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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《類(lèi)比推理》教案1新人教A版選修2-2 ●教學(xué)目標(biāo)： （一）知識(shí)與能力： 通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，認(rèn)識(shí)類(lèi)比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對(duì)問(wèn) 題的發(fā)現(xiàn)中去。 （二）過(guò)程與方法： 類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠。 （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 1．正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開(kāi)始認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求新知識(shí)。 2．認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。 ●教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。 ●教學(xué)難點(diǎn)：用類(lèi)比進(jìn)行推理，做出猜想。 ●教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 ●教學(xué)設(shè)想：類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠。 ●教學(xué)過(guò)程： 學(xué)生探究過(guò)程： 除了歸納，在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動(dòng)中，還常常應(yīng)用類(lèi)比．例如，據(jù)說(shuō)我國(guó)古代工匠魯班類(lèi)比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的齒牙，發(fā)明了鋸；人們仿照魚(yú)類(lèi)的外形和它們?cè)谒械某粮≡?，發(fā)明了潛水艇；等等。事實(shí)上，仿生學(xué)中許多發(fā)明的最初構(gòu)想都是類(lèi)比生物機(jī)制得到的。 從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹(shù)時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子. 他的思路是這樣的： 茅草是齒形的； 茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具； 它也可以是齒形的. 這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎？ 中國(guó)古代杰出科學(xué)家張衡，曾將人們?nèi)粘Ｉ钪械挠白优c日月食現(xiàn)象的類(lèi)似情況進(jìn)行類(lèi)比，提出了日月食科學(xué)成因的初步認(rèn)識(shí)。 幾百年前，人們對(duì)熱量的認(rèn)識(shí)是非常直觀的，將一定質(zhì)量的水加熱到沸點(diǎn)所吸收的熱確定為基本熱量單位“大卡”?？茖W(xué)家焦耳通過(guò)對(duì)比熱與功相互轉(zhuǎn)化過(guò)程中的類(lèi)似現(xiàn)象，指出了它們本質(zhì)的同一性，這就是熱力學(xué)基本定律。 運(yùn)用類(lèi)比推理，通過(guò)對(duì)一些類(lèi)似現(xiàn)象、過(guò)程的對(duì)比分析，可能在看似互不關(guān)聯(lián)的當(dāng)然、偶然信息中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的必然。 類(lèi)比推理亦稱類(lèi)比法或簡(jiǎn)稱“類(lèi)比”。它是根據(jù)A與B兩個(gè)或兩類(lèi)對(duì)象在某些屬性上相同或相似，已知A對(duì)象還有另外某種屬性，推出B對(duì)象也有這種屬性的推理。類(lèi)比推理的公式可表示為： A對(duì)象具有屬性a、b、c、d； B對(duì)象具有屬性a、b、c； 所以，B對(duì)象具有屬性d。 為了提高類(lèi)比推理結(jié)論的可靠性，邏輯學(xué)提出了一些要求:應(yīng)當(dāng)盡可能多地列舉出對(duì)象間相似屬性和選擇較為本質(zhì)的屬性進(jìn)行類(lèi)比。 數(shù)學(xué)活動(dòng) 我們?cè)倏磶讉€(gè)類(lèi)似的推理實(shí)例。 例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。 等式的性質(zhì)： 猜想不等式的性質(zhì)： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。 問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？ 例2、試根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)猜想等比數(shù)列的性質(zhì)。 等差數(shù)列 等比數(shù)列 an-an-1=d(n2,nN) an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=(n2,nN) an2=(n2,nN) 設(shè)問(wèn)1：觀察上述公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)公式的對(duì)應(yīng)運(yùn)算法則規(guī)律是什么？ 設(shè)問(wèn)2：如何分析表達(dá)式結(jié)構(gòu)特征？ 設(shè)問(wèn)3：類(lèi)比對(duì)象是什么？ 三角形與三棱柱。屬于平面圖形性質(zhì)與空間圖形性質(zhì)的類(lèi)比。 設(shè)問(wèn)4：類(lèi)比屬性有哪些？如何從幾何要素角度進(jìn)行分析？（板書(shū)）： 三角形 三棱柱 面 積 體 積 邊 面 線段長(zhǎng) 面 積 平面角 二面角 由此，可類(lèi)比猜測(cè)本題的答案（板書(shū)）： 設(shè)問(wèn)5：本題中，類(lèi)比對(duì)象各是什么？ 等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類(lèi)比。 設(shè)問(wèn)6：類(lèi)比結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？ （板書(shū)） 等差數(shù)列 a10=0 左：前n項(xiàng)和 右：前19-n項(xiàng)和 210-1-n=19-n 設(shè)問(wèn)7：項(xiàng)數(shù)10、n、19-n之間的關(guān)系如何確定？ 19-n=210-1-n 等比數(shù)列 b9=1 左：前n項(xiàng)積 右：前17-n項(xiàng)積 29-1-n=17-n b1b2bn=b1b2b17-n (n<17,nN) 設(shè)問(wèn)8：如何證明猜想等式成立？ 常見(jiàn)兩種證法： 1、等式左右兩邊分別用通項(xiàng)公式代入，轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公比的關(guān)系； 2、不妨設(shè)17-n>n, b1b2bn=b1b2bnbn+1bn+2b16-nb17-n 由bn+1b17-n=bn+2b16-n==b92=1 可得結(jié)論成立。 設(shè)問(wèn)9：對(duì)類(lèi)比推理有了一定的體驗(yàn)。 例3、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比. 圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合. 球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合. 