《2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.2.1 直線的點斜式方程和兩點式方程教案 新人教B版必修2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.2.1 直線的點斜式方程和兩點式方程教案 新人教B版必修2.doc（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.2.1 直線的點斜式方程和兩點式方程教案 新人教B版必修2 教學分析　　　　　 教材利用斜率公式推導出了直線的點斜式方程，利用直線的點斜式方程推導出了直線的斜截式方程，讓學生討論得出直線的兩點式方程，在練習B中給出了直線的截距式方程． 值得注意的是本節(jié)所討論直線方程的四種形式中，點斜式方程是基礎是一個“母方程”，其他方程都可以看成是點斜式方程的“子方程”．因此在教學中要突出點斜式方程的教學，其他三種方程形式可以讓學生自己完成推導． 三維目標　　　　　 1．掌握直線的點斜式方程和斜截式方程；了解直線的斜截式方程是點斜式方程的特例，培養(yǎng)普遍聯(lián)系的辯證思維能力． 2．理解直線的兩點式方程和截距式方程，并能探討直線方程不同形式的適用范圍，提高學生思維的嚴密性． 3．會求直線方程，提高學生分析問題和解決問題的能力． 重點難點　　　　　 教學重點：直線方程的四種形式及應用． 教學難點：求直線方程． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 設計1.我們知道兩點確定一條直線，除此之外，在平面直角坐標系中，一個定點和斜率也能確定一條直線，那么怎樣求由一點和斜率確定的直線方程呢？教師引出課題． 設計2.上一節(jié)我們已經(jīng)學習了直線方程的概念，其中直線y＝kx＋b就是我們本節(jié)所要進一步學習的內容，教師引出課題． 推進新課　　　　　 (1)如左下圖所示，已知直線l過P0(x0，y0)，且斜率為k，求直線l的方程． 　　　　 (2)已知直線l過點P(0，b)，且斜率為k(如右上圖)，求直線l的方程． (3)已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，求直線AB的方程． (4)已知直線l在x軸上的截距是a，在y軸上的截距是b，且a≠0，b≠0.求證直線l的方程可寫為＋＝1.(這種形式的直線方程，叫做直線的截距式方程) 討論結果： (1)設點P(x，y)為直線l上不同于P0(x0，y0)的任意一點，則直線l的斜率k可由P和P0兩點的坐標表示為k＝.即y－y0＝k(x－x0)．① 方程①就是點P(x，y)在直線l上的條件．在l上的點的坐標都滿足這個方程，坐標滿足方程①的點也一定在直線l上． 方程①是由直線上一點P0(x0，y0)和斜率k所確定的直線方程，我們把這個方程叫做直線的點斜式方程． 特別地，當k＝0時，直線方程變?yōu)閥＝y(tǒng)0.這時，直線平行于x軸或與x軸重合． (2)直線l的點斜式方程為y－b＝k(x－0)．整理，得y＝kx＋b. 這個方程叫做直線的斜截式方程．其中k為斜率，b叫做直線y＝kx＋b在y軸上的截距，簡稱為直線的截距． 這種形式的方程，當k不等于0時，就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式． (3)設P(x，y)是直線AB上任一點，則kAB＝，所以直線AB的點斜式方程為y－y1＝(x－x1)，整理得＝(x1≠x2，y1≠y2)，這種形式的方程叫做直線的兩點式方程． (4)直線l過點(a,0)，(0，b)，則直線l的兩點式方程為＝，整理得＋＝1.這種形式的直線方程，叫做直線的截距式方程． 思路1 例1求下列直線的方程： (1)直線l1：過點(2,1)，k＝－1； (2)直線l2：過點(－2,1)和點(3，－3)． 解：(1)直線l1過點(2,1)，斜率k＝－1. 由直線的點斜式方程，得y－1＝－1(x－2)，整理，得l1的方程為x＋y－3＝0. (2)我們先求出直線的斜率，再由點斜式寫出直線方程． 直線l2的斜率k＝＝－，又因為過點(－2,1)，由直線的點斜式方程，得y－1＝－[x－(－2)]，整理，得l2的方程4x＋5y＋3＝0. 