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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練66 直接證明與間接證明 理 新人教版 一、選擇題 1．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為(　　) A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) 【解析】　“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為“a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”． 【答案】　B 2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q　　　　　 B．P＝Q C．P＜Q　　　　　 D．由a的取值確定 【解析】　∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2， Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2， ∴P2＜Q2，∴P＜Q. 【答案】　C 3．(xx張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a”索的因應(yīng)是(　　) A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 【解析】　由＜a?b2－ac＜3a2 ?b2＋a(a＋b)＜3a2 ?b2＋a2＋ab＜3a2 ?b2＋ab＜2a2 ?b2＋ab－2a2＜0 ?(a－b)(a－c)＞0. 【答案】　C 4．(xx上海模擬)“a＝”是“對(duì)任意正數(shù)x，均有x＋≥1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　當(dāng)a＝時(shí)，x＋＝x＋≥2＝2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立．反之，不成立． 【答案】　A 5．(xx成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A、B、C的大小關(guān)系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 【解析】　∵≥≥，又f(x)＝x在R上是減函數(shù)，∴f≤f()≤f，即A≤B≤C. 【答案】　A 6．(xx北京高考)學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”．如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有(　　) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 【解析】　利用反證法解決實(shí)際問(wèn)題． 假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上，設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁，則4位同學(xué)中必有兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣，且這兩個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣，那么這兩個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好，故滿足條件的學(xué)生不能超過(guò)3人．當(dāng)有3位學(xué)生時(shí)，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人． 【答案】　B 二、填空題 7．設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，則＋＋≥________. 【解析】　∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9. 等號(hào)成立的條件是a＝b＝c＝. 【答案】　9 8．凸函數(shù)的性質(zhì)定理為：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為_(kāi)_______． 【解析】　∵f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)， 且A、B、C∈(0，π)， ∴≤f＝f， 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝， 所以sin A＋sin B＋sin C的最大值為. 【答案】　 9．設(shè)x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是________(填寫所有正確條件的代號(hào))． ①x為直線，y，z為平面； ②x，y，z為平面； ③x，y為直線，z為平面； ④x，y為平面，z為直線； ⑤x，y，z為直線． 【解析】?、僦衳為直線，y，z為平面，則x⊥z，y⊥z，而x?y， ∴必有x∥y成立，故①正確． ②中若x，y，z均為平面，由墻角三面互相垂直可知x∥y是錯(cuò)的． ③x、y為直線，z為平面，則x⊥z，y⊥z可知x∥y正確． ④x、y為平面，z為直線，z⊥x，z⊥y，則x∥y成立． ⑤x、y、z均為直線，x⊥z且y⊥z，則x與y還可能異面、垂直，故不成立． 【答案】?、佗邰? 三、解答題 10．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證： lg ＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 【證明】　∵a，b，c∈(0，＋∞) ∴≥＞0， ≥＞0， ≥＞0 又a，b，c是不全相等的正數(shù)， 故上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立． ∴l(xiāng)g＋lg＋lg＝lg＞lg()＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c. 11．(xx臨沂模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且00. (1)證明：是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)； (2)試用反證法證明＞c. 【解】　(1)證明：∵f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根， 又x1x2＝，∴x2＝， ∴是f(x)＝0的一個(gè)根． 即是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． (2)假設(shè)0，由00， 知f>0與f＝0矛盾，∴≥c， 又∵≠c，∴>c. 12．對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足： ①對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)． (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0； (2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是否是理想函數(shù)． 【解】　(1)證明：取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 又對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0， ∴f(0)≥0.于是f(0)＝0. (2)對(duì)于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函數(shù)． 對(duì)于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1. 任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0， 即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)． ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)． 對(duì)于f(x)＝，x∈[0,1]，顯然滿足條件①②. 對(duì)任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2) ＝－2≤0， 即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2. ∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不滿足條件③. ∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函數(shù)． 綜上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)， f(x)＝2x(x∈[0,1])與f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．