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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.1 直線方程的概念與直線的斜率教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析　　　　　 本小節(jié)從一個(gè)具體的一次函數(shù)與它的圖象入手，引入直線的方程、斜率、傾斜角的概念，注重了由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律，并體現(xiàn)了由特殊到一般的研究方法．引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到之所以引入直線在平面直角坐標(biāo)系中的傾斜角和斜率概念，是進(jìn)一步研究直線方程的需要． 直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好知識(shí)上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．事實(shí)上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這兩個(gè)基本概念，學(xué)生才能對(duì)直線及其位置進(jìn)行定量的研究．對(duì)直線的傾斜角和斜率，必須要求學(xué)生理解它們的準(zhǔn)確含義和作用，掌握它們的導(dǎo)出，并在運(yùn)用上形成相應(yīng)的技能和熟練的技巧． 三維目標(biāo)　　　　　 1．了解直線方程的概念，認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系． 2．理解直線的傾斜角和斜率的定義，充分利用斜率和傾斜角是從數(shù)與形兩方面刻畫直線相對(duì)于x軸傾斜程度的這一事實(shí)，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 3．掌握經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直線的斜率公式：k＝(x1≠x2)，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，并形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率的概念以及過兩點(diǎn)的直線的斜率公式． 教學(xué)難點(diǎn)：斜率公式的推導(dǎo)． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 設(shè)計(jì)1.如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P的一條直線繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不管旋轉(zhuǎn)多少周，它對(duì)x軸的相對(duì)位置有幾種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率． 設(shè)計(jì)2.我們知道，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有(確定)一條直線．那么，經(jīng)過一點(diǎn)P的直線l的位置能確定嗎？這些直線有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)一次函數(shù)的圖象是什么形狀？以y＝2x＋1為例說明． (2)方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點(diǎn)有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？ (3)直線y＝kx＋b被其上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)所唯一確定(如下圖)，如果點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)是這條直線上任意兩點(diǎn)，其中x1≠x2，怎樣由這兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出k的值呢？ (4)怎樣用角來表示直線的傾斜程度？ (5)寫出求一條直線斜率的計(jì)算步驟． 討論結(jié)果： (1)所有一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線．例如函數(shù)y＝2x＋1的圖象是通過點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(1,3)的一條直線l(如下圖)，直線l是函數(shù)y＝2x＋1的圖象，所表達(dá)的意義是：如果點(diǎn)P在l上，則它的坐標(biāo)(x，y)滿足關(guān)系y＝2x＋1，① 反之，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足①式，則點(diǎn)P一定在l上． 于是，函數(shù)式y(tǒng)＝2x＋1，可作為描述直線l的特征性質(zhì)，因此l＝{(x，y)|y＝2x＋1}． 我們?cè)賮砜磌＝0的特殊情況． 例如方程y＝2，無論x取何值，y始終等于2，雖然它已不是一次函數(shù)，但方程y＝2(常值函數(shù))的圖象是一條通過點(diǎn)(0,2)且平行于x軸的直線． (2)由于函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是二元一次方程，因此，我們也可以說，方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． 如果以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，且這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，那么這個(gè)方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線． 由于方程y＝kx＋b的圖象是一條直線，因此我們今后常說直線y＝kx＋b. (3)由于x1，y1和x2，y2是直線方程的兩組解，方程y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，兩式相減，得y2－y1＝kx2－kx1＝k(x2－x1)．因此k＝(x1≠x2)． 所以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出k的值，且它與這兩點(diǎn)在直線上的順序無關(guān)，即k＝(x1≠x2)． 如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則Δx表示變量x的改變量，Δy表示相應(yīng)的y的改變量．于是k＝(Δx≠0)． 通常，我們把直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率．垂直于x軸的直線，人們常說它的斜率不存在． 方程y＝kx＋b(k≠0)的圖象是通過點(diǎn)(0，b)且斜率為k的直線． 對(duì)一次函數(shù)所確定的直線，它的斜率等于相應(yīng)函數(shù)值的改變量與自變量改變量的比值．直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對(duì)于x軸的傾斜程度． (4)x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角．我們規(guī)定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角． 由斜率k的定義可知： k＝0時(shí)，直線平行于x軸或與x軸重合； k>0時(shí)，直線的傾斜角為銳角，此時(shí)，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大； k<0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，此時(shí)，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大； 垂直于x軸的直線的傾斜角等于90. (5)步驟： (1)給直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)賦值：x1＝？，x2＝？，y1＝？，y2＝？； (2)計(jì)算Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1； (3)如果Δx＝0，則判定“斜率k不存在”； (4)如果Δx≠0，計(jì)算k＝； (5)輸出斜率k. 思路1 例1求經(jīng)過A(－2,0)，B(－5,3)兩點(diǎn)的直線的斜率k. 解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3；Δx＝－5－(－2)＝－3，Δy＝3－0＝3；k＝＝ ＝－1. 變式訓(xùn)練 1．已知過點(diǎn)A(a,3)，B(6,5)的直線的斜率k＝，則a＝______. 答案：2 　2.經(jīng)過A(4，－7)，B(4,9)的直線斜率k等于(　　) A．0 B．16 C．－16 D．不存在 答案：D 例2畫出方程3x＋6y－8＝0的圖象． 解：由已知方程解出y，得y＝－x＋. 這是一次函數(shù)的表達(dá)式，它的圖象是一條直線，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝；當(dāng)x＝2時(shí)，x＝. 在坐標(biāo)平面內(nèi)作點(diǎn)A(0，)，B(2，)，作直線AB，即為所求方程的圖象．(如下圖) 點(diǎn)評(píng)：方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的圖象是直線，以此方程的任意兩解為坐標(biāo)的點(diǎn)的連線(直線)就是該方程的圖象． 變式訓(xùn)練 已知方程4x＋By＋4＝0的圖象過點(diǎn)(1,1)，則B＝______. 解析：把點(diǎn)的坐標(biāo)值代入方程，得4＋B＋4＝0，解得B＝－8. 答案：－8 思路2 例3 求經(jīng)過點(diǎn)A(－2,10)，B(5,3)的直線的斜率和傾斜角． 解：k＝＝－1，即tanα＝－1， 又∵0≤α<180，∴α＝135. ∴該直線的斜率是－1，傾斜角是135. 點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生會(huì)通過斜率公式求斜率，并根據(jù)斜率求直線的傾斜角． 變式訓(xùn)練 1．將直線y＝3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為… (　　) A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝x＋1 解析：將直線y＝3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到直線y＝－x，再右移1個(gè)單位，得到直線y＝－x＋. 答案：A 2．求過下列兩點(diǎn)的直線的斜率k及傾斜角α. (1)P1(－2,3)，P2(－2,8)；(2)P1(5，－2)，P2(－2，－2)． 解：(1)∵過P1，P2的直線與x軸垂直，∴直線斜率不存在，傾斜角α＝90. (2)k＝tanα＝＝0，∴直線斜率為0，傾斜角α＝0. 例4 已知三點(diǎn)A、B、C，且直線AB、AC的斜率相同，求證：這三點(diǎn)在同一條直線上． 證明：由直線的斜率相同，可知直線AB的傾斜角與AC的傾斜角相等，而這兩直線過公共點(diǎn)A， 所以直線AB與AC重合，因此A、B、C三點(diǎn)共線． 點(diǎn)評(píng)：此題反映了斜率公式的應(yīng)用，即若有公共點(diǎn)的兩直線斜率相同，則可以判斷三點(diǎn)共線． 變式訓(xùn)練 1．若三點(diǎn)A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共線，求實(shí)數(shù)m的值． 解：由題意知kAB＝＝－1，kAC＝， ∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kAC.∴＝－1.∴m＝. 2．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值＝__________. 答案： 例5 已知三角形的頂點(diǎn)A(0,5)，B(1，－2)，C(－6，m)，BC的中點(diǎn)為D，當(dāng)AD斜率為1時(shí)，求m的值及|AD|的長． 