另解：直線l2的兩點式方程為＝，整理，得4x＋5y＋3＝0. 點評：為了統(tǒng)一答案的形式，如沒有特別要求，直線方程都化為ax＋by＋c＝0的形式． 變式訓練 分別求出通過點P(3,4)且滿足下列條件的直線方程，并畫出圖形： (1)斜率k＝2；(2)與x軸平行；(3)與x軸垂直． 解：(1)這條直線經(jīng)過點P(3,4)，斜率k＝2，點斜式方程為y－4＝2(x－3)， 可化為2x－y－2＝0.如圖(1)所示． (2)由于直線經(jīng)過點P(3,4)且與x軸平行，即斜率k＝0，所以直線方程為y＝4. 如圖(2)所示． (3)由于直線經(jīng)過點P(3,4)且與x軸垂直，所以直線方程為x＝3. 如圖(3)所示． 圖(1) 　　 圖(2) 　　 圖(3) 例2已知三角形三個頂點分別是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0,1)，求這個三角形三邊各自所在直線的方程． 解：如下圖，因為直線AB過A(－3,0)，B(2，－2)兩點，由兩點式，得＝，整理，得2x＋5y＋6＝0， 這就是直線AB的方程； 直線AC過A(－3,0)，C(0,1)兩點，由兩點式，得＝，整理，得x－3y＋3＝0， 這就是直線AC的方程； 直線BC的斜率是k＝＝－，過點C(0,1)， 由點斜式，得y－1＝－(x－0)， 整理得3x＋2y－2＝0， 這就是直線BC的方程． 例3求過點(0,1)，斜率為－的直線的方程． 解：直線過點(0,1)，表明直線在y軸上的截距為1，又直線斜率為－，由直線的斜截式方程，得y＝－x＋1. 即x＋2y－2＝0. 變式訓練 1．直線l：y＝4x－2在y軸上的截距是______，斜率k＝______. 答案：－2　4 2．已知直線l：y＝kx＋b經(jīng)過第二、三、四象限，試判斷k和b的符號． 解：如下圖所示 因為直線l與x軸的正方向的夾角是鈍角，與y軸交點位于y軸的負半軸上，所以k<0，b<0. 思路2 例4過兩點(－1,1)和(3,9)的直線l在x軸上的截距是______，在y軸上的截距是______． 解析：直線l的兩點式方程是＝，當x＝0時，y＝3；當y＝0時，x＝－.即直線l在x軸上的截距等于－，在y軸上的截距等于3. 答案：－　3 點評：已知直線的截距式方程，可以直接觀察得出在兩坐標軸上的截距；已知直線的非截距式方程時，令x＝0，解得y的值即是在y軸上的截距，令y＝0，解得x的值即是在x軸上的截距． 變式訓練 已知直線過點P(－2,3)，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程． 解：因為直線與x軸不垂直，所以可設直線的方程為y－3＝k(x＋2)． 令x＝0，得y＝2k＋3； 令y＝0，得x＝－－2. ∴由題意，得|(2k＋3)(－－2)|＝4. 若(2k＋3)(－－2)＝－8，無解； 若(2k＋3)(－－2)＝8， 解得k＝－，k＝－. ∴所求直線的方程為y－3＝－(x＋2)和y－3＝－(x＋2)，即x＋2y－4＝0和 9x＋2y＋12＝0. 例5 設△ABC的頂點A(1,3)，邊AB、AC上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0，y＝1，求△ABC中AB、AC各邊所在直線的方程． 分析：為了搞清△ABC中各有關元素的位置狀況，我們首先根據(jù)已知條件，畫出圖形，幫助思考問題． 解：如下圖，設AC的中點為F，則AC邊上的中線BF為y＝1. AB邊的中點為E，則AB邊上中線CE為x－2y＋1＝0. 設C點坐標為(m，n)．在A、C、F三點中A點已知，C點未知，F(xiàn)雖然為未知但其在中線BF上，滿足y＝1這一條件． 這樣用中點公式解出n＝－1. 又C點在中線CE上，應當滿足CE的方程，則m－2n＋1＝0. ∴m＝－3. ∴C點為(－3，－1)． 用同樣的思路去求B點．設B點為(a，b)，顯然b＝1. 又B點、A點、E點中，E為中點，B點為(a,1)， E點坐標為(，)，即(，2)．E點在CE上，應當滿足CE的方程－4＋1＝0，解出a＝5.∴B點為(5,1)． 由兩點式，即可得到AB，AC所在直線的方程．lAC：x－y＋2＝0.lAB：x＋2y－7＝0. 點評：此題思路較為復雜，應從中領悟到兩點： (1)中點公式要靈活應用； (2)如果一個點在直線上，則這點的坐標滿足這條直線的方程，這一觀念必須牢牢地樹立起來． 變式訓練 已知點M(1,0)，N(－1,0)，點P為直線2x－y－1＝0上的動點，則|PM|2＋|PN|2的最小值為多少？ 解：∵P點在直線2x－y－1＝0上， ∴設P(x0,2x0－1)． ∴|PM|2＋|PN|2＝(2x0－1)2＋(x0－1)2＋(2x0－1)2＋(x0＋1)2＝2(2x0－1)2＋2x＋2＝10x－8x0＋4＝10(x0－)2＋≥. ∴最小值為. 例6 經(jīng)過點A(1,2)并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求出這些直線的方程． 解：當截距為0時，設y＝kx，過點A(1,2)，則得k＝2，即y＝2x. 當截距不為0時，設＋＝1或＋＝1，過點A(1,2)， 則得a＝3，或a＝－1，即x＋y－3＝0或x－y＋1＝0. 綜上，所求的直線共有3條：y＝2x，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0. 點評：本題易漏掉直線y＝2x，其原因是忽視了直線方程的截距式滿足的條件之一：在兩坐標軸上的截距均不為零． 變式訓練 　過點P(4，－3)的直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程． 解：直線l在兩坐標軸上的截距相等都為0時，直線過(0,0)、(4，－3)，由兩點式得直線方程為y＝－x；當直線l在兩坐標軸上的截距相等且不為0時，可以設截距為a，直線方程為＋＝1，過點(4，－3)，解得直線的方程為x＋y＝1. 1．經(jīng)過點(－，2)，傾斜角是30的直線的方程是(　　) A．y＋＝(x－2) B．y＋2＝(x－) C．y－2＝(x＋) D．y－2＝(x＋) 答案：C 2．已知直線方程y－3＝(x－4)，則這條直線經(jīng)過的已知點，傾斜角分別是(　　) A．(4,3)，60 B．(－3，－4)，30 C．(4,3)，30 D．(－4，－3)，60 答案：A 3．直線方程可表示成點斜式方程的條件是(　　) A．直線的斜率存在 B．直線的斜率不存在 C．直線不過原點 D．不同于上述答案 答案：A 4．直線y＝－(x－2)繞點(2,0)按順時針方向旋轉30所得的直線方程是______． 解析：直線y＝－(x－2)的傾斜角為120，繞點(2,0)按順時針方向旋轉30后，傾斜角為120－30＝90，則所得直線方程是x＝2，即x－2＝0. 答案：x－2＝0 5．已知△ABC的頂點坐標為A(－1,5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M是BC邊上的中點． (1)求AB邊所在的直線方程； (2)求中線AM的長； 解：(1)由兩點式寫方程，得＝，即6x－y＋11＝0. (2)設M的坐標為(x0，y0)，則由中點坐標公式，得x0＝＝1，y0＝＝1， 故M(1,1)，AM＝＝2. 6．已知如下圖，正方形邊長是4，它的中心在原點，對角線在坐標軸上，求正方形各邊及對稱軸所在直線的方程． 分析：由于正方形的頂點在坐標軸上，所以可用截距式求正方形各邊所在直線的方程．而正方形的對稱軸PQ、MN、x軸、y軸則不能用截距式，其中PQ、MN應選用斜截式，x軸，y軸的方程可以直接寫出． 解：因為|AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝＝2. 因此A、B、C、D的坐標分別為(2，0)、(0,2)、(－2，0)、(0，－2)． 所以AB所在直線的方程是＋＝1，即x＋y－2＝0. BC所在直線的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0. CD所在直線的方程是＋＝1，即x＋y＋2＝0. DA所在直線的方程是＋＝1，即x－y－2＝0. 對稱軸方程分別為xy＝0，x＝0，y＝0. 如左下圖，要在土地ABCDE上劃出一塊長方形地面(不改變方向)，問如何設計才能使占地面積最大？并求出最大面積(單位：m)． 　 