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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分板塊（一）系統(tǒng)思想方法——融會(huì)貫通教學(xué)案理
高考數(shù)學(xué)選擇題歷來都是兵家必爭之地，因其涵蓋的知識(shí)面較寬，既有基礎(chǔ)性，又有綜合性，解題方法靈活多變，分值又高，既考查了同學(xué)們掌握基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程度，又考查了一定的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想，試題區(qū)分度極佳．這就要求同學(xué)們掌握迅速、準(zhǔn)確地解答選擇題的方法與技巧，為全卷得到高分打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．
一般來說，對于運(yùn)算量較小的簡單選擇題，都是采用直接法來解題，即從題干條件出發(fā)，利用基本定義、性質(zhì)、公式等進(jìn)行簡單分析、推理、運(yùn)算，直接得到結(jié)果，與選項(xiàng)對比得出正確答案；對于運(yùn)算量較大的較復(fù)雜的選擇題，往往采用間接法來解題，即根據(jù)選項(xiàng)的特點(diǎn)、求解的要求，靈活選用數(shù)形結(jié)合、驗(yàn)證法、排除法、割補(bǔ)法、極端值法、估值法等不同方法技巧，通過快速判斷、簡單運(yùn)算即可求解．下面就解選擇題的常見方法分別舉例說明．
一、直接法
直接從題目條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí)，通過嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，得出正確的結(jié)論．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直接法．
[典例] (xx全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為( )
A．2 B．
C． D．
[技法演示] 由圓截得漸近線的弦長求出圓心到漸近線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式得出a2，b2的關(guān)系求解．
依題意，雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為bx－ay＝0.因?yàn)橹本€bx－ay＝0被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2.
[答案] A
[應(yīng)用體驗(yàn)]
1．(xx全國卷Ⅲ)設(shè)集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，則S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
解析：選D 由題意知S＝{x|x≤2或x≥3}，
則S∩T＝{x|0
b>1,0b>1,0，
∴選項(xiàng)A不正確．
對于B,42＝4，24＝4,4>4，
∴選項(xiàng)B不正確．
對于C,4log2＝－4,2log4＝－1，－4<－1，
∴選項(xiàng)C正確．
對于D，log4＝－，log2＝－1，－>－1，
∴選項(xiàng)D不正確．
故選C．
法二：(直接法)根據(jù)待比較式的特征構(gòu)造函數(shù)，直接利用函數(shù)單調(diào)性及不等式的性質(zhì)進(jìn)行比較．
∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
∴當(dāng)a>b>1,0bc，選項(xiàng)A不正確．
∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a>b>1,0bac，選項(xiàng)B不正確．
∵a>b>1，∴l(xiāng)g a>lg b>0，∴alg a>blg b>0，
∴>.又∵0logbc，選項(xiàng)D不正確．
[答案] C
[應(yīng)用體驗(yàn)]
5．(xx全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( )
A．[－1,1] B．
C． D．
解析：選C 法一：(特殊值驗(yàn)證法)取a＝－1，則f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具備在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增的條件，故排除A、B、D.故選C．
法二：(直接法)函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，等價(jià)于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．設(shè)cos x＝t，則g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.故選C．
四、排除法
排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具體的做法是從條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，對各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除，從而獲得正確結(jié)論．
[典例] (xx全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝的部分圖象大致為( )
[技法演示] 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)圖象，利用排除法求解．令函數(shù)f(x)＝，其定義域?yàn)閧x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B；因?yàn)閒(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，選C．
[答案] C
[應(yīng)用體驗(yàn)]
6．(xx全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為( )
解析：選D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函數(shù)，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
設(shè)g(x)＝2x2－ex，則g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，排除C．故選D.
7．(xx全國卷Ⅱ)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為( )
解析：選B 當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝tan x＋，圖象不會(huì)是直線段，從而排除A、C．
當(dāng)x∈時(shí)，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f，所以e>.
故選D.
