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2019-2020年九年級(jí)總復(fù)習(xí) 考點(diǎn)跟蹤突破專(zhuān)題6 1．(30分)(xx武漢)如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜2)，連接PQ. (1)若△BPQ與△ABC相似，求t的值； (2)連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； (3)試證明：PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線(xiàn)上． 解：(1)①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，∵＝，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，∴＝，∴t＝1?、诋?dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，∵＝，∴＝，∴t＝，∴t＝1或時(shí)，△BPQ與△ABC相似　 (2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90，∠PCM＋∠NCA＝90，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90，∴△ACQ∽△CMP，∴＝，∴＝，解得t＝　 (3)如圖，仍有PM⊥BC于點(diǎn)M，PQ的中點(diǎn)設(shè)為D點(diǎn)，再作PE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∵∠ACB＝90，∴DF為梯形PECQ的中位線(xiàn)，∴DF＝，∵QC＝4t，PE＝8－BM＝8－4t，∴DF＝＝4，∵BC＝8，過(guò)BC的中點(diǎn)R作直線(xiàn)平行于AC，∴RC＝DF＝4成立，∴D在過(guò)R的中位線(xiàn)上，∴PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線(xiàn)上 2．(30分)(xx巴中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－4與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)x＝1是該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸． (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)若兩動(dòng)點(diǎn)M，H分別從點(diǎn)A，B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸同時(shí)出發(fā)相向而行，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H立刻掉頭并以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l⊥x軸，交AC或BC于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t＞0)．求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與△APH的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值． 解：(1)∵拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－4與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)，直線(xiàn)x＝1是該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，∴解得∴拋物線(xiàn)的解析式是：y＝x2－x－4 　(2)分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，∴＝，即＝，∴PM＝2t.解方程x2－x－4＝0，得x1＝－2，x2＝4，∵A(－2，0)，∴B(4，0)，∴AB＝4－(－2)＝6.∵AH＝AB－BH＝6－t，∴S＝PMAH＝2t(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，當(dāng)t＝2時(shí)，S的最大值為8　②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則△COB∽△CFP，又∵CO＝OB，∴FP＝FC＝t－2，PM＝4－(t－2)＝6－t，AH＝4＋(t－2)＝t＋1，∴S＝PMAH＝(6－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋3＝－(t－)2＋，當(dāng)t＝時(shí)，S最大值為.綜上所述，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與△APH面積S的函數(shù)關(guān)系式是S＝S的最大值為 3．(40分)(xx岳陽(yáng))某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q. (1)求證： DP＝DQ； (2)如圖②，小明在圖①的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并予以證明； (3)如圖③，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，仍作∠PDQ的平分線(xiàn)DE交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接PE，若AB∶AP＝3∶4，請(qǐng)幫小明算出△DEP的面積． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90，∵∠PDQ＝90，∴∠ADP＋∠PDC＝90，∠CDQ＋∠PDC＝90，∠ADP＝∠CDQ，在△ADP與△CDQ中，∵∴△ADP≌△CDQ(ASA)，∴DP＝DQ (2)PE＝QE.證明：∵DE是∠PDQ的平分線(xiàn)，∴∠PDE＝∠QDE，在△PDE與△QDE中，∵∴△PDE≌△QDE(SAS)，∴PE＝QE　(3)解：∵AB∶AP＝3∶4，AB＝6，∴AP＝8，BP＝2，由(1)知：△ADP≌△CDQ，則AP＝CQ＝8，由(2)知：PE＝QE，設(shè)CE＝x，則PE＝QE＝CQ－CE＝8－x，在Rt△PEB中，BP＝2，BE＝6＋x，PE＝8－x，由勾股定理得22＋(6＋x)2＝(8－x)2，解得x＝，∵BP∥CD，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴ME＝CM＋CE＝6－＋x＝6－＋＝，∴△DEP的面積為S△DEP＝S△DME＋S△PME＝MEDC＋MEPB＝ME(DC＋PB)＝(6＋2)＝(6＋2)＝