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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2 章末整合 蘇教版必修3 　某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是________． 解析：總體人數(shù)為28＋54＋81＝163(人)，樣本容量為36.若按36∶163取樣，無法得到整數(shù)解．故考慮先剔除1人，抽樣比變?yōu)?6∶162＝2∶9，則中年人取54＝12(人)；青年人取81＝18(人)；先從老年人中剔除1人，老年人取27＝6(人)．這樣組成容量為36的樣本． 答案：先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣 規(guī)律總結(jié)：根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種抽樣方法的共同點、適用范圍和各自特點，恰當(dāng)選取抽樣方法．在抽取樣本時，要按照各種抽樣方法的步驟進(jìn)行．三種抽樣方法的比較見下表： 類別 共同點 相互聯(lián)系 適用范圍 各自特點 簡單隨機(jī)抽樣 (1)抽樣過程中每個個體被抽到的機(jī)會相等(2)抽樣過程都是不放回抽樣 總體中的個數(shù)較少 從總體中逐個抽取 系統(tǒng)抽樣 在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個數(shù)較多 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 分層抽樣 每層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 變式訓(xùn)練 1．為調(diào)查小區(qū)平均每戶居民的月用水量，下面是3名學(xué)生設(shè)計的方案： 學(xué)生甲：我把這個用水量調(diào)查表放在互聯(lián)網(wǎng)上，只要登錄網(wǎng)站的人就可以看到這張表，他們填的表可以很快地反饋到我的電腦中，這樣就可以很快估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生乙：我給我們小區(qū)居民的每一個住戶發(fā)一張用水調(diào)查表，只要一兩天就可以統(tǒng)計出小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生丙：我在小區(qū)的電話號碼本上隨機(jī)地選出一定數(shù)量的電話號碼，然后逐個給這些住戶打電話，問一下他們的月用水量，然后就可以估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量． 請你分析上述3名學(xué)生設(shè)計的調(diào)查方案能夠準(zhǔn)確地獲得小區(qū)平均每戶居民的月用水量嗎？為什么？你有何建議？ 解析：學(xué)生甲的方案得到的樣本不能夠反映不上網(wǎng)的居民的月用水量情況，其所得到的樣本代表性差，不能很準(zhǔn)確地獲得小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生乙的方案實際上是普查，花費的人力、物力、時間更多一些，但是如果統(tǒng)計過程不出錯，可以準(zhǔn)確地得到小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生丙的方案是一種隨機(jī)抽樣法，在所在小區(qū)的每戶居民都裝有電話的前提下，建議采用隨機(jī)抽樣法獲得數(shù)據(jù)，即用學(xué)生丙的方案，既節(jié)省人力、物力、時間，又可以得到比較精確的結(jié)果． 　有1個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [12.5，15.5)6，[15.5，18.5)16，[18.5，21.5)18，[21.5，24.5)22，[24.5，27.5)20，[27.5，30.5)10，[30.5，33.5]8. (1)列出樣本的頻率分布表(含累計頻率)； (2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖； (3)根據(jù)累積頻率分布估計小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比． 分析：按照畫頻率分布直方圖的要求操作． 解析：(1)樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 累計頻率 12.5～15.5 6 0.06 0.06 15.5～18.5 16 0.16 0.22 18.5～21.5 18 0.18 0.40 21.5～24.5 22 0.22 0.62 24.5～27.5 20 0.20 0.82 27.5～30.5 10 0.10 0.92 30.5～33.5 8 0.08 1.00 合計 100 1.00 (2)頻率分布直方圖如圖(1)所示，累積頻率分布圖如圖(2)所示． (3)在累積頻率分布圖中找到橫坐標(biāo)為30的點，然后量出這個點的縱坐標(biāo)約為0.90，這說明小于30的數(shù)據(jù)約占90%. 規(guī)律總結(jié)：(1)頻率分布表列出的是各個區(qū)間內(nèi)取值的頻率； (2)頻率分布直方圖是用矩形的面積的大小來表示各個區(qū)間內(nèi)取值的機(jī)會的，可直觀地看出在各個區(qū)間內(nèi)機(jī)會的差異． 用樣本估計總體一般分兩種：一種是用樣本的頻率分布估計總體的分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差等)估計總體的數(shù)字特征． 用樣本頻率分布估計總體的分布就是利用樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖對總體情況做出估計，有時也利用頻率分布折線圖和莖葉圖對總體估計．直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，這樣根據(jù)樣本的頻率分布我們可以大致估計出總體的分布，但是，當(dāng)總體的個體數(shù)較多時，所需抽樣的樣本容量也不能太小，隨著樣本容量的增加，頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條曲線為總體密度曲線，它能給我們提供更加精細(xì)的信息．在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示；數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，這給數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便． 變式訓(xùn)練 2．李老師為了分析期中數(shù)學(xué)考試情況，從全級1 500人中抽了50人，將分?jǐn)?shù)分為5組，第一組到第三組的頻數(shù)分別是10，23，11，第四組的頻率是0.08，那么落在第五組90～100分的頻數(shù)是多少？頻率是多少？全級學(xué)生分?jǐn)?shù)在90～100分的大約有多少人？ 解析：第四組的頻數(shù)為0.0850＝4，則第五組的頻數(shù)為50－10－23－11－4＝2，頻率為＝0.04，故全級分?jǐn)?shù)在90～100的約有0.041 500＝60(人)． 　甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)： 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種小麥品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定． 分析：與樣本的穩(wěn)定和波動有關(guān)的數(shù)字特征是方差．只需計算方差即可． 