圓 球 弦←→截面圓 直徑←→大圓 周長(zhǎng)←→表面積 面積←→體積 圓的性質(zhì) 球的性質(zhì) 圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦 球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng) 與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) 球的切面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心 ☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類(lèi)）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?；或其中一?lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱類(lèi)比）． 簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理． 類(lèi)比推理的一般步驟： ⑴ 找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征； ⑵ 用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想； ⑶ 檢驗(yàn)猜想。即 觀察、比較 聯(lián)想、類(lèi)推 猜想新結(jié)論 這種由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱類(lèi)比）．簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理．在數(shù)學(xué)中，我們可以由已經(jīng)解決的問(wèn)題和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā)，通過(guò)類(lèi)比而提出新問(wèn)題和作出新發(fā)現(xiàn)．例如，數(shù)學(xué)家波利亞（Polya）曾指出：“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人面幾何中的類(lèi)比問(wèn)題．”數(shù)學(xué)中還有向量與數(shù)的類(lèi)比，求解立體幾何問(wèn)題往往有賴于平無(wú)限與有限的類(lèi)比，不等與相等的類(lèi)比，等等． 例4（課本例2）類(lèi)比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)． 分析：實(shí)數(shù)的加法和乘法都是由兩個(gè)數(shù)參與的運(yùn)算，都滿足一定的運(yùn)算律，都存在逆運(yùn)算，而且“0”和“1”分別在加法和乘法中占有特殊的地位因此我們可以從上述 4 個(gè)方面來(lái)類(lèi)比這兩種運(yùn)算． 解：(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過(guò)加法運(yùn)算或乘法運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí)數(shù)． （2）從運(yùn)算律的角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即 a + b = b + a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) (3)從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，加法的逆運(yùn)算是減法，乘法的逆運(yùn)算是除法，這就使得方程 a + x=0 ax=1 (a≠0 ) 都有唯一解 x=-a x= (4)在加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小；乘法中的1與加法中的0類(lèi)似，即任意實(shí)數(shù)與1的積都等于原來(lái)的數(shù)，即 a + 0= a a1= a 運(yùn)用類(lèi)比推理常常先要尋找合適的類(lèi)比對(duì)象．例如，在立體幾何中，為了研究四面體的性質(zhì)，我們可以在平面幾何中尋找一個(gè)研究過(guò)的對(duì)象，通過(guò)類(lèi)比這個(gè)對(duì)象的性質(zhì)，獲得四面體性質(zhì)的猜想以及證明這些猜想的思路． 探究：你認(rèn)為平面幾何中的哪一類(lèi)圖形可以作為四面體的類(lèi)比對(duì)象？ 我們可以從不同角度出發(fā)確定類(lèi)比對(duì)象，如圍成四面體的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等．基本原則是要根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念?lèi)比對(duì)象．例如，從構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目看，四面體由4個(gè)平面圍成，它是空間中由數(shù)目最少的基本元素（平面）圍成的封閉幾何體；在平面內(nèi)，兩條直線不能?chē)梢粋€(gè)封閉的圖形，而3條直線可以圍成一個(gè)三角形，即三角形是平面內(nèi)由數(shù)目最少的基本元素（直線）圍成的封閉圖形．從這個(gè)角度看，我們可以把三角形作為四面體的類(lèi)比對(duì)象． 本圖可參考王揚(yáng)老師的論文《平面幾何命題向立體幾何移植新探》（《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》xx.1）. 下面，我們就來(lái)看一個(gè)通過(guò)類(lèi)比平面幾何中的結(jié)論，得到立體圖形性質(zhì)的猜想的例子． 例 5 （課本例3）類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 分析：考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，所以我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的個(gè)面是四面體，作為直角三角形的類(lèi)比對(duì)象． 如圖2.1-1所示，與Rt△ABC相對(duì)應(yīng)的，是四面體P-DEF; 與Rt△ABC的兩條邊交成1個(gè)直角相對(duì)應(yīng)的，是四面體P-DEF的3個(gè)面在一個(gè)頂點(diǎn)處構(gòu)成3個(gè)直二面角；與Rt△ABC的直角邊邊長(zhǎng)a , b 相對(duì)應(yīng)的，是四面體 P - DEF 的面△DEF，△FPD和△DPE的面積S1 , S2和S3；與Rt△ABC的斜邊邊長(zhǎng)c相對(duì)應(yīng)的，是四面體P -DEF 的面△PEF 的面積S. 由此，我們可以類(lèi)比Rt△ABC中的勾股定理，猜想出四面體P-DEF 四個(gè)面的面積之間的關(guān)系 解：如圖2.1-1所示，我們知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得 . 于是，類(lèi)比直角三角形的勾股定理，在四面體 P - DEF 我們猜想 . 思考：這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？請(qǐng)同學(xué)們自己． 我們把前面所進(jìn)行的推理過(guò)程概括為： 可見(jiàn)，歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理、我們把它們統(tǒng)稱為合情推理（plausible reasoning ）公． 通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理”的推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．下面再來(lái)看一個(gè)例子． 例 6（課本例4）如圖2 .1-2 所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片．按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上． 1．每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片； 2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面． 