(二)快穩(wěn)細(xì)活 填空穩(wěn)奪
絕大多數(shù)的填空題都是依據(jù)公式推理計(jì)算型和依據(jù)定義、定理等進(jìn)行分析判斷型，解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推理和判斷．求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、分析法等．
解答填空題時(shí)，由于不反映過程，只要求結(jié)果，故對正確性的要求更高、更嚴(yán)格．解答時(shí)應(yīng)遵循“快”“細(xì)”“穩(wěn)”“活”“全”5個(gè)原則．
填空題解答“五字訣”
快——運(yùn)算要快，力戒小題大做
細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意
穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急
活——解題要活，不要生搬硬套
全——答案要全，避免殘缺不齊
一、直接法
直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過變形、推理、計(jì)算等得出正確的結(jié)論．
[典例] (xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
[技法演示] 先求出sin A，sin C的值，進(jìn)而求出sin B的值，再利用正弦定理求b的值．
因?yàn)锳，C為△ABC的內(nèi)角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝.
[答案]
[應(yīng)用體驗(yàn)]
1．(xx全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.
解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴l(xiāng)n a＝0，即a＝1.
答案：1
2．(xx全國卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)
解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系數(shù)為C－C＝8－28＝－20.
答案：－20
二、特殊值法
當(dāng)填空結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，我們只需把題材中的參變量用特殊值代替即可得到結(jié)論．
[典例] (xx山東高考)已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．
[技法演示] 法一：(特殊值法)利用雙曲線的性質(zhì)，設(shè)特殊值求解．
如圖，由題意知|AB|＝，|BC|＝2c，
又2|AB|＝3|BC|，∴設(shè)|AB|＝6，|BC|＝4，則|AF1|＝3，|F1F2|＝4，
∴|AF2|＝5.由雙曲線的定義可知，a＝1，c＝2，∴e＝＝2.故填2.
法二：(直接法)利用雙曲線的性質(zhì)，建立關(guān)于a，b，c的等式求解．
如圖，由題意知|AB|＝，|BC|＝2C．
又2|AB|＝3|BC|，
∴2＝32c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去)．
[答案] 2
[應(yīng)用體驗(yàn)]
3．(xx安徽高考)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________.
解析：法一：(特殊值法)由題意知a1，a3，a5成等差數(shù)列，a1＋1，a3＋3，a5＋5成等比數(shù)列，所以觀察可設(shè)a1＝5，a3＝3，a5＝1，所以q＝1.故填1.
法二：(直接法)因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以可設(shè)a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.
答案：1
三、數(shù)形結(jié)合法
根據(jù)題目條件，畫出符合題意的圖形，以形助數(shù)，通過對圖形的直觀分析、判斷，往往可以快速簡捷地得出正確的結(jié)果，它既是方法，也是技巧，更是基本的數(shù)學(xué)思想．
[典例] (xx 全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝________.
[技法演示] 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系先求出m的值，再結(jié)合圖象求|CD|.
由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(diǎn)(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，
解得m＝－.
又直線l 的斜率為－m＝，
所以直線l的傾斜角α＝.
畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2＝4.
[答案] 4
[應(yīng)用體驗(yàn)]
4．(xx全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為________．
解析：畫出可行域(如圖所示)．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直線y＝－3x＋z在y軸上截距最大時(shí)，即直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值．
由解得即B(1,1)，
∴zmax＝31＋1＝4.
答案：4
5．(xx全國卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．
解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對稱．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x－1)>0，得－20，b>0)的一條漸近線與圓(x－)2＋(y－1)2＝1相切，則此雙曲線的離心率為( )
A．2 B．
C． D．
解析：選A 由題可知雙曲線的漸近線方程為bxay＝0，與圓相切，∴圓心(，1)到漸近線的距離為＝1或＝1，又a>0，b＞0，解得a＝b，∴c2＝a2＋b2＝4a2，即c＝2a，∴e＝＝2.
6．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出S的值是( )
A．－3 B．－
C． D．2
解析：選A 模擬程序框圖的運(yùn)算結(jié)果如下：
開始S＝2，i＝1.
第一次循環(huán)，S＝－3，i＝2；第二次循環(huán)，S＝－，i＝3；第三次循環(huán)，S＝，i＝4；第四次循環(huán)，S＝2，i＝5；
第五次循環(huán)，S＝－3，i＝6；……，可知S的取值呈周期性出現(xiàn)，且周期為4，∵跳出循環(huán)的i值2 018＝5044＋2，∴輸出的S＝－3.
