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2019-2020年中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第二章 實(shí)數(shù) 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1．實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 ★★ 2．實(shí)數(shù)的運(yùn)算 ★★ 3．實(shí)數(shù)與數(shù)軸 ★ 3～5分 4．無理數(shù)的估算 ★ 5．無理數(shù)的識(shí)別 ★★★ 注意：與的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別：①是先開方再求平方；是先求平方再開方，兩者運(yùn)算順序不同．②中 的取值范圍是，中 取正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都可以． (2)聯(lián)系：當(dāng)時(shí)，． 2．平方根的定義及性質(zhì) (1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)叫作的平方根或二次方根．這就是說，如果，那么叫作的平方根． (2)表示方法：正數(shù)的平方根表示為，讀作“正、負(fù)根號(hào)”． (3)性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根． 3．開平方運(yùn)算 求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開平方．平方與開平方互為逆運(yùn)算．根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個(gè)數(shù)的平方根．如的平方為，所以，16的平方根為，即． 4．平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別及聯(lián)系 (1)區(qū)別： ①定義不同：“一個(gè)正數(shù)”與“一個(gè)數(shù)”含義不同． ②個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，而一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)． ③表示方法不同：正數(shù)的平方根表示為，正數(shù)的算術(shù)平方根表示為． (2)聯(lián)系： ①具有包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種． ②存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有． ③0的平方根、算術(shù)平方根均為0． ④可以利用平方和開平方的互逆關(guān)系求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根． 5．平方根(或算術(shù)平方根)的幾個(gè)結(jié)論 (1)式子有意義的條件為； (2)表示的算術(shù)平方根，是非負(fù)數(shù)，即． (二)立方根的定義及性質(zhì) (1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫作的立方根或三次方根．這就是說，如果，那么叫作的立方根． (2)表示方法：的立方根(或三次方根)表示為，其中 為被開方數(shù)，“”中的3為根指數(shù)(根指數(shù)3不能省略)；讀作“三次根號(hào)”或“ 的立方根”． (3)性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0． (4)有關(guān)立方根的補(bǔ)充說明和公式： ①在中，被開方數(shù)可為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，且的正負(fù)與一致；②；③． (5)開立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫作開立方． 開立方與立方是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，負(fù)數(shù)(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi))不能開平方，但可以進(jìn)行開立方運(yùn)算．如的立方為，即，反過來，的立方根為，即；3的立方為27，即，反過來，27的立方根為3，即． (6)平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系： 名稱 內(nèi)容 平方根 立方根 表示方法 區(qū)別個(gè)數(shù) 正數(shù)有兩個(gè)平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根 任意數(shù)都只有一個(gè)立方根 被開方數(shù) 非負(fù)數(shù) 任意數(shù) 聯(lián)系 ①都是開方運(yùn)算的結(jié)果；②0的平方根、立方根都是0 (三)用計(jì)算器求平方根或立方根 (1)利用計(jì)算器求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，只需要直接按書寫順序按鍵即可；求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根時(shí)，則先求出它的算術(shù)平方根，再在前面添加符號(hào)．(不同計(jì)算器有不同的按鍵順序) 注意：(1)用計(jì)算器求一個(gè)非負(fù)數(shù)的負(fù)的平方根時(shí)，一般先求出算術(shù)平方根，然后再求其相反數(shù)，即負(fù)的平方根． (2)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)應(yīng)化為小數(shù)；被開方數(shù)后面的0或小數(shù)點(diǎn)后的0比較多時(shí)，可先寫成科學(xué)記數(shù)法的形式，再根據(jù)將被開方數(shù)化簡(jiǎn)． (2)利用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根時(shí)，只需要直接按書寫頃序按鍵即可，若遇到被開方數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，“－”的輸入可按，也可以按． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)平方根與立方根的求法 我們知道，平方與開平方、立方與開立方都互為逆運(yùn)算，根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個(gè)數(shù)的平方根和立方根． (二)平方根與立方根性質(zhì)的應(yīng)用 平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根，即只有非負(fù)數(shù)才有平方根． 立方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根，一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根是0． (三)算術(shù)平方根與立方根的綜合應(yīng)用 (四)用計(jì)算器求算術(shù)平方根、立方根 (五)根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方根求這個(gè)數(shù) 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．混淆與． 表示的算術(shù)平方根，可以取任意實(shí)數(shù)；表示的算術(shù)平方根的平方，只能取非負(fù)數(shù)． 2．混淆平方根與立方根的性質(zhì)． 性質(zhì) 名稱 正數(shù) 負(fù)數(shù) 0 平方根 有兩個(gè)平方根 沒有平方根 0 立方根 一個(gè)正的立方根 一個(gè)負(fù)的立方根 0 注意：開平方時(shí)，被開方數(shù)要大于或等于0；開立方時(shí)，被開方數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)． 3．誤認(rèn)為負(fù)數(shù)沒有立方根． 任何數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0． 