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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊一輪復(fù)習(xí) 第23課時 正方形 一、基礎(chǔ)知識梳理（課前完成） 1. （一）定義: （1）正方形的定義： 的平行四邊形叫正方形。 (2）依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形。 2. 正方形的性質(zhì)與判定： 正方形的的性質(zhì)： 正方形的常用判定方法： ① 正方形的四個角都是_____，四條邊都__； ①有一個角是直角的菱形是正方形； ② _____的兩條對角線相等，并且互相垂 ②對角線相等的________是正方形 直平分，每條對角線平分一組對角； ③對角線互相垂直的_______是正方形. 3.正方形的對稱性與面積： ①正方形是______對稱圖形，又是 對稱圖形,它有______條對稱軸．S= 4.完成下表 原四邊形形狀 任意四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 箏形 中點(diǎn)四邊形形狀 結(jié)論：中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的 有關(guān)，若原四邊形的對角線 ，則其中點(diǎn)四邊形是菱形；若原四邊形的對角線互相垂直則其中點(diǎn)四邊形是 ；若原四邊形的對角線 ，則其中點(diǎn)四邊形是 。 二、基礎(chǔ)診斷題 1．順次連接正方形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（　?。? 　 A． 矩形 B． 正方形 C． 菱形 D． 直角梯形 2. 如圖，菱形中，，，則以為邊長的正方形的周長為( ) A．14 B．15 C．16 D．17 第3題圖 B A C D F E （第2題圖） 3.如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，則PE+PB的最小值為 ． 三、典型例題 例題1．（xx福州） 如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE. AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為【 】 A．45　 　 B．55　 　 C．60　 　 D．75 例題2、（xx年四川南充）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　?。? 　 A．（﹣，1） B． （﹣1，） C． （，1） D． （﹣，﹣1） 分析：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角邊”證明△AOD和△OCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據(jù)點(diǎn)C在第二象限寫出坐標(biāo)即可． 解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E， ∵四邊形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90，∴∠COE+∠AOD=90， 又∵∠OAD+∠AOD=90，∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵點(diǎn)C在第二象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，1）．故選A． 點(diǎn)評： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 例題3、（xx?宜賓）如圖，將n個邊長都為2的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，…An分別是正方形的中心，則這n個正方形重疊部分的面積之和是（　?。? A． n B． n﹣1 C． （）n﹣1 D． （）n 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專題： 規(guī)律型． 分析：根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個正方形可得到一個陰影部分，則n個這樣的正方形重疊部分即為（n﹣1）個陰影部分的和． 解答：解：由題意可得一個陰影部分面積等于正方形面積的，即是4=1， 5個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為：14， n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為：1（n﹣1）=n﹣1． 故選：B． 點(diǎn)評： 此題考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計算方法，難點(diǎn)是求得一個陰影部分的面積． 四、達(dá)標(biāo)檢測題 （一）基礎(chǔ)檢測 一、選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的.） 1（xx?蘭州）下列命題中正確的是（　?。? 　 A． 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 　 B． 有一個角是直角的平行四邊形是矩形 　 C． 對角線垂直的平行四邊形是正方形 　 D． 一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 2．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形，邊與DC交于點(diǎn)O，則四邊形的周長是( ) A． B． C． D． 3. 如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為（　?。? 2題圖 3題圖 A． 8 B． 4 C． 8 D． 6 4題圖 7題圖 4 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE＝DF，②∠DAF＝15，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正確的結(jié)論有( )個 A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 二、填空題 5 如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，連接AC．BD，CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E，則DE= ． 6. 已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數(shù)是 . 7. 已知菱形ABCD的邊長是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE=3，連接BE與對角線AC相交于點(diǎn)M，則的值是 。 8. 如圖矩形紙片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一點(diǎn)E，ED＝2cm，AD上有一點(diǎn)P，PD＝3cm，過P作PF⊥AD交BC于F，將紙片折疊，使P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕與PF交于Q點(diǎn)，則PQ的長是________cm. 9（xx?泰州）如圖，正方向ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．若PQ=AE，則AP等于　1或2　cm． 10（xx?蘇州）已知正方形ABCD的對角線AC=，則正方形ABCD的周長為　4?。? 三、解答題 11（xx?自貢）如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G． （1）求證：AE=CF； （2）若∠ABE=55，求∠EGC的大小． 12（xx?隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)． （1）求證：△ABM≌△DCM； （2）填空：當(dāng)AB：AD=　1：2　時，四邊形MENF是正方形． （二）能力提升 1．（xx廣州）將四根長度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，當(dāng)時，如圖，測得，當(dāng)時，如圖，（ ）． （A） （B）2 （C） （D） 2.（xx?濰坊）如圖，已知正方形ABCD，頂點(diǎn)A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過xx次變換后，正方形ABCD的對角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋ā　。? 　 A． （﹣xx，2） B． （﹣xx，﹣2） C． （﹣xx，﹣2） D． （﹣xx，2） 3（xx?株洲）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（　　） 　 A． 選①② B． 選②③ C． 選①③ D． 選②④ 4（xx?涼山州）順次連接矩形四邊中點(diǎn)所形成的四邊形是 ．學(xué)校的一塊菱形花園兩對角線的長分別是6m和8m，則這個花園的面積為 ． 5（xx?梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE． （1）求證：CE=CF； （2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE=45，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？ 6（xx濟(jì)寧）如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連接BF、DF. （1）求證：BF=DF； （2）連接CF，請直接寫出BE∶CF的值（不必寫出計算過程）. 7(xx年山東省濱州市)如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30到DC′處，連接AC′，BC′，CC′，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程． 8（xx年山東煙臺）在正方形ABCD中，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動． （1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由； （2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明） （3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由； （4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值． 9（xx?威海）猜想與證明： 如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 拓展與延伸： （1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 ． （2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立． 五、課后反饋 1. 如圖所示，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別為OB、OC的中點(diǎn)，則cos∠OMN的值為（ ） A． B． C． D．1 D N A B C M O 3題圖 2 如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，分別連接AM、CM. 求證：AM=CM. 3.如圖1，有一組平行線，正方形的四個頂點(diǎn)分別在上，過點(diǎn)Ｄ且垂直于于點(diǎn)Ｅ，分別交于點(diǎn)Ｆ，Ｇ，． （1）　　　　，正方形的邊長＝　　　　； （2）如圖2，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)在直線上，以為邊在的左側(cè)作菱形，使點(diǎn)分別在直線上． ①寫出與的函數(shù)關(guān)系并給出證明； ②若，求菱形的邊長． A E’ D’ B’ C’ G’ A B C D E F G 【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，，知, 又，所以正方形的邊長為． （2）①過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)M，在中, ,,故，所以互余，與之和為，故=－. ②過E點(diǎn)作ON垂直于分別交于點(diǎn)O，N， 若,，,故, , ， 由勾股定理可知菱形邊長為.