7．在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，則的值為( )
A．3 B．－3
C．－ D．
解析：選D 由|＋|＝|－|，兩邊平方可得||2＋||2＋2＝3||2＋3||2－6，又||＝||＝3，∴＝，
∴＝(＋)＝2＋＝2－＝9－＝.
8．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，滿足a＋a＝a＋a，則{an}的前10項(xiàng)和S10＝( )
A．－10 B．－5
C．0 D．5
解析：選C 由a＋a＝a＋a，可得(a－a)＋(a－a)＝0，即2d(a6＋a4)＋2d(a7＋a5)＝0，∵d≠0，
∴a6＋a4＋a7＋a5＝0，∵a5＋a6＝a4＋a7，∴a5＋a6＝0，
∴S10＝＝5(a5＋a6)＝0.
9．函數(shù)f(x)＝cos x的圖象的大致形狀是( )
解析：選B ∵f(x)＝cos x，
∴f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝－cos x＝－f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A，C；
又由當(dāng)x∈時(shí)，f(x)<0，函數(shù)圖象位于第四象限，可排除D，故選B.
10．已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，若＝3，則直線AB的斜率為( )
A． B． C． D．
解析：選D 作出拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－1，
設(shè)A，B在l上的投影分別是C，D，
連接AC，BD，過B作BE⊥AC于E，如圖所示．
∵＝3，∴設(shè)|AF|＝3m，
|BF|＝m，則|AB|＝4m，
由點(diǎn)A，B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得|AC|＝|AF|＝3m，|BD|＝|BF|＝m，則|AE|＝2m.
因此在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝，
得∠BAE＝60.
所以直線AB的傾斜角∠AFx＝60，故直線AB的斜率為k＝tan 60＝.
11．某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為( )
A．4π B．
C． D．20π
解析：選B 由三視圖知，該幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長是2，則三棱柱的兩個(gè)底面的中心連線的中點(diǎn)到三棱柱的頂點(diǎn)的距離就是其外接球的半徑r，所以r＝ ＝，則球面的表面積為4πr2＝4π＝.
12．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng) 取得最大值時(shí)，＋－ 的最大值為( )
A．0 B．1
C． D．3
解析：選B ∵x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均為正實(shí)數(shù)，∴＝＝≤＝1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號成立)，∴max＝1，此時(shí)x＝2y，
則z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－32yy＋4y2＝2y2，
∴＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號成立，滿足題意．
∴＋－的最大值為1.
二、填空題
13．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝，a2＋a4＝，則a6＝________.
解析：∵a1＋a3＝，a2＋a4＝，
∴解得
∴a6＝25＝.
答案：
14．已知sin＝，則cos＝________.
解析：cos＝cos＝cos ＝1－2sin2＝1－22＝.
答案：
15．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為10，則a2＋b2的最小值為________．
解析：由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，∵a＞0，b＞0，∴直線y＝－x＋的斜率為負(fù)．作出不等式組表示的可行域如圖，
平移直線y＝－x＋，由圖象可知當(dāng)y＝－x＋經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z也最大．
由解得即A(4,6)．
此時(shí)z＝4a＋6b＝10，即2a＋3b－5＝0，
即點(diǎn)(a，b)在直線2x＋3y－5＝0上，因?yàn)閍2＋b2的幾何意義為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，又原點(diǎn)到直線的距離d＝＝，故a2＋b2的最小值為d2＝.
答案：
16．已知函數(shù)f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為________．
解析：函數(shù)f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三個(gè)零點(diǎn)，即y＝|xex|與y＝m的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．令g(x)＝xex，則g′(x)＝(1＋x)ex，
當(dāng)x＜－1時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)x＞－1時(shí)，g′(x)＞0，
故g(x)＝xex在(－∞，－1)上為減函數(shù)，在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，g(－1)＝－，又由x＜0時(shí)，g(x)＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞0，故函數(shù)y＝|xex|的圖象如圖所示：
由圖象可知y＝m與函數(shù)y＝|xex|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m∈，故m的取值范圍是.
