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2019-2020年高中數(shù)學《數(shù)列的概念》教案2 北師大版必修5 ●教學目標 知識與技能：理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。 過程與方法：通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力． 情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣。 ●教學重點 數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應用 ●教學難點 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 三角形數(shù)：1，3，6，10，… 正方形數(shù)：1，4，9，16，25，… Ⅱ.講授新課 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，…. 例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“9”是這個數(shù)列中的第6項. ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項 結(jié)合上述例子，幫助學生理解數(shù)列及項的定義. ②中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，“”是這個數(shù)列的第“3”項，等等 下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關(guān)系： 項 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序號 1 2 3 4 5 這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：來表示其對應關(guān)系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應的各項 結(jié)合上述其他例子，練習找其對應關(guān)系 ⒋ 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列④； ⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是，也可以是. ⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項. 數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項． 5.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。 反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．數(shù)列的分類： 1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分： 有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列 無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6…是無窮數(shù)列 2）根據(jù)數(shù)列項的大小分： 遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。 遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列。 常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。 擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 觀察：課本P33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列？ [范例講解] 課本P34-35例1 Ⅲ.課堂練習 課本P36[練習]3、4、5 [補充練習]：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. 解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝； (4) 將數(shù)列變形為1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴＝n＋； (5) 將數(shù)列變形為12, －23, 34, －45, 56,……， ∴ ＝(－1)n(n＋1) Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：數(shù)列及有關(guān)定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前n項求一些簡單數(shù)列的通項公式。 Ⅴ.課后作業(yè) 課本P38習題2.1A組的第1題 ●板書設計 ●授后記 課題: 2.1數(shù)列的概念與簡單表示法 授課類型：新授課 （第２課時） ●教學目標 知識與技能：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n項和與的關(guān)系 過程與方法：經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程。 情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣。 ●教學重點 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 ●教學難點 理解遞推公式與通項公式的關(guān)系 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [復習引入] 數(shù)列及有關(guān)定義 Ⅱ.講授新課 數(shù)列的表示方法 1、 通項公式法 如果數(shù)列的第n項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。 如數(shù)列 的通項公式為 ； 　　 的通項公式為 ； 　　 的通項公式為 ； 2、 圖象法 啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項數(shù) 為橫坐標，相應的項 為縱坐標，即以 為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在 軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢． 3、 遞推公式法 知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7） 運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。 讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。 即；； 依此類推：（2≤n≤7） 對于上述所求關(guān)系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關(guān)系也較為重要。 定義： 遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式 遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。 如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用 表示第一項，用 表示第一項，……，用 表示第 項，依次寫出成為 4、列表法 ．簡記為 ． [范例講解] 例3 設數(shù)列滿足寫出這個數(shù)列的前五項。 解：分析：題中已給出的第1項即，遞推公式： 解：據(jù)題意可知：， [補充例題] 例4已知， 寫出前5項，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ Ⅲ.課堂練習 課本P36練習2 [補充練習] 1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關(guān)系. Ⅴ.課后作業(yè) 習題2。1A組的第4、6題 ●板書設計 ●授后記