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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)講解 集合思想及應(yīng)用教案 舊人教版 集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基本概念的認(rèn)識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運(yùn)用.本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用. ●難點(diǎn)磁場 (★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. ●案例探究 ［例1］設(shè)A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結(jié)論. 命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.屬★★★★★級題目. 知識依托：解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(A∪B)∩C=轉(zhuǎn)化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了. 錯(cuò)解分析：此題難點(diǎn)在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手. 技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進(jìn)而可得值. 解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C= ∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 ∵A∩C= ∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0 ∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2－16>0,即b2>1 ① ∵ ∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0 ∴k2－2k+8b－19<0,從而8b<20,即b<2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得 ∴k=1,故存在自然數(shù)k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=. ［例2］向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？ 命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握.本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.屬★★★★級題目. 知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來. 錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索. 技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系. 解：贊成A的人數(shù)為50=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B. 設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x. 依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21. 所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人. ●錦囊妙計(jì) 1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題. 2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論. ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},則( ) A.M=N B.MN C.MN D.M∩N= 2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},當(dāng)A∩B只有一個(gè)元素時(shí)，a,b的關(guān)系式是_________. 三、解答題 5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求當(dāng)a取什么實(shí)數(shù)時(shí)，A∩B 和A∩C=同時(shí)成立. 6.(★★★★★)已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}. 試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明. (1)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上； (2)A∩B至多有一個(gè)元素； (3)當(dāng)a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠. 7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},當(dāng)A∩B=B時(shí)，求b的值. 8.(★★★★)設(shè)f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}. (1)求證：AB; (2)如果A={－1，3}，求B. 參考答案 難點(diǎn)磁場 解：由得x2+(m－1)x+1=0 ① ∵A∩B≠ ∴方程①在區(qū)間［0，2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解. 首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,當(dāng)m≥3時(shí)，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有負(fù)根，不符合要求. 當(dāng)m≤－1時(shí)，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1］內(nèi)，從而方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間［0，2］內(nèi). 故所求m的取值范圍是m≤－1. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x= nπ+,n∈Z},對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}. 答案：C 2.解析：∵A∪B=A，∴BA,又B≠, ∴即2＜m≤4. 答案：D 二、3.a=0或a≥ 4.解析：由A∩B只有1個(gè)交點(diǎn)知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab=. 答案：ab= 三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是關(guān)于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠, ∴3是關(guān)于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2. 當(dāng)a=5時(shí)，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；當(dāng)a=－2時(shí)，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2. 6.解：(1)正確.在等差數(shù)列{an}中，Sn=,則(a1+an),這表明點(diǎn)(an,）的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上. (2)正確.設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=－4(*)，當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無解，此時(shí)A∩B=；當(dāng)a1≠0時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解. ∴A∩B至多有一個(gè)元素. (3）不正確.取a1=1,d=1,對一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么據(jù)(2）的結(jié)論，A∩B中至多有一個(gè)元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,這樣的(x0,y0）A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)A∩B=，所以a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的. 7.解：由w=zi+b得z=, ∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化簡得|w－(b+i)|≤1. ∴集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是兩個(gè)圓面，集合A表示以點(diǎn)(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(diǎn)(b,1)為圓心，半徑為1的圓面. 又A∩B=B，即BA，∴兩圓內(nèi)含. 因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2. 8.(1)證明：設(shè)x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A. ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0). 即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB. (2)證明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程x2+(p－1)x+q=0有兩根－1和3，應(yīng)用韋達(dá)定理，得 ∴f(x)=x2－x－3. 于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根. 將方程(*)變形，得(x2－x－3）2－x2=0 解得x=1,3,,－. 故B={－，－1，，3}.