答案：
“12＋4”小題提速練(二)
(限時(shí)：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．(xx西安模擬)已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，則A∩B＝( )
A．? B．{x|2＜x＜3}
C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}
解析：選C 化簡集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，則A∩B＝{x|2≤x＜3}．
2．(xx福州模擬)已知復(fù)數(shù)z＝2＋i，則＝( )
A．－i B．－＋i
C．－i D．－＋i
解析：選A 因?yàn)閦＝2＋i，所以＝＝＝－i.
3．設(shè)a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：選C 因?yàn)閍＝log32＝，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，又c＝5－＝，＞2＝log24＞log23，所以c＜a，故c＜a＜b.
4．(xx屆高三蘭州一中月考)在電視臺(tái)舉辦的一次智力答題中，規(guī)定闖關(guān)者從圖中任選一題開始，必須連續(xù)答對能連成一條線的3道題目，闖關(guān)才能成功，則闖關(guān)成功的答題方法有( )
A．3種 B．8種
C．30種 D．48種
解析：選D 能連成橫著的一條線的有123,456,789，共3種，能連成豎著的一條線的有147,258,369，共3種，能連成對角線的有159,357，共2種，故共有8種．
又因?yàn)槊糠N選擇的答題順序是任意的，故每種選擇都有6種答題方法：如答題為1,2,3時(shí)，答題方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有86＝48(種)答題方法．
5．(xx合肥模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋2y的最大值為( )
A．5 B．6
C． D．7
解析：選C 作出不等式組表示的可區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖易知，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過直線x－y＝－1與x＋y＝4的交點(diǎn)，即A時(shí)，z取得最大值，zmax＝x＋2y＝.
6．(xx屆高三寶雞調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出S的值為( )
A．64 B．73
C．512 D．585
解析：選B 依題意，執(zhí)行題中的程序框圖，當(dāng)輸入x的值為1時(shí)，進(jìn)行第一次循環(huán)，S＝1＜50，x＝2；進(jìn)行第二次循環(huán)，S＝1＋23＝9＜50，x＝4；進(jìn)行第三次循環(huán)，S＝9＋43＝73＞50，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出S的值為73.
7．(xx衡陽三模)在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則Sn＝( )
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：選C 因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝2，設(shè)其公比為q，則an＝2qn－1，因?yàn)閿?shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)?a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2?an＋an＋2＝2an＋1?an(1＋q2－2q)＝0?q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.
8．點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB＝BC＝AC＝，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為( )
A．π B．8π
C．π D．π
解析：選C 如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D位于球的正頂部時(shí)四面體的體積最大，設(shè)球的半徑為R，則四面體的高為h＝R＋，四面體的體積為V＝()2sin 60(R＋)＝(R＋)＝，解得R＝，
所以球的表面積S＝4πR2＝4π2＝，故選C．
9．(xx屆高三湖北七校聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．設(shè)條件p：0＜r＜3，條件q：圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C 圓C：(x－1)2＋y2＝r2的圓心(1,0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝2.
當(dāng)0＜r＜1時(shí)，直線在圓外，圓上沒有點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)r＝1時(shí)，直線在圓外，圓上只有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)1＜r＜2時(shí)，直線在圓外，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)r＝2時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)2＜r＜3時(shí)，直線與圓相交，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.
綜上，當(dāng)0＜r＜3時(shí)，圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1，由圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1可得0＜r＜3，故p是q的充要條件，故選C．
10．(xx合肥模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e.P是橢圓上一點(diǎn)，滿足PF2⊥F1F2，點(diǎn)Q在線段PF1上，且＝2 .若＝0，則e2＝( )
A．－1 B．2－
C．2－ D．－2
解析：選C 由題意可知，在Rt△PF1F2中，F(xiàn)2Q⊥PF1，所以|F1Q||F1P|＝|F1F2|2，又|F1Q|＝|F1P|，所以有|F1P|2＝|F1F2|2＝4c2，即|F1P|＝c，進(jìn)而得出|PF2|＝C．又由橢圓定義可知，|PF1|＋|PF2|＝c＋c＝2a，解得e＝＝＝，所以e2＝2－.