試推測(cè)：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng)多少次？ 分析：我們從移動(dòng)1, 2, 3, 4個(gè)金屬片的情形入手，探究其中的規(guī)律性，進(jìn)而歸納出移動(dòng) n個(gè)金屬片所需的次數(shù)． 解：當(dāng)n=1時(shí)，只需把金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，用符號(hào)（13 )表示，共移動(dòng)了1次． 當(dāng)n=2 時(shí)，為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面，我們利用2號(hào)針作為“中間針”，移動(dòng)的順序是： (1)把第1個(gè)金屬片從1號(hào)針移到 2 號(hào)針； (2)把第2個(gè)金屬片從1號(hào)針移到 3 號(hào)針； (3)把第1個(gè)金屬片從2號(hào)針移到 3 號(hào)針． 用符號(hào)表示為：(12 ) (13 ) (23 ) . 共移動(dòng)了3 次． 當(dāng)n=3 時(shí)，把上面兩個(gè)金屬片作為一個(gè)整體，則歸結(jié)為n=2 的情形，移動(dòng)順序是： (1)把上面兩個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針； (2)把第 3 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針； (3)把上面兩個(gè)金屬片從 2 號(hào)針移到3 號(hào)針． 其中（1）和（3）都需要借助中間針．用符號(hào)表示為： ( 13 ) (12 ) ( 32 ) ; ( 13 ) ; ( 21 ) ( 23 ) ( 13 ) . 共移動(dòng)了 7 次． 當(dāng)n=4 時(shí)，把上面3個(gè)金屬片作為一個(gè)整體，移動(dòng)的順序是： (1)把上面3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針； (2)把第4個(gè)金屬片從 1 號(hào)針移到3號(hào)針； (3)把上面 3 個(gè)金屬片從 2 號(hào)針移到 3 號(hào)針．用符號(hào)表示為： ( 12 ) ( 13 ) (23 ) (12 ) (31) (32 ) (12 ) ; (13 ) ; ( 23 ) (21 ) (31 ) (23 ) ( 12 ) (13 ) (23 ) . 共移動(dòng)了15次． 至此，我們得到依次移動(dòng)1, 2, 3, 4 個(gè)金屬片所需次數(shù)構(gòu)成的數(shù)列：1, 3, 7,15. 觀察這個(gè)數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著如下規(guī)律： 1 = 21- 1 , 3 = 22 - 1, 7 = 23 -1, 15 = 24 -1. 由此我們猜想：若把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng)次，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為． ① 通過(guò)探究上述n=1,2,3,4時(shí)的移動(dòng)方法，我們可以歸納出對(duì)n 個(gè)金屬片都適用的移動(dòng)方法．當(dāng)移動(dòng)n個(gè)金屬片時(shí)，可分為下列3個(gè)步驟： (1)將上面（n-1）個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針； (2)將第 n 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針； (3)將上面（n -1）個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針． 這樣就把移動(dòng)n個(gè)金屬片的任務(wù)，轉(zhuǎn)化為移動(dòng)兩次（n-1）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第 n 個(gè)金屬片的任務(wù)．而移動(dòng)（n-1）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次（n-2）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第（n-1）個(gè)金屬片，移動(dòng)（n-2）個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次（n-3）個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第（n-2）個(gè)金屬片… … 如此繼續(xù)，直到轉(zhuǎn)化為移動(dòng)1個(gè)金屬片的情形．根據(jù)這個(gè)過(guò)程，可得遞推公式 從這個(gè)遞推公式出發(fā)，可以證明通項(xiàng)公式①是正確的． 一般來(lái)說(shuō)，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠. 例如，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到 = 5, = 17 , = 257 , =65 537 都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如. () 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)．這就是著名的費(fèi)馬猜想．半個(gè)世紀(jì)之后，善于計(jì)算的歐拉（ Euler ）發(fā)現(xiàn)，第 5 個(gè)費(fèi)馬數(shù) = 4 294 967 297 = 6416 700 417 不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想． 例4.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論: 試通過(guò)類(lèi)比,寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論. 鞏固練習(xí)： 1．(xx年上海)已知兩個(gè)圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為----------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2．類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 直角三角形 3個(gè)面兩兩垂直的四面體 ∠C＝90 3個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90 4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S 3個(gè)“直角面” S1，S2，S3和1個(gè)“斜面” S 3．（xx，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_(kāi)_____________，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_(kāi)_______________ 4．過(guò)圓心的弦稱作直徑。圓中有如下性質(zhì)：若AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點(diǎn)（異于A、B），則KMAKMB=-1。定義：過(guò)圓錐曲線（橢圓、雙曲線）中心的弦叫作圓錐曲線（橢圓、雙曲線）的直徑，那么對(duì)于橢圓能否得到類(lèi)似的結(jié)論？對(duì)于雙曲線呢？ 教學(xué)反思： 1．類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠。 2．類(lèi)比推理的一般步驟： ①找出兩類(lèi)事物之間的相似性或者一致性。 ②用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想） 3．