑〞四個字省略了，這個命題還會成立嗎？學生依照之前的方式將命題轉化成“如果圓O的直徑d平分一條弦a，那么這條直徑d就會垂直于弦a，并且平分弦a所對的兩條弧〞，接著用畫圖形的方式加以說明手段，它不會受時空限制，生動形象、富有趣味、感染力強，能夠喚起學生對各種表象的再現(xiàn).語言直觀要恰當?shù)赝瑢嵨镏庇^、模像直觀以及模式直觀相結合，充分發(fā)揮直觀性教學手段標準〔20212021：3-4.【2】張煥庭.西方資產(chǎn)階級教育論著選讀[M].北京：人民教育出版，1979：49.【3】鄭治國.從杜威的“做中學〞看現(xiàn)代教育[J].江西教育，2021〔3〕：2.【4】羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2021：61.【5】張廣祥，張奠宙.代數(shù)教學中的模式直觀[J].數(shù)學教育學報，2021〔1〕：2.