11．(xx廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函數(shù)，直線y＝與函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，則( )
A．f(x)在上單調(diào)遞減
B．f(x)在上單調(diào)遞減
C．f(x)在上單調(diào)遞增
D．f(x)在上單調(diào)遞增
解析：選D f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sinωx＋φ＋，因?yàn)?＜φ＜π且f(x)為奇函數(shù)，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx，又直線y＝與函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增，故選D.
12．(xx貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2－4x－a)，若對任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：選D 依題意得，函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，令函數(shù)g(x)＝x2－4x－a，其值域A包含(0，＋∞)，因此對方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4，＋∞)．
二、填空題
13．(xx蘭州模擬)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝，則＝________.
解析：由菱形的性質(zhì)知||＝a，||＝a，且〈，〉＝，∴＝aacos＝a2.
答案：a2
14．(xx石家莊模擬)若n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則含x3項(xiàng)的系數(shù)為________．
解析：由題意，得2n＝64，所以n＝6，
所以n＝6，
其展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Cx12－3r.
令12－3r＝3，得r＝3，
所以展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為C＝20.
答案：20
15．某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出三箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)取出的三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________.
解析：由題意知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＋＝，
P(ξ＝2)＝＋＝，
P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的數(shù)學(xué)期望為
E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝.
答案：
16．(xx屆高三云南調(diào)研)已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，底面ABC是邊長為的等邊三角形，則三棱錐PABC體積的最大值為________．
解析：依題意，設(shè)球的半徑為R，則有4πR2＝，R＝，△ABC的外接圓半徑為r＝＝1，球心到截
面ABC的距離h＝＝＝，因此點(diǎn)P到截面ABC的距離的最大值等于h＋R＝＋＝4，因此三棱錐PABC體積的最大值為4＝.
答案：
“12＋4”小題提速練(三)
(限時(shí)：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．已知集合M＝{x|16－x2≥0}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}，則M∩N＝( )
A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}
C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}
解析：選C 由M中16－x2≥0，即(x－4)(x＋4)≤0，解得－4≤x≤4，所以M＝{x|－4≤x≤4}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}＝[1，＋∞)，則M∩N＝{x|1≤x≤4}．
2．若復(fù)數(shù)z滿足z(4－i)＝5＋3i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：選A 由z(4－i)＝5＋3i，
得z＝＝＝＝1＋i，
則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 1－i.
3．由變量x與y的一組數(shù)據(jù)：
x
1
5
7
13
19
y
y1
y2
y3
y4
y5
得到的線性回歸方程為＝2x＋45，則＝( )
A．135 B．90
C．67 D．63
解析：選D 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，線性回歸方程＝2x＋45過點(diǎn)(，)，則＝29＋45＝63.
4．如圖給出一個(gè)算法的程序框圖，該程序框圖的功能是( )
A．輸出a，b，c三個(gè)數(shù)中的最大數(shù)
B．輸出a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)
C．將a，b，c按從小到大排列
D．將a，b，c按從大到小排列
解析：選B 由程序框圖知：第一個(gè)判斷框是比較a，b大小，a的值是a，b之間的較小數(shù)；第二個(gè)判斷框是比較a，c大小，輸出的a是a，c之間的較小數(shù)．∴該程序框圖的功能是輸出a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)．故選B.
5．函數(shù)y＝sin的圖象經(jīng)過下列平移，可以得到函數(shù)y＝cos圖象的是( )
A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位
解析：選B 把函數(shù)y＝sin＝cos－＝cos的圖象向左平移個(gè)單位，可得y＝cos＝cos的圖象．
6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選C ∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
∴若f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，則f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，
又∵f(x)是定義在R上的以2為周期的函數(shù)，且[3,4]與[－1,0]相差兩個(gè)周期，
∴兩區(qū)間上的單調(diào)性一致，所以可以得出f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，故充分性成立．
若f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，同樣由函數(shù)周期性可得出f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，
再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，故必要性成立．
綜上，“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件．
7．某三棱錐的三視圖如圖所示，其三個(gè)視圖都是直角三角形，則該三棱錐的體積為( )
A． B．
C．1 D．6
解析：選A 由已知中的三視圖可得，該三棱錐的底面面積S＝21＝1，高h(yuǎn)＝1，故體積V＝Sh＝.