這是一節(jié)關(guān)于類(lèi)比推理的專題復(fù)習(xí)課，不僅僅是為了解題，更側(cè)重類(lèi)比思想及方法的滲透，因此本節(jié)課考慮了概念學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決、作業(yè)拓展等環(huán)節(jié)，是一節(jié)完整的方法學(xué)習(xí)課。在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)類(lèi)比，引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題；通過(guò)類(lèi)比，探求解題途徑，深化對(duì)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握；通過(guò)學(xué)生閱讀，理解類(lèi)比推理的定義及運(yùn)用思路；通過(guò)給出題目的條件，有意識(shí)地營(yíng)造一個(gè)較為開(kāi)放型的學(xué)習(xí)空間，至始至終由學(xué)生帶著問(wèn)題，開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)。讓學(xué)生經(jīng)歷“課堂上研究問(wèn)題，課后亦拓展問(wèn)題”的過(guò)程。作業(yè)的布置是為了思維的升華。通過(guò)類(lèi)比推理，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和培養(yǎng)其創(chuàng)新精神。 1．（xx全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽4）設(shè)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且有 ，則△ABC的面積與△AOC的面積的比為（ ） （A） 2； （B）； （C）3； （D）. 解一：如圖，延長(zhǎng)OB至E，使得OE=2OB，延長(zhǎng)OC至F使得OF=3OC，則 ， 從而點(diǎn)O為△AEF的重心.顯然 ， ， ， 所以， 故 ，即選（C）. 注：本題的推廣： （1）.設(shè)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且有 ，則△ABC的面積與△AOC、△BOC、△COA的面積的比分別為 . 解二：設(shè)G為△ABC的重心，則 所以， 注意到 即 ，∴ ， 即 ，但是G 為重心， 所以，，選 （C） 解三：如圖，由條件等式知 ，注意到 故在直線AC上必存在一點(diǎn)D，使得 ，且有 ， 進(jìn)而知點(diǎn)B、O、D三點(diǎn)共線，且 ， 于是，. 解法四：設(shè)BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E，則由原等式知道 即 （1） 而 DE為的中位線，（1）表明點(diǎn)O在DE上，且為其上的一個(gè)三等份點(diǎn)， 從而由平面幾何知識(shí)知道 即選答案（C）. 空間推廣：設(shè)O為四面體ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且，則四面體ABCD與四面體ABCO、四面體ABOD、四面體AOCD、四面體OBCD的體積分別為. 證明：如右圖，由條件等式知， 即 因?yàn)? 故由四點(diǎn)共面的充要條件知，在△ABC內(nèi)必存在一點(diǎn)E，使得 ， 且有，進(jìn)而知點(diǎn)D、O、E三點(diǎn)共線， 且 即 ， 于是， 同理可得其它. 2. 已知平面四邊形一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊平方和，那么，該四邊形的對(duì)角線互相垂直. 證明：如圖，在四邊形ABCD中，，需證 AC⊥BD. 事實(shí)上，由，有 ， 于是 即 即 從而 ， 即AC⊥BD. 注：本題的證明是直接對(duì)已知等式進(jìn)行向量表示，再進(jìn)行分解因式完成的，這是一種最直接的方法. 本題的證明沒(méi)有涉及到四邊形的對(duì)角線是否相交，故這個(gè)證明相當(dāng)于證明了A、B、C、D不共面的空間結(jié)論，即本證明已經(jīng)確認(rèn)：對(duì)空間四邊形（三棱錐）中，如果對(duì)棱平方和相等，那么，第三雙對(duì)棱必然互相垂直. 這就是xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2題：空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足的取值 （ A ）. （A）只有一個(gè)；（B）有兩個(gè)；（C）有四個(gè)；（D）有無(wú)窮多個(gè). 3．三角形重心的向量式.如果G為△ABC的重心的充要條件是下面的（1）與（2）成立. （1）. （2）（O為平面上任意一點(diǎn)）. 5. 設(shè)O為空間任意一點(diǎn)，則G為四面體ABCD的重心的充要條件是 . 需要說(shuō)明的是，四面體的重心定義... 證明：先證明必要性 如圖，設(shè)M為△BCD的重心，則BM的延長(zhǎng)線交CD中點(diǎn)于E，由四面體重心性質(zhì)知 但是又知道 BM：ME=2：1， ∴ 代入上式即得結(jié)論. 再證明充分性 設(shè)M為△BCD的重心，則BM的延長(zhǎng)線交CD中點(diǎn)于E，由條件知 但是，G 是AM的四等分點(diǎn)，且AG：GM=3：1，即G為四面體ABCD的重心，從而命題得證. 注：這個(gè)結(jié)論非常重要，它是三角形重心向量式的空間推廣. 當(dāng)O與G重合時(shí)得到. 本結(jié)論的一個(gè)直接證明： 設(shè)M、N分別為四面體ABCD的面和的重心，E、F分別為棱CD、AB的中點(diǎn)，則又平面幾何知識(shí)知道AM、BN、EF三線交于一點(diǎn)G，且G平分EF，于是，由向量知識(shí)知道 而 ，從而結(jié)論獲得證明. 本題也可以用三角形里的重心性質(zhì)證明. 注意到M為的重心，所以 再注意到，所以 4.設(shè)R、r分別為△的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，求證：. 證明一：如右圖，取O為△A1A2A3的外心,△OA2A3,△OA3A1, △OA1A2,△A1A2A3的面積分別為S1、S2、S3、S，記O到A2A3,A3A1, A1A2的距離依次為r1、r2、r3，△A1A2A3的各邊長(zhǎng)分別為a1、a2、a3，則: ，即 ， ∴ ∴ ，同理可得 ； 這三式相加得: ， ∴. 證畢. 注：這里用面積法對(duì)平面上的Euler不等式 給出了一個(gè)簡(jiǎn)單而新鮮的證明.可謂別具一格 . 證明二：由Euler定理： ，立刻知道 . 證三：如右圖，設(shè)O為△ABC外心，D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，則 同理可得 ； 這三個(gè)式子相加得到 即 所以 . 證四：如右圖，分別過(guò)A、B、C做對(duì)邊的平行線交成一個(gè)，則， 而且相似比為，， 但是， 即 所以 . 證五：O為外心，延長(zhǎng)AO交BC與D，記的面積分別為，則（為O到BC的距離） 即 ，同理可得 ， 這三個(gè)式子相加得到 ， 所以 . 證6：設(shè)O為外心，則 即 , 同理有 ， 這三個(gè)式子相加得到 所以 . 本題還有很多證明，但都不夠簡(jiǎn)捷. 本題的錦繡前程展望： 在四面體中： 設(shè)R、r分別為四面體A1A2A3A4的外接圓和內(nèi)切圓半徑, 求證：. 證明:記四面體OA2A3A4,OA1A3A4,OA1A2A4,OA1A2A3,A1A2A3A4的體積分別為V1,V2,V3,V4,V, O到Ai及對(duì)面的距離分別為ri(i=1、2、3、4),并參下圖,再取O為四面體A1A2A3A4的外心,則有 ， 即 即 ，同理有 ；； 這四式相加得: ∴ . 5．(《中等數(shù)學(xué)》1995.2 數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題 高中26 題)已知△A1A2A3內(nèi)任意點(diǎn)O到頂點(diǎn)Ai 及所對(duì)邊的距離分別為Ri和ri(i=1、2 、3), 求證: . 