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2019-2020年高中數(shù)學備課資料 2.1 函數(shù)的概念 新人教A版必修1 備選例題 【例1】已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)f［f(x)］的定義域是. 解：∵f(x)=,∴x≠-1.∴f［f(x)］=f()=. ∴1+≠0,即≠0.∴x≠-2. ∴f(x)的定義域為{x|x≠-2且x≠-1}. 答案：{x|x≠-2且x≠-1} 【例2】已知函數(shù)f(2x+3)的定義域是［-4,5),求函數(shù)f(2x-3)的定義域. 解：由函數(shù)f(2x+3)的定義域得函數(shù)f(x)的定義域,從而求得函數(shù)f(2x-3)的定義域.設2x+3=t,當x∈［-4,5)時,有t∈［-5,13),則函數(shù)f(t)的定義域是［-5,13),解不等式-5≤2x-3<13,得-1≤x<8,即函數(shù)f(2x-3)的定義域是［-1,8). 函數(shù)的傳統(tǒng)定義和近代定義的比較 函數(shù)的傳統(tǒng)定義(初中學過的函數(shù)定義)與它的近代定義(用集合定義函數(shù))在實質(zhì)上是一致的.兩個定義中的定義域和值域的意義完全相同;兩個定義中的對應法則實際上也一樣,只不過敘述的出發(fā)點不同.傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),其中對應法則是將自變量x的每一個取值與唯一確定的函數(shù)值對應起來;近代定義則是從集合、對應的觀點出發(fā),其中的對應法則是將原象集合中任一元素與象集合中的唯一元素確定對應起來. 至于函數(shù)的傳統(tǒng)定義向近代定義過渡的原因,從歷史上看,函數(shù)的傳統(tǒng)定義來源于物理公式,最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式,要說清楚變量以及兩個變量的依賴關系,往往先要弄清各個變量的物理意義,這就使研究受到了不必要的限制.后來,人們認識到了定義域和值域的重要性,如果只根據(jù)變量的觀點來解析,會顯得十分勉強,如:符號函數(shù)sgnx=用集合與對應的觀點來解釋,就顯得十分自然了,用傳統(tǒng)定義幾乎無法解釋,于是就有了函數(shù)的近代定義.由于傳統(tǒng)的定義比較生動、直觀,有時仍然會使用這一定義.