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2019-2020年高中數(shù)學 第1章 統(tǒng)計案例章末復習提升1 蘇教版選修1-2 1．獨立性檢驗 利用χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)來確定在多大程度上認為“兩個變量有相關關系”．應記熟χ2的幾個臨界值的概率． 2．回歸分析 (1)分析兩個變量相關關系常用：散點圖或相關系數(shù)r進行判斷．在確認具有線性相關關系后，再求線性回歸方程，進行預測． (2)對某些特殊的非線性關系，可以通過變量轉(zhuǎn)化，把非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸，再進行研究． 題型一　獨立性檢驗思想的應用 獨立性檢驗的基本思想是統(tǒng)計中的假設檢驗思想，類似于數(shù)學中的反證法，要確認兩個分類變量有關系這一結論成立的可信程度，首先假設該結論不成立，即假設“兩個分類變量沒有關系”成立，在該假設下我們構造的隨機變量χ2應該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設不合理． 例1　為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗結果．(皰疹面積單位：mm2) 表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 頻數(shù) 30 40 20 10 表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 頻數(shù) 10 25 20 30 15 完成下面22列聯(lián)表，能否在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”． 表3： 皰疹面積 小于70mm2 皰疹面積不 小于70mm2 合計 注射藥物A a＝ b＝ 注射藥物B c＝ d＝ 合計 n＝ 解　列出22列聯(lián)表 皰疹面積 小于70mm2 皰疹面積不 小于70mm2 總計 注射藥物A a＝70 b＝30 100 注射藥物B c＝35 d＝65 100 合計 105 95 n＝200 χ2＝≈24.56， 由于χ2>10.828，所以在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”． 跟蹤演練1　某企業(yè)為了更好地了解設備改造與生產(chǎn)合格品的關系，隨機抽取了180件產(chǎn)品進行分析．其中設備改造前生產(chǎn)的合格品有36件，不合格品有49件；設備改造后生產(chǎn)的合格品有65件，不合格品有30件，根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，你能得出什么結論？ 解　根據(jù)已知條件列出22列聯(lián)表： 合格品 不合格品 合計 設備改造后 65 30 95 設備改造前 36 49 85 合計 101 79 180 提出假設H0：設備改造與生產(chǎn)合格品無關． 由公式得χ2＝≈12.379. ∵χ2>10.828，∴我們有99.9%的把握認為設備改造與生產(chǎn)合格品有關系． 題型二　線性回歸分析 進行線性回歸分析的前提是兩個變量具有線性相關關系，否則求出的線性回歸方程就沒有實際意義，所以必須先判斷兩個變量是否線性相關．分析判斷兩個變量是否線性相關的常用方法是利用散點圖進行判斷，若各數(shù)據(jù)點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關關系．此方法直觀、形象，但缺乏精確性． 例2　在一段時間內(nèi)，分5次測得某種商品的價格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為 1 2 3 4 5 價格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 12 10 7 5 3 已知xiyi＝62，x＝16.6. (1)畫出散點圖； (2)求出y對x的線性回歸方程； (3)如果價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少？(精確到0.01t)． 解　(1)散點圖如下圖所示： (2)因為＝9＝1.8，＝37＝7.4， xiyi＝62，x＝16.6， 所以＝＝＝－11.5， ＝－＝7.4＋11.51.8＝28.1， 故y對x的線性回歸方程為＝28.1－11.5x. (3)＝28.1－11.51.9＝6.25(t)． 故價格定為1.9萬元，預測需求量大約為6.25t. 跟蹤演練2　某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了4次試驗，得到數(shù)據(jù)如下： 零件的個數(shù)x(個) 2 3 4 5 加工的時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖； (2)求y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)試預測加工10個零件需要的時間． 解　(1)散點圖如圖所示： (2)＝＝3.5，＝＝3.5， iyi＝22.5＋33＋44＋54.5＝52.5， ＝4＋9＋16＋25＝54， ∴＝＝0.7， ＝3.5－0.73.5＝1.05， ∴所求線性回歸方程為＝0.7x＋1.05. (3)當x＝10時，＝0.710＋1.05＝8.05， ∴預測加工10個零件需要8.05小時． 題型三　非線性回歸分析 非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式．這時我們可以畫出已經(jīng)數(shù)據(jù)的散點圖，把它與已經(jīng)學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決． 例3　下表是某年美國舊轎車價格的調(diào)查資料，今以x表示轎車的使用年數(shù)，y是表示相應的年均價格，求y關于x的回歸方程. 使用 年數(shù)x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年均價格 y(美元) 2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 解　數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖1， 圖1 可以發(fā)現(xiàn)，各點并不是基本處于一條直線附近，因此，y與x之間是非線性回歸關系．與已學函數(shù)圖象比較，用＝ex＋來刻畫題中模型更為合理，令＝ln，則＝x＋，題中數(shù)據(jù)變成如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 7.883 7.572 7.309 6.991 6.640 6.288 6.182 5.670 5.421 5.318 相應的散點圖如圖2，從圖2可以看出，變換的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用線性回歸方程擬合． 圖2 由表中數(shù)據(jù)可得r≈－0.996.即|r|>r0.05＝0.632，所以有95%的把握認為x與z之間具有線性相關關系，由表中數(shù)據(jù)得≈－0.298，≈8.165， 所以＝－0.298x＋8.165，最后代回＝ln，即＝e－0.298x＋8.165為所求． 跟蹤演練3　下表所示是一組試驗數(shù)據(jù)： x 0.5 0.25 0.125 0.1 y 64 138 205 285 360 (1)作出x與y的散點圖，并判斷是否線性相關； (2)若變量y與成線性相關關系，求出y對x的回歸方程，并觀測x＝10時y的值． 解　(1)散點圖如圖： 由散點圖可知y與x不具有線性相關關系，且樣本點分布在反比例函數(shù)y＝＋a的周圍． (2)令x′＝，y′＝y(tǒng)由已知數(shù)據(jù)制成下表 序號 x′i y′i x′ y′ x′iy′i 1 2 64 4 4096 128 2 4 138 16 19044 552 3 6 205 36 42025 1230 4 8 285 64 81225 2280 5 10 360 100 129600 3600 ∑ 30 1052 220 275990 7790 ′＝6，′＝210.4， 故′－5()2＝40，′－5()2＝54649.2， r＝≈0.9997，由于|r|>r0.05＝0.878，說明y′與x′具有很強的線性關系，計算知＝36.95，＝210.4－36.956＝－11.3，所以y′＝－11.3＋36.95x′.所求y對x的回歸方程y＝－11.3. 當x＝10時，y＝－11.3＝－7.605. 1．獨立性檢驗是對兩個分類變量間是否存在相關關系的一種案例分析方法，而利用假設的思想方法，計算出某一個隨機變量χ2的值來判斷更精確些． 2．建立回歸模型的基本步驟：(1)確定研究對象．(2)畫出散點圖，觀察它們之間的關系．(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型．(4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù).