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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.1 定積分的概念 曲邊梯形的面積教案 北師大版選修2-2 一、教學(xué)目標(biāo)：理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法。 二、教學(xué)重難點(diǎn)：　　 重點(diǎn)：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近（取極限） 難點(diǎn)：對過程中所包含的基本的微積分 “以直代曲”的思想的理解 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 1、創(chuàng)設(shè)情景 我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學(xué)研究和實(shí)際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)定積分的基本概念以及定積分的簡單應(yīng)用，初步體會(huì)定積分的思想及其應(yīng)用價(jià)值。 一個(gè)概念：如果函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．（不加說明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù)） 2、新課探析 問題：如圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積？ 例題：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。 思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？ 分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段．“以直代曲”的思想的應(yīng)用． x x x 1 x 1 x y 1 x y y 把區(qū)間分成許多個(gè)小區(qū)間，進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個(gè)小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值．分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S．也即：用劃歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積． 解： （1）．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，，…， 記第個(gè)區(qū)間為，其長度為 分別過上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作： ，，…，顯然， （2）近似代替 記，如圖所示，當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 ① （3）求和：由①，上圖中陰影部分的面積為 ====，從而得到的近似值 （4）取極限：分別將區(qū)間等分8，16，20，…等份（如圖），可以看到，當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有 從數(shù)值上的變化趨勢： 3．求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟:第一步：分割．在區(qū)間中任意插入各分點(diǎn)，將它們等分成個(gè)小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．第四步：取極限。 說明：1．歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近 2．最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實(shí)值 練習(xí)：課本P76練習(xí)題：設(shè)S表示由曲線，x=1，以及x軸所圍成平面圖形的面積。 四、課堂小結(jié)：求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想） 五、教學(xué)后記