解：如右上圖，建立直角坐標系，在線段AB上任取一點P分別向CD、DE作垂線，劃得一矩形土地． ∵AB方程為＋＝1，∴P(x,20－)(0≤x≤30)，則S矩形＝(100－x)[80－(20－)]＝－(x－5)2＋6 000＋(0≤x≤30)， ∴當x＝5，y＝，即P(5，)時，(S矩形)max＝(m2)． 本節(jié)課學習了： 1．直線方程的四種形式； 2．會求直線方程； 3．注意直線方程的使用條件，尤其關注直線的斜率是否存在從而分類討論． 本節(jié)練習B　2,3題． 本節(jié)教學設計，以課程標準為指南，對直線方程的四種形式放在一起集中學習，這樣有利于對比方程的適用范圍，比教材中分散學習效果要好，特別是應用示例思路2的總體難度較大，適用于基礎扎實、學習有余力的同學． 解析幾何的應用 解析幾何又分為平面解析幾何和空間解析幾何．在平面解析幾何中，除了研究直線的有關性質外，主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關性質．在空間解析幾何中，除了研究平面、直線的有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面、橢圓、雙曲線、拋物線的有關性質，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應用．比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的．總的來說，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質．運用坐標法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運用代數(shù)工具對方程進行研究；最后把代數(shù)方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案． 備選習題 1．求與兩坐標軸正向圍成面積為2的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程． 解：設直線方程為＋＝1，則由題意知ab＝2，∴ab＝4.又|a－b|＝3， 解得a＝4，b＝1或a＝1，b＝4.則直線方程是＋＝1或＋＝1，即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0. 2．已知直線l1：y＝4x和點P(6,4)，過點P引一直線l與l1交于點Q，與x軸正半軸交于點R，當△OQR的面積最小時，求直線l的方程． 分析：因為直線l過定點P(6,4)，所以只要求出點Q的坐標，就能由直線方程的兩點式寫出直線l的方程． 解：因為過點P(6,4)的直線方程為x＝6和y－4＝k(x－6)， 當l的方程為x＝6時，△OQR的面積為S＝72； 當l的方程為y－4＝k(x－6)時，點R的坐標為R(，0)，點Q的坐標為Q(，)， 此時△OQR的面積S＝＝. ∵S≥0，∴r(r－4)>0， ∴r>4或r<0. 變形為(S－72)k2＋(96－4S)k－32＝0(S≠72)． 因為上述方程根的判別式Δ≥0， 所以(96－4S)2＋432(S－72)≥0， 解得16S(S－40)≥0，即S≥40. 此時k＝－1，所以，當且僅當k＝－1時，S有最小值40. 此時，直線l的方程為y－4＝－(x－6)，即x＋y－10＝0. 點評：此題是一道有關函數(shù)最值的綜合題．如何恰當選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關鍵．怎樣求這個面積函數(shù)的最值，學生可能有困難，教師宜根據(jù)學生的實際情況進行啟發(fā)和指導． 3．已知直線y＝kx＋k＋2與以A(0，－3)、B(3,0)為端點的線段相交，求實數(shù)k的取值范圍． 分析：本題要首先畫出圖形如下圖，幫助我們找尋思路，仔細研究直線y＝kx＋k＋2，我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥－2＝k(x＋1)，這就可以看出，這是過(－1,2)點的一組直線．設這個定點為P(－1,2)． 解：我們設PA的傾斜角為α1，PC的傾斜角為α，PB的傾斜角為α2，且α1≤α≤α2. 則k1＝tanα1≤k≤k2＝tanα2. 又k1＝＝－5，k2＝＝－， 則實數(shù)k的取值范圍是－5≤k≤－.