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2019-2020年中考專題復(fù)習(xí)：第十八講 等腰三角形與直角三角形 【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】 考點(diǎn)一：角的平分線 例1 （xx?麗水）如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是 15 ． 思路分析：過D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=3，根據(jù)三角形的面積求出即可． 解：如圖，過D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC， ∴AD=DE=3， ∴△BDC的面積是DEBC=103=15， 故答案為：15． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．（xx?泉州）如圖，∠AOB=70，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ= 35 ． 1．35 考點(diǎn)二：線段垂直平分線 例2 （xx?義烏市）如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連結(jié)OC，若∠AOC=125，則∠ABC= 70 ． 思路分析：先根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠C，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OB=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠OBC=∠C，然后根據(jù)角平分線的定義解答即可． 解：∵AD⊥BC，∠AOC=125， ∴∠C=∠AOC-∠ADC=125-90=35， ∵D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠C=35， ∵OB平分∠ABC， ∴∠A∠=2∠OBC=235=70． 故答案為：70． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2．（xx?天門）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為（　?。? A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 2．C 考點(diǎn)三：等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用 例3 （xx?武漢）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD是AC邊上的高，則∠DBC的度數(shù)是（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 思路分析：根據(jù)已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得∠DBC的度數(shù)． 解：∵AB=AC，∠A=36， ∴∠ABC=∠ACB=7，2 ∵BD是AC邊上的高， ∴BD⊥AC， ∴∠DBC=90-72=18． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3．（xx?云南）如圖，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68，則∠ACD= 44 ． 3．44 考點(diǎn)四：等邊三角形的判定與性質(zhì) 例4 （xx?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E= 15 度． 思路分析：根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知∠ACB=60，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60，∠ACD=120， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30，∠FDE=150， ∵DF=DE， ∴∠E=15． 故答案為：15． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角和為180以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4．（xx?黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE= ． 4． 考點(diǎn)五：三角形中位線定理 例5 （xx?昆明）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∠A=50，∠ADE=60，則∠C的度數(shù)為（　?。? A．50 B．60 C．70 D．80 思路分析：在△ADE中利用內(nèi)角和定理求出∠AED，然后判斷DE∥BC，利用平行線的性質(zhì)可得出∠C． 解：由題意得，∠AED=180-∠A-∠ADE=70， ∵點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE∥BC， ∴∠C=∠AED=70． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理的內(nèi)容：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 5．（xx?廈門）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，若AC+BD=24厘米，△OAB的周長(zhǎng)是18厘米，則EF= 3 厘米． 5．3 考點(diǎn)六：直角三角形 例6 （xx?衢州）將一個(gè)有45角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30角，如圖，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為（　　） A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm 思路分析：過另一個(gè)頂點(diǎn)C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據(jù)直角三角形中30角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，可求出有45角的三角板的直角直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊． 解：如圖， 過點(diǎn)C作CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形ADC中， ∵∠CAD=30， ∴AC=2CD=23=6， 又三角板是有45角的三角板， ∴AB=AC=6， ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72， ∴BC=6， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是含30角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關(guān)鍵是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 6．（xx?重慶）如圖，在△ABC中，∠A=45，∠B=30，CD⊥AB，垂足為D，CD=1，則AB的長(zhǎng)為（　　） A．2 B．2 C． +1 D． +1 6．D 考點(diǎn)七：勾股定理 例7 （xx?揚(yáng)州）矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為 6 ． 思路分析：設(shè)矩形一條邊長(zhǎng)為x，則另一條邊長(zhǎng)為x-2，然后根據(jù)勾股定理列出方程式求出x的值，繼而可求出矩形的面積． 解：設(shè)矩形一條邊長(zhǎng)為x，則另一條邊長(zhǎng)為x-2， 由勾股定理得，x2+（x-2）2=42， 整理得，x2-2x-6=0， 解得：x=1+或x=1-（不合題意，舍去）， 另一邊為：-1， 則矩形的面積為：（1+）（-1）=6． 故答案為：6． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出等式求處矩形的邊長(zhǎng)，要求同學(xué)們掌握矩形面積的求法． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 7．（xx?莆田）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 10 ． 7．10 【聚焦山東中考】 1．（xx?臨沂）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（　　） A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 1．C 2．（xx?棗莊）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長(zhǎng)為（　?。? A．20 B．12 C．14 D．13 2．C 3．（xx?淄博）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為26，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長(zhǎng)為（　?。? A． B． C．3 D．4 3．C 4．（xx?威海）如圖，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，連接BD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn) 4．C 5．（xx?萊蕪）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．8 5．C 6．（xx?濱州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50，則∠B= 65 ． 6．65 7．（xx?濱州）在△ABC中，∠C=90，AB=7，BC=5，則邊AC的長(zhǎng)為 ． 7． 8．（xx?