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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第4講 數(shù)列、不等式 1．已知前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，則an＝. 由Sn求an時(shí)，易忽略n＝1的情況． [問題1]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則an＝________. 2．等差數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì) (1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)． (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d. (3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn＝，Sn＝na1＋d. (4)等差數(shù)列的性質(zhì) ①當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. ②若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列． ③當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am＋an＝2ap. ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列． [問題2]　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為(　　) A．15 B．20 C．25 D．30 3．等比數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì) (1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法＝q(q為常數(shù))，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．如一個(gè)等比數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則an＋1＝. (2)等比數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1qn－1或an＝amqn－m. (3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝. 易錯(cuò)警示：由于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對(duì)q分q＝1和q≠1兩種情形討論求解． (4)等比中項(xiàng)：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)．值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)，即為.如已知兩個(gè)正數(shù)a，b(a≠b)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為A>B. (5)等比數(shù)列的性質(zhì) 當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有aman＝apaq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有aman＝a. [問題3]　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝________. (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. 4．?dāng)?shù)列求和的方法 (1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式； (2)分組求和法； (3)倒序相加法； (4)錯(cuò)位相減法； (5)裂項(xiàng)法； 如：＝－；＝. (6)并項(xiàng)法． 數(shù)列求和時(shí)要明確：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法． [問題4]　數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S21的值為________． 5．在求不等式的解集時(shí)，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示． [問題5]　不等式－3x2＋5x－2>0的解集為________． 6．不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，必須討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)．兩個(gè)不等式相乘時(shí)，必須注意同向同正時(shí)才能進(jìn)行． [問題6]　已知a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“ac>bd”的________條件． 7．基本不等式：≥ (a，b>0) (1)推廣： ≥≥≥(a，b>0)． (2)用法：已知x，y都是正數(shù)，則 ①若積xy是定值p，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2； ②若和x＋y是定值s，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值s2. 易錯(cuò)警示：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意驗(yàn)證“一正、二定、三相等”的條件． [問題7]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，則y＝＋的最小值是________． 8．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解． [問題8]　設(shè)定點(diǎn)A(0,1)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足條件則|PA|的最小值是________． 例1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 錯(cuò)因分析　沒有注意到an＝Sn－Sn－1成立的條件：n≥2，忽視對(duì)n的分類討論． 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n， ∴an＝ 答案　an＝ 易錯(cuò)點(diǎn)2　忽視等比數(shù)列中q的范圍 例2　設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列{an}的公比q＝________. 錯(cuò)因分析　沒有考慮等比數(shù)列求和公式Sn＝中q≠1的條件，本題中q＝1恰好符合題目條件． 解析　①當(dāng)q＝1時(shí)，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1， ∴S3＋S6＝S9成立． ②當(dāng)q≠1時(shí)，由S3＋S6＝S9， 得＋＝. ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. ∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1. 答案　1或－1 易錯(cuò)點(diǎn)3　數(shù)列最值問題忽略n的限制 例3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)()n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是(　　) A．第6項(xiàng)或第7項(xiàng) B．第7項(xiàng)或第8項(xiàng) C．第8項(xiàng)或第9項(xiàng) D．第7項(xiàng) 錯(cuò)因分析　求解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值，無論是利用Sn還是利用an來求，都要注意n的取值的限制，因?yàn)閿?shù)列中可能出現(xiàn)零項(xiàng)，所以在利用不等式(組)求解時(shí)，不能漏掉不等式(組)中的等號(hào)，避免造成無解或漏解的失誤． 解析　因?yàn)閍n＋1－an＝(n＋3)()n＋1－(n＋2)()n＝()n，當(dāng)n＜7時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝7時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞7時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞a10…，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)，故選B. 