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2019-2020年高中數學 導數及其應用-函數的單調性教案 蘇教版選修2-2 教學目標 知識與技能：借助函數的圖象了解函數的單調性與導數的關系，能利用導數研究函數的 單調性； 過程與方法：通過本節(jié)的學習，掌握利用導數判斷函數單調性的方法； 情感、態(tài)度與價值觀：通過實例探究函數的單調性與導數的關系的過程，體會知識間的相互聯(lián)系和運動變化的觀點，提高理性思維能力. 教學重點：利用導數判斷一個函數在其定義區(qū)間內的單調性； 教學難點：利用導數的符號判斷函數的單調性；判斷復合函數的單調區(qū)間及應用. 教學過程 一、自學導航 1．情境：(1) 必修一中，如何定義函數單調性的？ （2）如何用定義判斷一些函數的單調性？ 一般地，設函數 f(x) 的定義域為I：如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數． 當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數． 2． 問題：能否用定義法討論函數的單調性？ 學生活動 1． 討論函數的單調性. 解：取x1＜x2，x1、x2∈R， 取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 變形 當x1＜x2＜2時，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定號 ∴y＝f(x)在(－, 2)單調遞減． 判斷 當2＜x1＜x2時， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)， ∴y＝f(x)在(2, ＋∞)單調遞增．綜上所述y＝f(x)在(－, 2)單調遞減，y＝f(x)在(2, ＋∞)單調遞增. 2. 研究函數的導函數值的符號與單調性之間的關系. 2、 探究新知 1.導數符號與函數單調性之間的關系 我們已經知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數y=f(x)的導數.從函數的圖像可以看到：在區(qū)間（2，）內，切線的斜率為正，函數y=f(x)的值隨著x的增大而增大，即>0時，函數y=f(x) 在區(qū)間（2，）內為增函數；在區(qū)間（，2）內，切線的斜率為負，函數y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即0時，函數y=f(x) 在區(qū)間（，2）內為減函數. 定義：一般地，設函數y=f(x) 在某個區(qū)間內有導數. 如果在這個區(qū)間內>0，那么函數y=f(x) 在為這個區(qū)間內的增函數； 如果在這個區(qū)間內<0，那么函數y=f(x) 在為這個區(qū)間內的減函數. 說明：（1）如果某個區(qū)間內恒有=0，則f(x)等于常數； （2）>0（或<0）是函數在(a，b）上單調增（或減）的充分不必要條件. 2.利用導數確定函數的單調性的步驟： (1) 確定函數f(x)的定義域； (2) 求出函數的導數； (3) 解不等式f (x)＞0，得函數的單調遞增區(qū)間；解不等式f (x)＜0，得函數的單調遞減區(qū)間． 3、 例題精講： 例1 求函數的單調區(qū)間. 解：=3x2－x－2=0，得x=1，.在（－∞，－）和［1，+∞)上>0，f（x）為增函數；在［－，1］上（x）<0，f（x）為減函數. 所以所求f（x）的單調增區(qū)間為（－∞，－]和［1，+∞)，單調減區(qū)間為［－，1］. 變式題1：求函數的單調區(qū)間． 答案：增區(qū)間為，減區(qū)間為 變式題2：設函數．求函數的單調區(qū)間； 解：由，得， 若，則當時，，函數單調遞減， 當時，，函數單調遞增， 若，則當時，，函數單調遞增， 當時，，函數單調遞減. 點評：（1）注意定義域和參數對單調區(qū)間的影響； （2）同一函數的兩個單調區(qū)間不能并起來； （3）求函數的單調區(qū)間，求導的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法， 但它是一種一般性的方法. 例2 若函數是上的單調函數，則實數的取值范圍是 . 答案： 變式題1:若函數有三個單調區(qū)間，則實數的取值范圍是 . 答案： 變式題2:若函數在（0,1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增， 則實數的值是 . 