煙臺(tái)）如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為36，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則△DOE的周長(zhǎng)為 15 ． 8．15 9．（xx?泰安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，若∠F=30，DE=1，則BE的長(zhǎng)是 2 ． 9．2 10．（xx?煙臺(tái)）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為 108 度． 10．108 11．（xx?菏澤）我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則它的“面徑”長(zhǎng)可以是 之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)） （寫出1個(gè)即可）． 11．，（或介于和之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)） 12．（xx?威海）操作發(fā)現(xiàn) 將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合． 問題解決 將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②． （1）求證：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的長(zhǎng)． 12．解；（1）由圖①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD， ∵∠DEF=30， ∴∠BDC=∠BCD=75， ∵∠ACB=45， ∴∠DOC=30+45=75， ∴∠DOC=∠BDC， ∴△CDO是等腰三角形； （2）如圖，作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H， 在Rt△DHF中，∠F=60，DF=8，∴DH=4，HF=4， 在Rt△BDF中，∠F=60，DF=8，∴DB=8，BF=16， ∴BC=BD=8， ∵AG⊥BC，∠ABC=45， ∴BG=AG=4， ∴AG=DH， ∵AG∥DH， ∴四邊形AGHD為矩形， ∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4． 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1．（xx?成都）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，則AC的長(zhǎng)為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 1．D 2．（xx?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=70，則∠A的度數(shù)是（　　） A．70 B．55 C．50 D．40 2．D 3．（xx?淮安）若等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)度為3和1，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（　　） A．5 B．7 C．5或7 D．6 3．B 4．（xx?長(zhǎng)沙）下列各圖中，∠1大于∠2的是（　?。? A． B． C． D． 4．D 5．（xx?宜昌）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（　?。? A．8 B．6 C．4 D．2 5．C 6．（xx?南平）如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48，則下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．∠B=48 B．∠AED=66 C．∠A=84 D．∠B+∠C=96 6．B 7．（xx?遂寧）如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（　?。? ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 7．D 8．（xx?鐵嶺）如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程x2-8x+15=0的兩個(gè)根，那么連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到的三角形的周長(zhǎng)可能是（　?。? A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 8．A 9．（xx?柳州）在△ABC中，∠BAC=90，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為（　　） A． B． C． D． 9．A 10．（xx?德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10．若以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，則AC=（　?。? A．5 B．5 C．5 D．6 10．C 11．（xx?大慶）正三角形△ABC的邊長(zhǎng)為3，依次在邊AB、BC、CA上取點(diǎn)A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A． B． C． D． 11．B 12．（xx?鄂州）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=2．試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB=（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 12．B 二、填空題 13．（xx?徐州）若等腰三角形的頂角為80，則它的底角度數(shù)為（　?。? A．80 B．50 C．40 D．20 13．B 14．（xx?白銀）等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其一邊長(zhǎng)為6，則另兩邊為 6，4或5，5 ． 14．6，4或5，5 15．（xx?廣州）點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=7，則PB= 7 ． 15．7 16．（xx?長(zhǎng)沙）如圖，BD是∠ABC的平分線，P為BD上的一點(diǎn)，PE⊥BA于點(diǎn)E，PE=4cm，則點(diǎn)P到邊BC的距離為 4 cm． 16．4 17．（xx?宿遷）如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)A、B間的距離，在地面上確定點(diǎn)O，分別取OA、OB的中點(diǎn)C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是 40 m． 17．40 18．（xx?漳州）如圖，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，則數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是 ． 18．- 19．（xx?泰州）如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，則△ABD的周長(zhǎng)為 6 cm． 19．6 20．（xx?資陽）在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若∠AOB=60，AC=10，則AB= 5 ． 20．5 21．（xx?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（0，8）．以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （4，0） ． 21．（4，0） 22．（xx?錦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點(diǎn)E，垂足為D，連接BE．已知AE=5，tan∠AED=，則BE+CE= 6或16 ． 22．6或16 23．（xx?無錫）如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC= 45 ． 23．45 24．（xx?哈爾濱）在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90，連接CD，則線段CD的長(zhǎng)為 ． 24．或 25．（xx?沈陽）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是 1，7 ． 25．1，7 26．（xx?鄂州）著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)家、發(fā)明家．他曾經(jīng)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來．若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為 10 cm． 26．10 三、解答題 27．（xx?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的長(zhǎng)； （2）求△ADB的面積． 27．解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90， ∴CD=DE， ∵CD=3， ∴DE=3； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10， ∴△ADB的面積為S△ADB=AB?DE=103=15． 28．（xx?永州）如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求證：BN=DN； （2）求△ABC的周長(zhǎng)． 28．解：（1）在△ABN和△ADN中， ∵， ∴△ABN≌△ADN， ∴BN=DN． （2）∵△ABN≌△ADN， ∴AD=AB=10，DN=NB， 又∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)， ∴MN是△BDC的中位線， ∴CD=2MN=6， 故三角形ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．