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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應用 第2節(jié) 函數(shù)模型及其應用（1）教案 新人教A版必修1 教學分析　　　　　 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述．本節(jié)的教學目標是認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸與對數(shù)增長的不同，應用函數(shù)模型解決簡單問題．課本對幾種不同增長的函數(shù)模型的認識及應用，都是通過實例來實現(xiàn)的．通過教學讓學生認識到數(shù)學來自現(xiàn)實生活，數(shù)學在現(xiàn)實生活中是有用的． 三維目標　　　　　 1．借助信息技術，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異． 2．恰當運用函數(shù)的三種表示方法(解析式、表格、圖象)并借助信息技術解決一些實際問題． 3．讓學生體會數(shù)學在實際問題中的應用價值，培養(yǎng)學生學習興趣． 重點難點　　　　　 教學重點：認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸與對數(shù)增長的不同． 教學難點：應用函數(shù)模型解決簡單問題． 課時安排　　　　　 2課時 第1課時 作者：林大華 導入新課　　　　　 思路1.(事例導入) 一張紙的厚度大約為0.01 cm，一塊磚的厚度大約為10 cm，請同學們計算將一張紙對折n次的厚度和n塊磚的厚度，列出函數(shù)關系式，并計算n＝20時它們的厚度．你的直覺與結果一致嗎？ 解：紙對折n次的厚度：f(n)＝0.012n(cm)，n塊磚的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m. 也許同學們感到意外，通過對本節(jié)課的學習大家對這些問題會有更深的了解． 思路2.(直接導入) 請同學們回憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象和性質，本節(jié)我們將通過實例比較它們的增長差異． 推進新課　　　　　 ①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示為x的函數(shù). ②正方形的邊長為x，面積為y，把y表示為x的函數(shù). ③某保護區(qū)有1單位面積的濕地，由于保護區(qū)的努力，使?jié)竦孛娣e每年以5%的增長率增長，經(jīng)過x年后濕地的面積為y，把y表示為x的函數(shù). ④分別用表格、圖象表示上述函數(shù).,⑤指出它們屬于哪種函數(shù)模型. ⑥討論它們的單調性. ⑦比較它們的增長差異. ⑧另外還有哪種函數(shù)模型與對數(shù)函數(shù)相關. 活動：先讓學生動手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路． ①總價等于單價與數(shù)量的積． ②面積等于邊長的平方． ③由特殊到一般，先求出經(jīng)過1年、2年… ④列表畫出函數(shù)圖象． ⑤引導學生回憶學過的函數(shù)模型． ⑥結合函數(shù)表格與圖象討論它們的單調性． ⑦讓學生自己比較并體會． ⑧其他與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)模型． 討論結果：①y＝x. ②y＝x2. ③y＝(1＋5%)x. ④如下表 x 1 2 3 4 5 6 Y＝x 1 2 3 4 5 6 Y＝x2 1 4 9 16 25 36 y＝(1＋5%)x 1.05 1.10 1.16 1.22 1.28 1.34 它們的圖象分別為圖1，圖2，圖3. 圖1 　　　圖2 　　　圖3 ⑤它們分別屬于：y＝kx＋b(直線型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，拋物線型)，y＝kax＋b(指數(shù)型)． ⑥從表格和圖象得出它們都為增函數(shù)． ⑦在不同區(qū)間增長速度不同，隨著x的增大y＝(1＋5%)x的增長速度越來越快，會遠遠大于另外兩個函數(shù)． ⑧另外還有與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)模型，形如y＝logax＋b，我們把它叫做對數(shù)型函數(shù)． 例1假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下： 方案一：每天回報40元； 方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番． 請問，你會選擇哪種投資方案？ 活動：學生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導：我們可以先建立三種投資方案所對應的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)． 解：設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.42x－1(x∈N*)進行描述．三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是遞增函數(shù)模型．要對三個方案做出選擇，就要對它的增長情況進行分析．我們先用計算機計算一下三種所得回報的增長情況．  x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4 再作出三個函數(shù)的圖象(圖4)． 圖4 由表和圖4可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案二與方案三的函數(shù)的增長情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二無法企及的．從每天所得回報看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元． 下面再看累積的回報數(shù)．通過計算機或計算器列表如下： 　天數(shù) 回報/元 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投資1～6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8～10天，應選擇方案二；投資11天(含11天)以上，則應選擇方案三． 針對上例可以思考下面問題： ①選擇哪種方案是依據(jù)一天的回報數(shù)還是累積回報數(shù)． ②課本把兩種回報數(shù)都列表給出的意義何在？ ③由此得出怎樣的結論． 答案：①選擇哪種方案依據(jù)的是累積回報數(shù)． ②讓我們體會每天回報數(shù)的增長變化． ③上述例子只是一種假想情況，但從中我們可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，其增長變化存在很大差異.  