易混易錯(cuò) (一)審題不認(rèn)真，忽視語言敘述中含有的運(yùn)算 (二)混淆平方根與算術(shù)平方根 (三)在求形如“”的等式中的值時(shí)易漏掉為負(fù)值的情況 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，注重考查對(duì)概念、性質(zhì)和意義的理解，如平方根、算術(shù)平方根的概念以及它們的性質(zhì)和意義，另外對(duì)算術(shù)平方根非負(fù)性的考查也是重中之重，題型以填空題、選擇題為主，有時(shí)也與其他知識(shí)點(diǎn)綜合以解答題的形式出現(xiàn)． 中考試題 (一)平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念、性質(zhì) (二)算術(shù)平方根的非負(fù)性 第4講 實(shí)數(shù) 知識(shí)能力解讀 知能解讀 (一)無理數(shù)、實(shí)數(shù)的定義及分類 1．無理數(shù)的定義 無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)． 點(diǎn)撥：判斷一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù)，應(yīng)看這個(gè)數(shù)是否滿足“小數(shù)”“無限”和“不循環(huán)”這三個(gè)條件． 2．實(shí)數(shù)的定義及分類 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)分類如下： (1)按定義分類 實(shí)數(shù) (2)按性質(zhì)分類 正實(shí)數(shù) 正有理數(shù) 實(shí)數(shù) 正無理數(shù) 零 負(fù)實(shí)數(shù) 負(fù)有理數(shù) 負(fù)無理數(shù) (二)實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣． (1)實(shí)數(shù)的相反數(shù)為；0的相反數(shù)是其本身；若與互為相反數(shù)，則，反之亦然． (2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值表示為；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，即． (3)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)． 點(diǎn)撥：已知實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則用，分別表示點(diǎn)、點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離．這是絕對(duì)值的幾何意義． 與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對(duì)于數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大． (三)實(shí)數(shù)的運(yùn)算 實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用． 交換律：，； 結(jié)合律：，； 分配律：． (四)實(shí)數(shù)的大小比較 (1)數(shù)軸比較法： (2)代數(shù)比較法； (3)差值比較法； (4)商值比較法； (5)倒數(shù)比較法：若，，，則； (6)平方比較法：若，，，則； (7)開方比較法：若，，，則； (8)估算法：在實(shí)數(shù)的大小比較中，當(dāng)遇到無理數(shù)時(shí)，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替，再進(jìn)行比較． 方法技巧歸納 方法技巧 (一)無理數(shù)的識(shí)別 識(shí)別無理數(shù)，常常與有理數(shù)綜合在一起進(jìn)行辨析，主要把握“無限”和“不循環(huán)”兩個(gè)特點(diǎn)． 初中所學(xué)的無理數(shù)歸納起來有三類： (1)開方開不盡的數(shù)的方根，如；(2)化簡(jiǎn)后含有的數(shù)，如；(3)特殊結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)(構(gòu)造型的無理數(shù))，如(相鄰兩個(gè)2之間依次多一個(gè)0)． (二)實(shí)數(shù)大小比較的方法 實(shí)數(shù)的大小比較包括有理數(shù)的大小比較和無理數(shù)的大小比較，另外還包括有理數(shù)與無理數(shù)的大小比較．有時(shí)綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查．常用的方法有特殊值法、平方法等． (三)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系 所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不全表示有理數(shù)，因此有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；所有的無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示無理數(shù)，所以無理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)也不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，且所有的實(shí)數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，所以實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． 拓展：有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)之間也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． (四)實(shí)數(shù)的運(yùn)算 當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)效可以進(jìn)行開立方運(yùn)算．在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律等同樣適用． (五)實(shí)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 (六)借助數(shù)軸化簡(jiǎn) 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1．對(duì)無理數(shù)的概念理解不透徹，只看表面形式． (1)帶根號(hào)的不一定都是無理數(shù)，如是有理數(shù)； (2)不帶根號(hào)的不一定不是無理數(shù)，如是無理數(shù)． 2．誤認(rèn)為有分?jǐn)?shù)線的數(shù)就是分?jǐn)?shù)，導(dǎo)致判斷失誤，如不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù)． 3．混淆有理數(shù)與數(shù)軸和實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，誤認(rèn)為有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)也是一一對(duì)應(yīng)的． 易混易錯(cuò) 混淆無理數(shù)與有理數(shù) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講主要考查實(shí)數(shù)的概念、性質(zhì)及計(jì)算，尤其是實(shí)數(shù)的大小比較、實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、實(shí)數(shù)中的新定義運(yùn)算及規(guī)律探究等，是中考熱點(diǎn)，無理數(shù)的估算是近幾年中考的熱點(diǎn)題目．題型以填空題、選擇題為主． 中考試題 (一)實(shí)數(shù)的大小比較 (二)無理數(shù)的估算 (三)無理數(shù)的識(shí)別 (四)實(shí)數(shù)的運(yùn)算 (五)實(shí)數(shù)中的新定義題 (六)實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究問題(探究性考點(diǎn))