證明：如圖1,延長(zhǎng)A1O交A2A3于B1,記△OA2A3,△OA3A1,△OA1A2,△A1A2A3的面積分別為S1,S2,S3,S,△A1A2A3的邊A2A3上的高h(yuǎn)1那么, R1+r1≥h1. ∴，同理，， ∴ 從而原不等式得證. 注:三角形中的共邊比例定理與簡(jiǎn)單的不等關(guān)系聯(lián)姻使此題的證明如行云流水. 本題的錦繡前程展望： 命題的延伸：在四面體中：設(shè)O為四面體A1A2A3A4內(nèi)部任意一點(diǎn),O到Ai及其對(duì)面的距離分別為 (i=1、2、3、4),求證: . 證明:記四面體OA2A3A4,OA1A3A4,OA1A2A4,OA1A2A3,A1A2A3A4的體積分別為V1,V2,V3,V4,V,h1為三棱錐A1--A2A3A4的高線長(zhǎng)，連A1O并延長(zhǎng)交面A2A3A4于B1,如圖2.則據(jù)引理2及R1+r1≥h1知， 同理， ， ∴ . 到此,原不等式得證. 上述平面幾何命題與立體幾何命題的提法與論證是多么的和諧一致. 6.（31——IMO預(yù)選題）設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),AP,BP,CP分別交BC、CA、AB于D、E、F，求證： . 證一：引進(jìn)線段比參數(shù) 設(shè)，因?yàn)锳D、BE、CF三線交于一點(diǎn)，由塞瓦定理知道，結(jié)合面積公式知 同理可得 于是 最后一步用到了熟知的不等式： 其中 從而，原不等式獲得證明. 證二：引進(jìn)面積參數(shù) 設(shè)的面積分別為，則 同理有 ， 那么， 即 同理可得 ∴ 即 . 證三：引進(jìn)線段常參數(shù) 設(shè)則由Ceva定理知 （1） 于是，，同理可以求出其它相應(yīng)的比值，于是 即 . 上面的三種證明都非常精彩，但是，從推廣命題方面看，證明二是比較好的方法，可以導(dǎo)致命題的空間推廣. 注：面積法(共角比例定理)的運(yùn)用給我們解決本題帶來(lái)了生機(jī)和活力. 本題的歷史淵源追索——本題昨天的表現(xiàn)形式： 當(dāng)P為△ABC的外心、內(nèi)心、垂心、重心時(shí)都已經(jīng)證明成立，本題是這些命題的推廣. 本題的錦繡前程展望： 命題的延伸：設(shè)P為四面體A1A2A3A4內(nèi)部任意一點(diǎn),AIP的延長(zhǎng)線交AI所對(duì)的面于BI(i=1,2,3,4)，求證：四面體A1A2A3A4的體積A與四面體B1B2B3B4的體積B滿足 A≥27B. 證明：記四面體PA2A3A4,PA1A3A4,PA1A2A4,PA1A2A3,A1A2A3A4的 體積分別為V1,V2,V3,V4,V,連A1O并延長(zhǎng)交面A2A3A4于B1,如圖5. 注意到三棱錐A1---PA2A3與三棱錐B1---PA2A3共底面△PA2A3, 據(jù)引理2，所以 ， 同理還有 ， 由上面兩個(gè)式子及等比定理知: 同理有 ；； ∴ 而三棱錐P---B1B2B3與P---A1A2A3是具有對(duì)頂三面角的兩個(gè)三棱錐，由引理4知，，即 同理可得 ；； ，所以 即 .此時(shí)等號(hào)成立的條件顯然是V1=V2=V3=V4,即P為四面體的重心. 解析幾何類(lèi)比題 1. 橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對(duì)偶性質(zhì). 若在橢圓外 ，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是,那么對(duì)于雙曲線則有如下命題: 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線的切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 . 1. 設(shè),,,則過(guò)P1、P2的切線方程分別是， .因?yàn)樵谶@兩條切線上,故有,,這說(shuō)明,在直線上,故切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是. 2. 橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對(duì)偶性質(zhì).對(duì)于橢圓有如下命題:AB是橢圓 的不平行于對(duì)稱軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則,那么對(duì)于雙曲線則有如下命題:AB是雙曲線的不平行于對(duì)稱軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則 . 2.. 設(shè),,,則有 ,.兩式相減得, 即,,即. 【點(diǎn)評(píng)】 本題是一道有關(guān)橢圓與雙曲線的歸納類(lèi)比題,這類(lèi)題的特點(diǎn)是:往往并不需要證明結(jié)論,主要考查考生的創(chuàng)新精神,是否會(huì)觀察,會(huì)抽象概括,會(huì)用類(lèi)比的方法得出新的一般性的結(jié)論. 這類(lèi)題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中,經(jīng)常以數(shù)列或解析幾何等知識(shí)為載體. 3．橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對(duì)偶性質(zhì).對(duì)于橢圓有如下命題: 若在橢圓（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的橢圓的切線方程是,那么對(duì)于雙曲線則有如下命題: 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是 . 3．解析：。 解法一 當(dāng)時(shí), ,此時(shí)過(guò)點(diǎn)的切線方程是;當(dāng)時(shí), ,此時(shí)可設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程是,代入得,即,此方程的判別式為 ,,即.又，則，即， ， ==，故切線方程是，即.綜上可知，切線方程是. 解法二 由得,則.當(dāng), =;當(dāng),.故當(dāng)時(shí),切線方程是，即;當(dāng)時(shí), 切線方程是. 【點(diǎn)評(píng)】 本題是一道有關(guān)橢圓與雙曲線的歸納類(lèi)比題,這類(lèi)題的特點(diǎn)是:往往并不需要證明結(jié)論,主要考查考生的創(chuàng)新精神,是否會(huì)觀察,會(huì)抽象概括,會(huì)用類(lèi)比的方法得出新的一般性的結(jié)論. 這類(lèi)題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中,經(jīng)常以數(shù)列或解析幾何等知識(shí)為載體.求圓錐曲線的切線通常有兩種方法:判別式法和求導(dǎo)法. 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是. 4．（江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)xx屆高三數(shù)學(xué)訓(xùn)練卷（一））(1) 已知拋物線過(guò)焦點(diǎn)的動(dòng)直線l交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn),求證：為定值; (2) 由 (1) 可知：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的動(dòng)直線 l 交拋物線于兩點(diǎn)，存在定點(diǎn)，使得 為定值. 請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)于橢圓的類(lèi)似結(jié)論,并給出證明. 4.解：(1) 若直線l垂直于x軸，則，. 若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為，. 由 . 綜上，為定值. (2) 關(guān)于橢圓有類(lèi)似的結(jié)論：過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓于、兩點(diǎn)，存在定點(diǎn)，使為定值. 證明：不妨設(shè)直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)其中 若直線l不垂直于軸，則設(shè)其方程為：，. 