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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)一輪復(fù)習(xí) 第29課時(shí) 直角三角形的應(yīng)用 【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】 一、解直角三角形 1、在直角三角形中，由已知元素求_____________的過程叫解直角三角形。直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角，已知元素中，至少有一個(gè)是__________的條件，才叫解直角三角形。 2、解直角三角形的基本類型 ①已知斜邊和一個(gè)銳角 ②已知一直角邊和一個(gè)銳角 ③已知斜邊和一直角邊 ④已知兩直角邊 二、解直角三角形的應(yīng)用 1.仰角與俯角：在進(jìn)行測量時(shí) ①仰角：（如圖）從下往上看，視線與________的夾角。 ②俯角：（如圖）從上往下看，視線與________的夾角。 2、坡腳與坡度 ①斜坡與水平面的夾角叫做__________ ②坡度（坡比）==坡角的 . 3、方位角：一正南正北為基準(zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)方向的角叫做___________,如北偏東30，特別的東北方向?yàn)開____________西南方向?yàn)開__________________。 4、.應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系來解決實(shí)際問題時(shí)，要注意： （1）在解直角三角形時(shí)，是用三角函數(shù)知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長度或角的大小，這是數(shù)形結(jié)合的一種形式，所以在分析問題時(shí)，一般先根據(jù)已知條件作出它的平面或截面示意圖，按照?qǐng)D中________之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，這樣可以幫助我們思考，防止出錯(cuò). （2）有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線把它們分割成一些________三角形和矩形，從而轉(zhuǎn)化為_________三角形的問題來解決. （3）在優(yōu)選公式時(shí)，盡量利用已知數(shù)據(jù)，避免“一錯(cuò)再錯(cuò)”和“累積誤差”，并要按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確到進(jìn)行近似計(jì)算. （4）應(yīng)用的基本思路：能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型或通過添加輔助線構(gòu)建直角三角形；利用三角函數(shù)、勾股定理、方程等知識(shí)解決問題. 【基礎(chǔ)診斷】 1、（xx?德州）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為（　　） 　 A． 4米 B． 6米 C． 12米 D． 24米 2、（xx?蘇州）如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測站O處測得該船位于北偏東60的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（　　） 　 A． 4km B． 2km C． 2km D． （+1）km 3、（xx?隨州）如圖，要測量B點(diǎn)到河岸AD的距離，在A點(diǎn)測得∠BAD=30，在C點(diǎn)測得∠BCD=60，又測得AC=100米，則B點(diǎn)到河岸AD的距離為（　?。? 　 A． 100米 B． 50米 C． 米 D． 50米 4、（xx?襄陽）如圖，在建筑平臺(tái)CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45，測得大樹AB的底部B的俯角為30，已知平臺(tái)CD的高度為5m，則大樹的高度為多少？（結(jié)果保留根號(hào)） 【精典例題】 例1 （xx年山東煙臺(tái)）小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30，AC長米，釣竿AO的傾斜角是60，其長為3米，若AO與釣魚線OB的夾角為60，求浮漂B與河堤下端C之間的距離． 分析： 延長OA交BC于點(diǎn)D．先由傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD=180﹣∠ODB﹣∠ACD=90，解Rt△ACD，得出AD=AC?tan∠ACD=米，CD=2AD=3米， 再證明△BOD是等邊三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根據(jù)BC=BD﹣CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離． 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，作出輔助線得到Rt△ACD是解題的關(guān)鍵． 例2：（xx年四川南充）馬航MH370失聯(lián)后，我國政府積極參與搜救．某日，我兩艘專業(yè)救助船A、B同時(shí)收到有關(guān)可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.50方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處．（參考數(shù)據(jù)：sin36.5≈0.6，cos36.5≈0.8，tan36.5≈0.75）． （1）求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離； （2）若救助船A、救助船B分別以40海里/時(shí)，30海里/時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)P處． 分析： （1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△APE中解出PE即可； （2）在Rt△BPF中，求出BP，分別計(jì)算出兩艘船需要的時(shí)間，即可作出判斷． 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解仰角的定義，能利用三角函數(shù)值計(jì)算有關(guān)線段，難度一般． 例3 （xx昆明）如圖，在數(shù)學(xué)實(shí)踐課中，小明為了測量學(xué)校旗桿CD的高度，在地面A處放置高度為1.5米的測角儀AB，測得旗桿頂端D的仰角為32，AC為22米，求旗桿CD的高度.（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：sin32= 0.53，cos32= 0.85，tan32= 0.62） 考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題。 分析： 根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為直角三角形中的有關(guān)量，然后選擇合適的邊角關(guān)系求得長度即可． 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用仰俯角的定義將題目中的相關(guān)量轉(zhuǎn)化為直角三角形BDE中的有關(guān)元素． 【自測訓(xùn)練】 A—基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選擇題（每小題有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.） 1. （xx?湖南衡陽）如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，則壩底AD的長度為（　　） 　 A．26米 B．28米 C．30米 D．46米 2、（xx?四川綿陽,第8題3分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（　　） 　 A． 40海里 B． 40海里 C． 80海里 D． 40海里 3、身高相等的四名同學(xué)甲、乙、丙、丁參加風(fēng)箏比賽，四人放出風(fēng)箏的線長、線與地面的夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則四名同學(xué)所放的風(fēng)箏中最高的是(　 　) 同學(xué) 甲 乙 丙 丁 放出風(fēng)箏線長 140 m 100 m 95 m 90 m 線與地面夾角 30 45 45 60 A.甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空題 4、（xx?十堰）如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70方向上，輪船從A處以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西50方向勻速航行，1小時(shí)后到達(dá)碼頭B處，此時(shí)，觀測燈塔C位于北偏西25方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是　 　海里．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.4） 5、（xx年浙江嘉興）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測得樹頂B的仰角為α度，AC=7米，則樹高BC為　 　 米（用含α的代數(shù)式表示）． 6、（xx?濰坊）如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔50米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處，在G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處，在H處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是　 　米． 三、解答題 7、（xx?呼和浩特）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可） 8、（xx?蘭州）如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30，已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長（結(jié)果保留根號(hào)）． B 提升訓(xùn)練 一、選擇題（每小題有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.） 1、如圖1，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)為4 m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4 m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為(　 　) A．5 m　　 B．6 m　 　C．7 m　 　D．8 m 2、如圖2，某時(shí)刻海上點(diǎn)P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，且相距20海里.客輪以60海里/小時(shí)的速度沿北偏西60方向航行小時(shí)到達(dá)B處，那么tan∠ABP=( ) A. B.2 C. D. 3、為了測量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)實(shí)際情況，作出如下 圖形3，其中，，AF交BE于D，C在BD上．有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有（ ） A、1組 B、2組 C、3組 D、4組 A B C D E F 圖1 圖2 圖3 二、填空題 A B C 30 18 圖4 圖5 圖6 4、如圖4，某公園入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起點(diǎn)為A，斜坡的起始點(diǎn)為C，現(xiàn)設(shè)計(jì)斜坡BC的坡度，則AC的長度是 cm． 5、如圖5，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36，∠ABC的平分線BD交AC于 點(diǎn)D，則AD的長是 ，cosA的值是 .（結(jié)果保留根號(hào)） 6、小明想測一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖6，此時(shí)測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米，已知斜坡的坡角為，同一時(shí)刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為______________。 三、解答題 7、（xx?內(nèi)江）“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船和飛機(jī)到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機(jī)觀測得在點(diǎn)A俯角為30方向的F點(diǎn)處有疑似飛機(jī)殘骸的物體（該物體視為靜止）．為了便于觀察，飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測得點(diǎn)F在點(diǎn)B俯角為45的方向上，請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛臨F點(diǎn)的正上方點(diǎn)C時(shí)（點(diǎn)A、B、C在同一直線上），豎直高度CF約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：≈1.7） 8、（xx?鹽城）鹽城電視塔是我市標(biāo)志性建筑之一．如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，老師要求測電視塔的高度AB．小明在D處用高1.5m的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30，然后向電視塔前進(jìn)224m到達(dá)E處，又測得電視塔頂端A的仰角為60．求電視塔的高度AB．（取1.73，結(jié)果精確到0.1m） 9．（xx?棗莊）如圖，一扇窗戶垂直打開，即OM⊥OP，AC是長度不變的滑動(dòng)支架，其中一端固定在窗戶的點(diǎn)A處，另一端在OP上滑動(dòng)，將窗戶OM按圖示方向想內(nèi)旋轉(zhuǎn)35到達(dá)ON位置，此時(shí)，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)位置分別是點(diǎn)B、D．測量出∠ODB為25，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離為30cm． （1）求B點(diǎn)到OP的距離； （2）求滑動(dòng)支架的長． （結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：sin25≈0.42，cos25≈0.91，tan25≈0.47，sin55≈0.82，cos55≈0.57，tan55≈1.43） 課后反饋 1、（本小題滿分9分）某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個(gè)醫(yī)療站，如圖，在A地北偏東45、B地北偏西60方向上有一牧民區(qū)C．一天，甲醫(yī)療隊(duì)接到牧民區(qū)的求救電話，立刻設(shè)計(jì)了兩種救助方案，方案I：從A地開車沿公路到離牧民區(qū)C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區(qū)C．方案II：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區(qū)C． 已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍． （1）求牧民區(qū)到公路的最短距離CD． A D Ｂ 北 C 東 45 60 （2）你認(rèn)為甲醫(yī)療隊(duì)設(shè)計(jì)的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由． （結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：取1.73，取1.41） 2、九年級(jí)三班小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“測量物體高度”一節(jié)課后，他 為了測得右圖所放風(fēng)箏的高度，進(jìn)行了如下操作： （1）在放風(fēng)箏的點(diǎn)A處安置測傾器，測得風(fēng)箏C的仰角∠CBD=60； （2）根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長度為70米； （3）量出測傾器的高度AB=1.5米．根據(jù)測量數(shù)據(jù)， 計(jì)算出風(fēng)箏的高度CE約為 米．(精確到0.1米，1.73)