8．已知向量a與b的夾角為60，|a|＝4，|b|＝1，且b⊥(a－xb)，則實(shí)數(shù)x為( )
A．4 B．2
C．1 D．
解析：選B ∵b⊥(a－xb)，∴b(a－xb)＝0，即ab－xb2＝41cos 60－x＝0，解得x＝2.
9．已知點(diǎn)P在直線x＝－1上移動(dòng)，過點(diǎn)P作圓(x－2)2＋(y－2)2＝1的切線，相切于點(diǎn)Q，則切線長|PQ|的最小值為( )
A．2 B．2
C．3 D．
解析：選B 圓心(2,2)到直線x＝－1的距離為d＝3＞r＝1，故直線和圓相離．故切線長|PQ|的最小值為＝2.
10．(xx太原三模)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最大值為( )
A．126 B．130
C．132 D．134
解析：選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由題意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又b3＝18，b6＝12，則a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.又{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，∴{bn}為等差數(shù)列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)(－2)＝－2n＋24.∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝22n＋(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12時(shí)，(Sn)max＝132.
11．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為( )
A． B．
C． D．1
解析：選C 由題意可得F，設(shè)P，
顯然當(dāng)y0＜0時(shí)，kOM＜0；當(dāng)y0＞0時(shí)，kOM＞0.
要求kOM的最大值，必須有y0＞0，
則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，即M，則kOM＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2p2時(shí)，等號成立．故選C．
12．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析：選D ∵函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象及直線y＝kx－，如圖，
故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方，∴k1－＞0，解得k＞.
又當(dāng)直線y＝kx－和y＝ln x相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則 k＝＝，∴m＝，
此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故k的取值范圍是.
二、填空題
13．(x＋y＋z)8的展開式中項(xiàng)x3yz4的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
解析：(x＋y＋z)8的展開式表示8個(gè)因式(x＋y＋z)的積，展開式中項(xiàng)x3yz4即從這8個(gè)因式中任意選出3個(gè)取x，從剩下的5個(gè)中任意選4個(gè)取z，最后的一個(gè)取y，即可得到含x3yz4的項(xiàng)，故x3yz4的系數(shù)為CCC＝280.
答案：280
14．實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的取值范圍為________．
解析：由約束條件作出可行域如圖，
聯(lián)立解得A(3,1)，
聯(lián)立解得B(1,2)．
z＝的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P(－1,0)連線的斜率．∵kPA＝，kPB＝1，∴z＝的取值范圍為.
答案：
15．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形，單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)．根據(jù)前6行的規(guī)律，寫出第7行的第3個(gè)數(shù)是________．
解析：第7行第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是，第二個(gè)數(shù)
加要等于，所以第二個(gè)數(shù)是，同理第三個(gè)數(shù)加等于，則第三個(gè)數(shù)是.
答案：
16．以拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為圓心，以雙曲線－＝1(a>0，b>0)的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，則當(dāng)＋取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為________．
解析：拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，雙曲線的一條漸近線方程為bx＋ay＝0，
∵以拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為圓心，以雙曲線－＝1(a>0，b>0)虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，
∴＝b，∴a2＋b2＝4，
∴＋＝(a2＋b2)＝≥(5＋4)＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立，即此時(shí)＋取得最小值，∴c＝b，∴e＝＝＝.
答案：
(三)函數(shù)方程 穩(wěn)妥實(shí)用
函數(shù)與方程思想的含義
函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用
函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想．
方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想.
1
函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題．一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解．
2
三角函數(shù)中有關(guān)方程根的計(jì)算，平面向量中有關(guān)模、夾角的計(jì)算，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．
3
數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)或一元二次方程來解決．
4
解析幾何中有關(guān)的求方程、求值等問題常常需要通過解方程(組)來解決，求范圍、最值等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值來解決．
5
立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.
函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用
[典例] 設(shè)不等式2x－1>m(x2－1)對滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍．
[解] 問題可以變成關(guān)于m的不等式：
即(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立，
設(shè)f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
則
即
解得ln x2－ln x1 B．e－ex1e D．x2e
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分板塊（一）系統(tǒng)思想方法——融會(huì)貫通教學(xué)案理.doc
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