由得： 所以……………9分 由對(duì)稱性可知，設(shè)點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)為 所以 要使為定值， 只要 即 此時(shí) 若直線l垂直于x軸，則其方程為，，. 取點(diǎn) 有 綜上，過(guò)焦點(diǎn)的任意直線l交橢圓于、兩點(diǎn)，存在定點(diǎn) 使為定值. 高考數(shù)學(xué)試題新亮點(diǎn)——類(lèi)比推理題 “多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”，以能力立意的數(shù)學(xué)高考試題不斷推出一些思路開(kāi)闊、情境新穎脫俗的創(chuàng)新題型，它們往往不是以知識(shí)為中心，而是以問(wèn)題為中心，并不拘泥于具體的知識(shí)點(diǎn)，而是將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和原理融于一體，突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價(jià)值。 類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象具有某些相同的屬性而推出當(dāng)一個(gè)對(duì)象具有一個(gè)另外的性質(zhì)時(shí)，另一個(gè)對(duì)象也具有這一性質(zhì)的一種推理方式。因此求解類(lèi)比推理問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定類(lèi)比物，建立類(lèi)比項(xiàng)。換言之，不能把類(lèi)比僅停留在敘述方式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等外層表象之上，還需要對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)算、推理過(guò)程等進(jìn)行類(lèi)比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。 一、 數(shù)列中的類(lèi)比推理 例1 （xx年上海卷）在等差數(shù)列中，若，則有等式 成立，類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立. 分析 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比.一種較本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是： 等差數(shù)列 用減法定義 性質(zhì)用加法表述（若且 則）； 等比數(shù)列 用除法定義 性質(zhì)用乘法表述（若且 則）. 由此，猜測(cè)本題的答案為： 事實(shí)上，對(duì)等差數(shù)列，如果，則 . 所以有： ）（）.從而對(duì)等比數(shù)列，如果，則有等式：成立. 評(píng)注 本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運(yùn)用類(lèi)比的思想方法由等差數(shù)列而得到等比數(shù)列的新的一般性的結(jié)論。 例2 （xx年北京高考題）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和. 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為 ，這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和的計(jì)算公式為 . 分析 由等和數(shù)列的定義，易知，（=1，2，…），故. 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，. 評(píng)注 本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關(guān)鍵是課本中所學(xué)的等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)及其數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，本題還考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法。 二、 函數(shù)中的類(lèi)比推理 例3（xx年上海春招高考題）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得的值為 . 分析 此題利用類(lèi)比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的倒序相加法，觀察每一個(gè)因式的特點(diǎn)，嘗試著計(jì)算： ， ， ， 發(fā)現(xiàn)正好是一個(gè)定值， ，. 評(píng)注 此題依據(jù)大綱和課本，在常見(jiàn)中求新意，在平凡中見(jiàn)奇巧，將分析和解決問(wèn)題的能力的考查放在了突出的位置.本題通過(guò)弱化或強(qiáng)化條件與結(jié)論，揭示出它與某類(lèi)問(wèn)題的聯(lián)系與區(qū)別并變更出新的命題.這樣，通過(guò)從課本出發(fā)，無(wú)論是對(duì)內(nèi)容的發(fā)散，還是對(duì)解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，從而有效于發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新的思維。 例4 （xx年上海春招高考題）已知函數(shù)，. （1） 證明是奇函數(shù)，并求的單調(diào)區(qū)間. （2） 分別計(jì)算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和的對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)等式，并加以證明. 分析 （1）略； （2）分別計(jì)算得和的值都為零，由此概括出對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)有：如果將式子 中的5改成字母，可進(jìn)一步推廣. 評(píng)注 由數(shù)字型向字母型類(lèi)比推廣相當(dāng)于從特例向一般推廣，但其實(shí)質(zhì)都是一般化策略.正如波利亞在其《怎樣解題》中所闡述的一般化思想：“一般化就是從考慮一個(gè)對(duì)象，過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合，或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到考慮一個(gè)包含該較小的集合的更大集合?！? 三、排列組合中的類(lèi)比推理 例5 （xx年上海高考題）規(guī)定：，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)是正整數(shù)，且的一種推廣. （1） 求的值； （2） 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)（）是否都能推廣到 （是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫(xiě)出推廣的形式并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由； （3）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時(shí)，. 分析 本題“新的規(guī)定（是正整數(shù)）”是組合數(shù)（是正整數(shù)，且）的一種推廣.這個(gè)結(jié)論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中沒(méi)有的，目的是考查考生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的自覺(jué)運(yùn)用以及創(chuàng)新思維能力. 解：（1）根據(jù)新規(guī)定直接進(jìn)行演算即可 （2）性質(zhì)①不能推廣.