變式訓練 某市移動通訊公司開設了兩種通訊業(yè)務：“全球通”使用者先繳50元月基礎費，然后每通話1分鐘付話費0.4元；“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘付話費0.6元，若設一個月內通話x分鐘，兩種通訊業(yè)務的費用分別為y1元和y2元，那么 (1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關系式； (2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象； (3)求出一個月內通話多少分鐘，兩種通訊業(yè)務費用相同； (4)若某人預計一個月內使用話費200元，應選擇哪種通訊業(yè)務較合算． 思路分析：我們可以先建立兩種通訊業(yè)務所對應的函數(shù)模型，再通過比較它們的變化情況，為選擇哪種通訊提供依據(jù)．(1)全球通的費用應為兩種費用的和，即月基礎費和通話費，神州行的費用應為通話費用；(2)運用描點法畫圖，但應注意自變量的取值范圍；(3)可利用方程組求解，也可以根據(jù)圖象回答；(4)求出當函數(shù)值為200元時，哪個函數(shù)所對應的自變量的值較大． 解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)． (2)圖象如圖5所示． 圖5 (3)根據(jù)圖中兩函數(shù)圖象的交點所對應的橫坐標為250，所以在一個月內通話250分鐘時，兩種通訊業(yè)務的收費相同． (4)當通話費為200元時，由圖象可知，y1所對應的自變量的值大于y2所對應的自變量的值，即選取全球通更合算． 另解：當y1＝200時有0.4x＋50＝200，∴x1＝375； 當y2＝200時有0.6x＝200，x2＝.顯然375>， ∴選用“全球通”更合算． 點評：在解決實際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力．另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型. 例2某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？ 活動：學生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標為1 000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤．于是只需在區(qū)間[10,1 000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步結論，再通過具體計算，確認結果． 解：借助計算器或計算機作出函數(shù)y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(圖6)． 圖6 觀察函數(shù)的圖象，在區(qū)間[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵時才符合公司的要求． 下面通過計算確認上述判斷． 首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬． 對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1 000]上遞增，而且當x＝20時，y＝5，因此，當x>20時，y>5，所以該模型不符合要求； 對于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內有一個點x0滿足1.002x0＝5，由于它在區(qū)間[10,1 000]上遞增，因此當x>x0時，y>5，所以該模型也不符合要求； 對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1 000]上遞增，而且當x＝1 000時，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求． 再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1 000]時，是否有＝≤0.25成立． 令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1 000]．利用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)的圖象(圖7)，由函數(shù)圖象可知它是遞減的，因此 圖7 f(x)0)，銷售數(shù)量就減少kx%(其中k為正實數(shù))．目前，該商品定價為a元，統(tǒng)計其銷售數(shù)量為b個． (1)當k＝時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額達到最大？ (2)在適當?shù)臐q價過程中，求使銷售總金額不斷增加時k的取值范圍． 解：依題意，價格上漲x%后，銷售總金額為 y＝a(1＋x%)b(1－kx%)＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]． (1)取k＝，y＝(－x2＋50x＋10 000)， 所以x＝50， 即商品價格上漲50%，y最大為ab. (2)因為y＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]， 此二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為x＝，在適當漲價過程后，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當自變量x在{x|x>0}的一個子集內增大時，y也增大． 所以>0，解得00且a≠1)．∴由圖知2＝a1. ∴a＝2，即底數(shù)為2. ②∵25＝32>30，∴說法正確． ③∵指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快， ∴說法不正確． ④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴說法正確． ⑤∵指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，∴說法不正確． 活動：學生先思考或討論，再回答．教師提示、點撥，及時評價． 引導方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結． 答案：(1)建立函數(shù)模型；(2)利用函數(shù)圖象性質分析問題、解決問題． 課本習題3.2A組1、2. 本節(jié)設計由學生熟悉的素材入手，結果卻出乎學生的意料，由此使學生產(chǎn)生濃厚的學習興趣．課本中兩個例題不僅讓學生學會了函數(shù)模型的應用，而且體會到它們之間的差異；我們補充的例題與之相映生輝，其難度適中，是各地高考模擬經(jīng)常選用的素材．其中拓展提升中的問題緊貼本節(jié)主題，很好地體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的性質特點，是不可多得的素材．