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2019-2020年高中數(shù)學 第九課時 2.5從力做的功到向量的數(shù)量積（二）教案 北師大版必修4 一、教學目標：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 二、教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.教學難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 三、授課類型：新授課 四、內(nèi)容分析：啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì). 五、教學過程 （一）、復習引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．“投影”的概念：作圖 C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0時投影為 |b|；當q = 180時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1 ea = ae =|a|cosq； 2 a^b ab = 0 3 當a與b同向時，ab = |a||b|；當a與b反向時，ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 4cosq = ；5|ab| ≤ |a||b| （二）、講解新課： 平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：a b = b a 證：設(shè)a，b夾角為q，則a b = |a||b|cosq，b a = |b||a|cosq ∴a b = b a 2．數(shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b) 證：若> 0，(a)b =|a||b|cosq， (ab) =|a||b|cosq，a(b) =|a||b|cosq， 若< 0，(a)b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(ab) =|a||b|cosq， a(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq. 3．分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc 說明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс） （2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ （三）、講解范例： 例1、 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角. 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2 設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = ∴q = 60 例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，= ∴||2= 而= ， ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，試問四邊形ABCD是什么圖形? 分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量. 解：四邊形ABCD是矩形，這是因為： 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２ 即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２ 由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２② 由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等. ∴四邊形ABCD是平行四邊形 另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC. 綜上所述，四邊形ABCD是矩形. 評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用； (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系. （四）、課堂練習： 1.下列敘述不正確的是（ ） A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律 C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.ab是一個實數(shù) 2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０，則(a+2b)(a-3b)等于（ ） A.72 B.-72 C.36 D.-36 3.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（ ） A.平行 B.垂直 C.夾角為 D.不平行也不垂直 4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150，則(a+b)２＝ . 5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，則|a+b|=______，|a-b|= . 6.設(shè)|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直，則λ＝ . （五）、小結(jié)：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. （六）、課后作業(yè)：P111中3、4、5題 六、課后反思：