答案　B 易錯(cuò)點(diǎn)4　裂項(xiàng)法求和搞錯(cuò)剩余項(xiàng) 例4　在數(shù)列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為(　　) A. B. C. D. 錯(cuò)因分析　裂項(xiàng)相消后搞錯(cuò)剩余項(xiàng)，導(dǎo)致求和錯(cuò)誤：一般情況下剩余的項(xiàng)是對(duì)稱的，即前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的． 解析　由已知得an＝＋＋…＋＝(1＋2＋…＋n)＝， 從而bn＝＝＝4(－)，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝4[(1－)＋(－)＋(－) ＋…＋(－)]＝4(1－)＝.故選D. 答案　D 易錯(cuò)點(diǎn)5　解不等式時(shí)變形不同解 例5　解不等式≥2. 錯(cuò)因分析　本題易出現(xiàn)的問題有兩個(gè)方面：一是錯(cuò)用不等式的性質(zhì)直接把不等式化為3x－5≥2(x2＋2x－3)求解；二是同解變形過程中忽視分母不為零的限制條件，導(dǎo)致增解． 解　原不等式可化為－2≥0， 即≥0. 整理得≤0， 不等式等價(jià)于 解得－3＜x≤－1或≤x＜1. 所以原不等式的解集為{x|－3＜x≤－1或≤x＜1}． 易錯(cuò)點(diǎn)6　忽視基本不等式中等號(hào)成立條件 例6　函數(shù)y＝x＋(x≠1)的值域是______________________________________． 錯(cuò)因分析　本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面：一是不會(huì)“湊”，不能根據(jù)函數(shù)解析式的特征適當(dāng)變形湊出兩式之積為定值；二是利用基本不等式求最值時(shí)，忽視式子的取值范圍，直接套用基本不等式求最值．如本題易出現(xiàn)：由y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，得出y∈[3，＋∞)這一錯(cuò)誤結(jié)果． 解析　當(dāng)x＞1時(shí)，y＝x＋＝x－1＋＋1 ≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立； 當(dāng)x＜1時(shí)，－y＝－x＋＝1－x＋－1 ≥2－1＝1，即y≤－1，當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝，即x＝0時(shí)等號(hào)成立． 所以原函數(shù)的值域?yàn)?－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案　(－∞，－1]∪[3，＋∞) 1．(xx重慶)在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 2．(xx武漢適應(yīng)性訓(xùn)練)已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為100，那么a6a15的最大值是(　　) A．25 B．50 C．100 D．不存在 3．已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2,3a5＝b3，若存在常數(shù)u，v對(duì)任意正整數(shù)n都有an＝3logubn＋v，則u＋v等于(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 4．(xx江南十校聯(lián)考(二))已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝log3(n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn＜－4成立的最小自然數(shù)n為(　　) A．83 B．82 C．81 D．80 5．(xx湖南)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x－y的最小值為(　　) A．－7 B．－1 C．1 D．2 6．把一數(shù)列依次按第一個(gè)括號(hào)內(nèi)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)內(nèi)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)內(nèi)一個(gè)數(shù)，…循環(huán)分為(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，則第50個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為(　　) A．195 B．197 C．392 D．396 7．(xx福建六校聯(lián)考)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋)(＋4y2)的最小值為______． 8．已知函數(shù)f(x)＝(a>0，a≠1)．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 9．(xx忻州聯(lián)考)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，直線y＝kx－1與區(qū)域Ω有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________． 10．已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù))且方程f(x)－x＋12＝0有兩實(shí)根x1＝3，x2＝4. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)k＞1，解關(guān)于x的不等式f(x)≤. 　 　 　 　 11．等比數(shù)列{an}的公比q＞1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋成立的正整數(shù)n的取值范圍． 　 　 　 　 　 　 學(xué)生用書答案精析 4．?dāng)?shù)列、不等式 要點(diǎn)回扣 [問題1]　 [問題2]　A [問題3]　(1)512　(2)10 [問題4]　 [問題5]　 [問題6]　充分不必要 [問題7]　9 [問題8]　 查缺補(bǔ)漏 1．B　[由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝22－4＝0，選B.] 2．A　[由題意知S20＝20＝100?＝5，故a6＋a15＝a1＋a20＝10，又{an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以，a6＞0，a15＞0，所以a6a15≤()2＝25.] 3．B　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則解得d＝6，q＝9，所以an＝6n－3，bn＝9n－1,6n－3＝3nlogu9＋v－3logu9對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，所以解得u＝v＝3，故u＋v＝6.] 4．C　[∵an＝log3＝log3n－log3(n＋1)， ∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)＜－4，解得n＞34－1＝80.故最小自然數(shù)n的值為81.] 5．A　[不等式組表示的平面區(qū)域如圖，平移直線y＝3x－z，過M(－2,1)時(shí)，zmin＝3(－2)－1＝－7.故選A.] 6．C　[將三個(gè)括號(hào)作為一組，則由50＝163＋2，知第50個(gè)括號(hào)應(yīng)為第17組的第二個(gè)括號(hào)，即第50個(gè)括號(hào)中應(yīng)是兩個(gè)數(shù)．又因?yàn)槊拷M中含有6個(gè)數(shù)，所以第48個(gè)括號(hào)的最末一個(gè)數(shù)為數(shù)列{2n－1}的第166＝96項(xiàng)，第50個(gè)括號(hào)的第一個(gè)數(shù)應(yīng)為數(shù)列{2n－1}的第98項(xiàng)，即為298－1＝195，第二個(gè)數(shù)為299－1＝197，故第50個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為195＋197＝392.故選C.] 7．9 解析　(x2＋)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝即|xy|＝時(shí)等號(hào)成立． 8．(4,8) 解析　∵{an}是單調(diào)遞增數(shù)列， ∴∴42時(shí)，解集為x∈[1,2)∪[k，＋∞)． 11．解　由題意，得(a1q16)2＝a1q23，所以a1q9＝1. 又因?yàn)閿?shù)列{}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立， 則需＞，把a(bǔ)＝q－18代入上式并整理，得q－18(qn－1)＞ q(1－)，即q－18(qn－1)＞q，所以qn＞q19.因?yàn)閝＞1， 所以n＞19.故所求正整數(shù)n的取值范圍是n≥20，n∈N*.