答案：-5 變式題3：若函數在上既不是單調遞增函數也不是單調遞減函 數，則整數的值是 . 答案：-1 變式題4：若函數的單調遞減區(qū)間是，則則實數的值 是 . 答案：-8 x y O 圖1 x y O ① x y O ② x y O ③ y O ④ x 例3 設函數在定義域內可導，的圖象如圖1所示，則導函數可能為 答案：④ 變式題1：如果函數的導函數的圖象如下圖所示，給出下列判斷： ①函數在區(qū)間內單調遞增； ②函數在區(qū)間內單調遞減； ③函數在區(qū)間內單調遞增； ④函數的單調遞增區(qū)間是 則上述判斷中正確的是____________．答案：③ -2 2 O 1 -1 -1 1 變式題2：已知函數的圖象如右圖所示(其中是函數的導函數)，下面四個圖象中的圖象大致是 答案：③ O -2 2 1 -1 -2 1 2 O -2 -2 2 1 -1 1 2 O -2 4 1 -1 -2 1 2 O -2 2 -1 2 4 ① ② ③ ④ 備選例題：已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間； (2)若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數在區(qū)間上總不是單調函數，求的取值范圍； (3)求證：． 解：(1) 當時，的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為； 當時，的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為； 當時，不是單調函數 (2)得， ∴，∴ ∵在區(qū)間上總不是單調函數，且∴ 由題意知：對于任意的，恒成立， 所以，，∴ (3)令此時，所以， 由(Ⅰ)知在上單調遞增，∴當時，即，∴對一切成立， ∵，則有，∴ 四、課堂精練 1. 設f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調增區(qū)間是 .答案：(0, 2. 已知函數在定義域內可導，其圖象如圖，記的導函數為，則不等式的解集為 . 3. 若函數在（0，2）內單調遞減，則實數a的取值范圍為 . 答案：a≥3 4. 討論函數的單調性. 答案：函數在上單調遞增；在上單調遞增 五、回顧小結 1. 判斷函數單調性的方法； 2.導數符號與函數單調性之間的關系； 3.利用導數確定函數的單調性的步驟. 分層訓練 1.函數y=8x2-lnx的單調遞增區(qū)間是 . 答案： 2．已知，奇函數在上單調，則字母應滿足的條件是 ． 答案：a=c=0, 3.已知函數在（－∞，+∞）上是增函數，則m的取值范圍是 . 答案：2＜m＜4 4.若函數在定義域內的一個子區(qū)間內不是單調函數,則實數k的取值范圍是 .答案： 5. 已知函數,,設．求函數的單調區(qū)間； 解：， （1）若，由，∴在上單調遞增. 由，∴在上單調遞減. ∴的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為. （2）若，則在上恒成立，∴在上單調遞增. 6.已知函數．若函數在區(qū)間（-1,1）上不單調，求a的取值范圍． 答案：（-5，-1） 六、拓展延伸 1.已知函數在上是增函數，在（0，2）上是減函數，且方程 f (x)=0有三個根，它們分別是. (1)求c的值； （2）求證：； （3）求的取值范圍. （1）解：，由條件知，. （2）證明：由得，∵ f (x)在（0，2）上是減函數，即，又. （3）解： 由 f (x)=0有三個根分別是，是方程的兩根 ，由（2）可知. 2.已知,函數. （1）當a=1時，求函數f (x)的單調遞增區(qū)間； （2）函數f (x)是否在R上單調遞減，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由； （3）若函數f (x)在上單調遞增，求a的取值范圍. 解: (1) 當a=1時,, . 令即, 即， 解得. 所以函數f (x)的單調遞增區(qū)間是. (2) 若函數f(x)在R上單調遞減,則對都成立, 所以對都成立, 即對都成立. , 解得. 當時, 函數f (x)在R上單調遞減. (3) 解法一：∵函數f(x)在[-1,1]上單調遞增, 對都成立, 對都成立. 令，則， 解得. 解法二： 函數f (x)在上單調遞增, 對都成立, 對都成立. 即對都成立. 令, 則. 當時，；當時，. 在上單調遞減,在上單調遞增. ，在上的最大值是1. . 7、 課后作業(yè) 八、教學后記：