反例：當(dāng)時(shí)，有意義，但無(wú)意義.性質(zhì)②能推廣，且推廣形式不變： 是正整數(shù)）. 證明如下： = == （3）需要就與的大小作出邏輯劃分并進(jìn)行嚴(yán)密的論證. 當(dāng)時(shí)，都是正整數(shù)，就是組合數(shù)，結(jié)論顯然成立； 當(dāng)時(shí)，，結(jié)論也成立； 當(dāng)時(shí)， ，是正整數(shù)，故. 綜上所述，當(dāng)，是正整數(shù)時(shí)，. 評(píng)注 本題以組合數(shù)為載體考查運(yùn)用類(lèi)比推理和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力。 例6 （xx年上海高考題）已知數(shù)列（為正整數(shù)）的首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. （1） 求和：；. （2） 由（1）的結(jié)果，歸納概括出關(guān)于正整數(shù)的一個(gè)結(jié)論，并加以證明. 分析 本題由（1）的結(jié)論，通過(guò)大膽猜測(cè)，歸納猜想出一般性的結(jié)論： （1）=， . （2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則 .（證明略） 評(píng)注 本題主要考查探索能力、類(lèi)比歸納能力與論證能力，突出了創(chuàng)新能力的考查；通過(guò)抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。 四、立體幾何中的類(lèi)比推理 例7 （xx年上海春招題）若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、，則三角形面積之比為：. 若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、和、，則類(lèi)似的結(jié)論為： . 分析 在平面中是兩三角形的面積之比，憑直覺(jué)可猜想在空間應(yīng)是體積之比，故猜想.(證明略) 評(píng)注 本題主要考查由平面到空間的類(lèi)比.要求考生由平面上三角形面積比的結(jié)論類(lèi)比得出空間三棱錐體積比的相應(yīng)結(jié)論.又在xx年廣東高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)本題的類(lèi)題。 例8 （xx年全國(guó)高考題）在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 .” 分析 關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類(lèi)比，通常可抓住幾何要素的如下對(duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比： 多面體 多邊形； 面 邊 體 積 面 積 ； 二面角 平面角 面 積 線段長(zhǎng)； … … 由此，可類(lèi)比猜測(cè)本題的答案： （證明略）. 評(píng)注 本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，因此平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中要注意類(lèi)比等思想方法的學(xué)習(xí)，更要注意研究性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)中的適時(shí)切入。 例9 （xx年上海春招高考題）在DEF中有余弦定理： . 拓展到空間，類(lèi)比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱ABC-的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明. 分析 根據(jù)類(lèi)比猜想得出. 其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角. 證明： 作斜三棱柱的直截面DEF，則為面與面所成角，在中有余弦定理： ， 同乘以，得 即 評(píng)注 本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣，因?yàn)轭?lèi)比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中更要注意類(lèi)比等思想方法的學(xué)習(xí)。 五、 解析幾何中的類(lèi)比推理 例10 （xx年上海高考題）已知兩個(gè)圓：， ① 與 ② 則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為 . 分析 將題設(shè)中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況： 設(shè)圓的方程為， ③ 與 ④ 其中或，則由③式減去④式可得兩圓的對(duì)稱軸方程. 評(píng)注 本題通過(guò)類(lèi)比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。 例11 （xx年上海春招題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明. 分析 類(lèi)似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值. 證明：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為（）、（），則N（）. 因?yàn)辄c(diǎn)M（）在已知雙曲線上，所以，同理. 則（定值）. 評(píng)注 本題以橢圓、雙曲線為載體，考查直線的斜率，橢圓、雙曲線的概念與方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。 例12. （xx年上海春招題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明. 分析 類(lèi)似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值. 證明：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為（）、（），則N（）. 因?yàn)辄c(diǎn)M（）在已知雙曲線上，所以，同理. 則（定值）. 評(píng)注 本題以橢圓、雙曲線為載體，考查直線的斜率，橢圓、雙曲線的概念與方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。同類(lèi)之間的類(lèi)比在圓錐曲線中，常常以姐妹題形式出現(xiàn)，這樣對(duì)學(xué)生思維和素質(zhì)的考查具有很好的功能，而且題型新穎，避免了傳統(tǒng)的考法的單調(diào)。 六.新定義、新運(yùn)算中的類(lèi)比　 例13、若記號(hào)“*”表示兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“＋”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c都能成立的一個(gè)等式可以是_______________。 解析：由于本題是探索性和開(kāi)放性問(wèn)題，問(wèn)題的解決需要經(jīng)過(guò)一定的探索過(guò)程，并且答案不惟一。這題要把握住，還要注意到試題的要求不僅類(lèi)比推廣到三個(gè)數(shù)，而且等式兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“＋”，則可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正確的結(jié)論還有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。 例14、電子計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表： 十進(jìn)制 1 2 3 4 5 6 ……. 二進(jìn)制 1 10 11 100 101 110 …….. 觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是 解：通過(guò)閱讀，不難發(fā)現(xiàn)： 于是知二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是。 