分析：應(yīng)用斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間的距離公式． 解：D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，)， ∴kAD＝＝1.∴m＝7.∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)． ∴|AD|＝＝. 變式訓(xùn)練 1．過點(diǎn)P(－1，－1)的直線l與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的斜率和傾斜角． 答案：l的斜率為－1，傾斜角為135. 2．如下圖中菱形ABCD的∠BAD＝60，求菱形各邊和兩條對(duì)角線所在直線的傾斜角與斜率． 解：由題意知直線AD和BC的傾斜角為60，直線AB和DC的傾斜角為0，直線AC的傾斜角為30，直線BD的傾斜角為120；直線AD和BC的斜率為k＝tan60＝，直線AB和DC的斜率為k＝tan0＝0，直線AC的斜率為k＝tan30＝，直線BD的斜率為k＝tan120＝－. 1．關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法正確的是(　　) A．任一條直線都有傾斜角，也都有斜率 B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大 C．平行于x軸的直線的傾斜角是0或180 D．直線斜率的范圍是(－∞，＋∞) 答案：D 2．已知直線的斜斜角，求直線的斜率． (1)α＝0；(2)α＝60；(3)α＝90；(4)α＝135. 分析：指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義直接求解． 解：(1)∵tan0＝0，∴傾斜角為0的直線斜率為0. (2)∵tan60＝，∴傾斜角為60的直線斜率為. (3)∵tan90不存在，∴傾斜角為90的直線斜率不存在． (4)∵tan135＝－1，∴傾斜角為135的直線斜率為－1. 3．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共線，則a＝______. 解析：由題意得kAB＝kAC，則＝，解得a＝4. 答案：4 4．已知a>0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝______. 解析：A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kBC， 即＝，a2＋a＝a3－a2，a2－2a－1＝0. ∵a>0，∴a＝1＋. 答案：1＋ 如下圖，直線l1的傾斜角α1＝30，直線l1⊥l2，求l1、l2的斜率． 解：l1的斜率k1＝tanα1＝tan30＝， ∵l2的傾斜角α2＝90＋30＝120， ∴l(xiāng)2的斜率k2＝tan120＝－. 點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生掌握已知直線的傾斜角求斜率． 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1．直線方程的概念； 2．直線的斜率、傾斜角和斜率公式； 3．利用斜率判定三點(diǎn)共線． 本節(jié)練習(xí)A　1,2題． 在對(duì)傾斜角及斜率這兩個(gè)概念進(jìn)行辨析時(shí)，以傾斜角與斜率的相互變化作為突破口．同時(shí)本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察來獲得新知，在實(shí)際教學(xué)中教師要及時(shí)引導(dǎo)，加強(qiáng)師生交流，學(xué)生通過自主觀察、分析還是能得到正確結(jié)論的，要留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，透徹理解直線的傾斜角和斜率的概念，能根據(jù)條件正確地求出直線的傾斜角和斜率是知識(shí)教學(xué)的目的；在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象、歸納的思維能力，強(qiáng)化“形”“數(shù)”結(jié)合相互轉(zhuǎn)化的思想方法，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)．新課程解析幾何教材在學(xué)生沒有三角函數(shù)、向量基礎(chǔ)的情況下展開，使得教學(xué)設(shè)計(jì)有了無米之炊的感覺．從知識(shí)接受上講似乎并無大礙，但是從知識(shí)的聯(lián)系性、思維的豐富性上來說，講多了給人一種感覺——記住結(jié)論會(huì)用就行！這或許就是新課程的理念吧．但本課還是力求在學(xué)生思維發(fā)展層面上保持較高要求． 已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，討論直線斜率及其絕對(duì)值的變化情況． 解：①0≤α<90.作出y＝tanα在[0，90)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象，由圖象觀察可知：當(dāng)α∈[0，90)時(shí)，y＝tanα＞0，并且隨著α的增大，y不斷增大，|y|也不斷增大． 所以，當(dāng)α∈[0，90)時(shí)，隨著傾斜角α的不斷增大，直線斜率不斷增大，直線斜率的絕對(duì)值也不斷增大． ②90<α<180.作出y＝tanα在(90，180)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象，由圖象觀察可知：當(dāng)α∈(90，180)時(shí)，y＝tanα＜0，并且隨著α的增大，y＝tanα不斷增大，|y|不斷減小． 所以當(dāng)α∈(90，180)時(shí)，隨著傾斜角α的不斷增大，直線的斜率不斷增大，但直線斜率的絕對(duì)值不斷減?。? 點(diǎn)評(píng)：針對(duì)以上結(jié)論，雖然有當(dāng)α∈[0，90)時(shí)，隨著α增大直線斜率不斷增大；當(dāng)α∈(90，180)時(shí)，隨著α增大直線斜率不斷增大．但是當(dāng)α∈[0，90)∪(90，180)時(shí)，隨著α的增大直線斜率不斷增大卻是一錯(cuò)誤結(jié)論．