解析：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為 [(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]5＝0.02， 乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為 [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]5＝0.24>0.02. 所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種小麥的產(chǎn)量比較穩(wěn)定． 規(guī)律總結(jié)：用樣本數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征就是為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對總體的數(shù)字特征做出估計．眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的那個值；中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)分成相同數(shù)目的兩部分，其中一部分比這個數(shù)小，另一部分比這個數(shù)大的那個數(shù)；平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計量，其計算公式如下： s＝. 有時也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，實質(zhì)一樣．  變式訓(xùn)練 3．在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7.現(xiàn)去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為________，________． 解析：最高分是9.9，最低分是8.4，去掉后的數(shù)據(jù)為9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，它們的平均數(shù)是：x＝＝9.5， 方差為：s2＝＋ ＝0.016. 　在10年期間，一城市居民的年收入與某種商品的銷售額之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)： 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 城市居民年收入x/億元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 某商品銷售額y/萬元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 (1)畫出散點圖； (2)如果散點圖中的各點大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的回歸直線方程． 分析：兩個隨機(jī)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系有兩種方法判斷：一是從散點圖中直觀地看；二是看相關(guān)系數(shù)r＝，目前以第一種方法進(jìn)行判斷． 解析：(1)散點圖如下圖： (2)由(1)知城市居民的年收入與該商品的銷售額之間存在著顯著的線性相關(guān)關(guān)系．列表： I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 32.3 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 yi 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 xiyi 805 933 1 118.6 1 324.6 1 446.9 1 558 1 638 1 892 2 140.8 2 346 x＝37.97，y＝39.1， x＝14 663.67，xiyi＝15 202.9 通過計算得： b＝＝ ＝≈1.447， a＝y(tǒng)－bx＝39.1－1.44737.97≈－15.843， 因此所求的回歸直線方程是 y^＝1.447x－15.843. 規(guī)律總結(jié)：(1)分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘法求出回歸直線方程．把樣本數(shù)據(jù)表示的點在直角坐標(biāo)系中作出，構(gòu)成的圖叫散點圖．從散點圖上，我們可以分析出兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系．如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，直線方程叫做回歸直線方程． (2)求回歸直線方程的方法及步驟． ①“表格”法的步驟： a．先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出,; b．計算回歸系數(shù)a，b.公式為： c.寫出回歸直線方程y^=bx＋a. ②利用工作表軟件求法的步驟：調(diào)狀態(tài)→輸入數(shù)據(jù)→按鍵得結(jié)果→寫出所得方程． (3)畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求極差→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖． 變式訓(xùn)練 4．為了研究重量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同重量的6根彈簧進(jìn)行測量，得如下數(shù)據(jù)： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)畫出散點圖； (2)如果散點圖中的各點大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的線性回歸方程． 解析：(1)畫出散點圖如下： (2)從散點圖可知，兩個變量之間有線性相關(guān)關(guān)系． 此題中，n＝6，計算可得 xi＝105，xi2＝2 275，yi＝56.92， xiyi＝1 076.2，從而得x＝17.5，y＝9.487， 計算得b＝0.183，a＝6.285. 于是得到線性回歸方程y^＝6.285＋0.183x. 5．一臺機(jī)器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少，隨機(jī)器的運轉(zhuǎn)速度而變化，下表為抽樣試驗的結(jié)果： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12 8 每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 (1)畫散點圖； (2)如果y對x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸方程； (3)若實際生產(chǎn)中，允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為10個，那么機(jī)器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)(保留1位小數(shù))? 解析：(1)散點圖如下圖所示： (2)由散點圖可知，兩變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，列表，計算： i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 xi2 256 196 144 64 ＝12.5，＝8.25，=660，xiyi＝438 設(shè)所求回歸方程為＝bx＋a，則由上表可得 b＝＝＝＝，a＝－b＝8.25－12.5＝－， ∴回歸方程為＝x－. (3)由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以機(jī)器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在14.9轉(zhuǎn)/秒內(nèi)．