評(píng)析：通過(guò)閱讀，將乍看陌生的問(wèn)題熟悉化，然后找到解決的方法，即轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求解。 總之，求解數(shù)列創(chuàng)新題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，探求規(guī)律，注重轉(zhuǎn)化，合理設(shè)計(jì)解題方案，最后利用等差、等比數(shù)列有關(guān)知識(shí)來(lái)求解。 例15、對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x,y)、B(x，y)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱. 給出下列三個(gè)命題： ①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC中，若∠C=90，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命題的個(gè)數(shù)為（B） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”： ①若點(diǎn)C在線段AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，x0在x1、x2之間，y0在y1、y2之間，則= ③在中， > = ∴命題① ③成立，而命題②在中，若則明顯不成立，選B. 例16、，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若、分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)（，）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．已知常數(shù)≥0，≥0，給出下列命題： ①若＝＝0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn) 有且僅有1個(gè)； ②若＝0，且＋≠0，則“距離坐標(biāo)”為 （，）的點(diǎn)有且僅有2個(gè)； ③若≠0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點(diǎn)有且僅有4個(gè)． 上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 [答]（ D ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 【解析】對(duì)于①到平面中兩條直線和的距離都為0的點(diǎn)只有交點(diǎn)O；對(duì)于②＝0且＋≠0，只有兩種情況。但易誤判成任一種情況都對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，兩種情況則有四個(gè)點(diǎn)。要知道在是常數(shù)的情況下只能是其中的一種情況，不能兩種情況同時(shí)存在；對(duì)于③若≠0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點(diǎn)在四個(gè)區(qū)域內(nèi)各有唯一的一個(gè)，故總共有且僅有4個(gè)．所以選D。 另解：選（D） ① 正確，此點(diǎn)為點(diǎn)； ② 正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個(gè)為零，另一個(gè)非零，從而可知有且僅有2個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)在其中一條直線上，且到另一直線的距離為（或）； ③ 正確，四個(gè)交點(diǎn)為與直線相距為的兩條平行線和與直線相距為的兩條平行線的交點(diǎn)。 波利亞曾說(shuō)：“如果沒(méi)有相似推理，那么無(wú)論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來(lái)可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無(wú)從發(fā)現(xiàn).”因此，作為基礎(chǔ)教育之一的中學(xué)數(shù)學(xué)，在教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比推理和歸納推理的能力。為此，特提出以下教學(xué)建議： （1）根據(jù)教材特點(diǎn)，在傳授新知識(shí)時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)類(lèi)比與歸納得出新的知識(shí)，逐步學(xué)會(huì)類(lèi)比推理的方法。 （2）在進(jìn)行知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí)，經(jīng)常對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比的習(xí)慣。 （3）在解題教學(xué)中，通過(guò)類(lèi)比，引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題，或通過(guò)類(lèi)比，探求解題途徑，深化對(duì)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。 （4）通過(guò)類(lèi)比，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。 開(kāi)普勒對(duì)類(lèi)比也情有獨(dú)鐘：“我珍視類(lèi)比勝過(guò)任何別的東西，它是我最可信賴的老師… …”正因?yàn)槿绱?，以上這些有趣而富有啟迪的類(lèi)比越來(lái)越多地受到了命題專家的關(guān)注，逐漸成為高考命題的新視角。 參考資料： 1 任子朝，高考能力測(cè)試與試題設(shè)計(jì)，北京教育出版社. 2 張巧鳳，從平面到空間的類(lèi)比思維，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，xx.11. 3 鄧益陽(yáng)，探究一類(lèi)新型題的解題策略，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，xx.2. 4 李云杰，數(shù)學(xué)命題的推廣，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，xx.9. 5 徐永忠 解析深化理性思維考查的數(shù)學(xué)高考，數(shù)學(xué)通報(bào)，xx.11. 6 顧國(guó)章，高考對(duì)類(lèi)比推理的考查，中學(xué)數(shù)學(xué)，xx.2. 近五年廣東高考中的類(lèi)比題 12．（xx年廣東卷）如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有_____條，這些直線中共有對(duì)異面直線，則；f(n)=______(答案用數(shù)字或n的解析式表示) 答案：;8;n(n-2)。 解析：;; 圖4 … 14、（xx年廣東卷）在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 14、10， (14) （xx年廣東卷）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則=____________；當(dāng)時(shí)， ．（用表示） 【答案】5， 圖B 解：由圖B可得， 由，，， ，可推得 ∵n每增加1，則交點(diǎn)增加個(gè)， ∴ ． 15．（xx年廣東卷）由圖(1)有面積關(guān)系: 則由(2) 有體積關(guān)系: (15) （15）（xx年廣東卷）在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2．”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A－BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 ”． （15）