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2019-2020年高中數(shù)學復習講義 第七章 立體幾何初步 【知識圖解】 空間幾何體 構成幾何體 的基本元素 柱、錐、臺、球的特征 直觀認識線面平行與垂直 表面積與體積 中心投影與平行投影 直觀圖與三視圖的畫法 點、線、面之間的位置關系 平面的基本性質 確定平面的位置關系 空間中的平行關系 直線與直線的平行關系 直線與平面平行的判斷及性質 平面與平面平行的判斷及性質 空間中的垂直關系 直線與平面垂直的判斷及性質 平面與平面垂直的判斷及性質 直線與直線的垂直關系 【方法點撥】 立體幾何研究的是現(xiàn)實空間，認識空間圖形，可以培養(yǎng)學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。空間的元素是點、線、面、體，對于線線、線面、面面的位置關系著重研究它們之間的平行與垂直關系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復習時我們要以下幾點： 1．注意提高空間想象能力。在復習過程中要注意：將文字語言轉化為圖形，并明確已知元素之間的位置關系及度量關系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關系；能從復雜圖形中邏輯的分析出基本圖形和位置關系，并借助直觀感覺展開聯(lián)想與猜想，進行推理與計算。 2．歸納總結，分門別類。從知識上可以分為：平面的基本性質、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計算。 3．抓主線，攻重點。針對一些重點內容加以訓練，平行和垂直是位置關系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距離的計算已經降低要求。 4．復習中要加強數(shù)學思想方法的總結與提煉。立體幾何中蘊含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關系的相互轉化、空間位置關系的判斷及角與距離的求解轉化成空間向量的運算。 第1課 空間幾何體 【考點導讀】 1．觀察認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構； 2．能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖； 3．通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式； 4.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。 【基礎練習】 1．一個凸多面體有8個頂點，①如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個面；②如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個面。 2.（1）如圖，在正四面體A－BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是 ③④ 。 ① ② ③ ④ （2）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖的 ②③ （要求：把可能的圖的序號都填上）. 【范例導析】 例1．下列命題中，假命題是 （1）（3） 。（選出所有可能的答案） （1）有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱 （2）四棱錐的四個側面都可以是直角三角形 （3）有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺 （4）若一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體 分析：準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征是解決概念題的關鍵。 （1）中將兩個斜棱柱對接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺還要看側棱的延長線是否交于一點。 例2．是正△ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么△ABC的面積為_______________。 解析：。 點評：該題屬于斜二測畫法的應用，解題的關鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對應關系。特別底和高的對應關系。 例3．（1）畫出下列幾何體的三視圖 （2） （2）某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀 分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。 解析：（1）這兩個幾何體的三視圖分別如下： （2）該幾何體為一個正四棱錐。 點評：畫三視圖之前，應把幾何體的結構弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應符合三條投射規(guī)律。主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。 【反饋演練】 1．一個圓柱的側面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是。 2．如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則=。 解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。 點評：本題主要考查旋轉體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。 3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是。 4．空間四邊形中，，，分別是邊上的點，且為平行四邊形，則四邊形的周長的取值范圍是__。 5．三棱錐中，，其余棱長均為1。 P A B C M （1）求證：； （2）求三棱錐的體積的最大值。 解：（1）取中點，∵與均為正三角形， ∴， ∴平面。 ∴ (2)當平面時，三棱錐的高為， 此時 6．已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側面的交線是焦參數(shù)（焦點到準線的距離）為p的拋物線. （1）求圓錐的母線與底面所成的角； （2）求圓錐的全面積． 解: （1）設圓錐的底面半徑為R，母線長為l， 由題意得：, 即, 所以母線和底面所成的角為 (2)設截面與圓錐側面的交線為MON， 其中O為截面與AC的交點，則OO1//AB且 在截面MON內，以OO1所在有向直線為y軸，O為原點，建立坐標系， 則O為拋物線的頂點，所以拋物線方程為x2=－2py， 點N的坐標為（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R）， 得：R=2p，l=2R=4p. ∴圓錐的全面積為. 說明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向. 第2課 平面的性質與直線的位置關系 【考點導讀】 1．掌握平面的基本性質，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關系，能夠根據(jù)圖形想象它們之間的位置關系。 2．掌握兩條直線之間的平行與垂直的有關問題，并能進行解決和證明相關問題。 3．理解反證法證明的思路，會用反證法進行相關問題的證明。 【基礎練習】 1 下面是一些命題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是 （3） 。 （1）∵，∴． （2）∵，∴． （3）∵，∴． （4）∵，∴． 2．下列推斷中，錯誤的是 （4） 。 （1） （2），A,B,C不共線重合 （3） （4） 3．判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“” （1）空間三點可以確定一個平面 （ ） （2）兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合（ ） （3）兩條直線可以確定一個平面（ ） （4）若四點不共面，那么每三個點一定不共線（ ） （5）兩條相交直線可以確定一個平面（ ） （6）三條平行直線可以確定三個平面（ ） （7）一條直線和一個點可以確定一個平面（ ） （8）兩兩相交的三條直線確定一個平面（ ） ⑴⑵⑶⑷√⑸√⑹⑺⑻ 4．如右圖，點E是正方體的棱的中點，則過點E與直線和都相交的直線的條數(shù)是： 1 條 5．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，Aa，Da，Bb，Ec 求證：BD和AE是異面直線 證明：假設__ 共面于g，則點A、E、B、D都在平面_ _內 QAa，Da，∴__γ. QPa，∴P__. QPb，Bb，Pc，Ec ∴_ _g， __g，這與____矛盾 ∴BD、AE__________ 答案：假設BD、AE共面于g，則點A、E、B、D都在平面 g 內。 ∵Aa，Da，∴ a g. ∵Pa，P g . ∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b g，c g，這與a、b、c不共面矛盾 ∴BD、AE是異面直線翰林 【范例導析】 例1．已知，從平面外一點引向量 ， （1）求證：四點共面；（2）平面平面． 分析 ：證明四點共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明， 也可以轉化為直線共面的條件即幾何證法。 解：法一：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 法二：（1） ∴ ∴ 同理 又 ∴ ∴共面； （2）由（1）知：，從而可證 同理可證，所以，平面平面． 點評：熟練掌握定理是證明的關鍵，要學會靈活運用。 例2．已知空間四邊形ABCD. (1)求證：對角線AC與BD是異面直線; (2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀; (3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.翰林匯 分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。 證明：(1)（反證法）假設AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面， 所以A、B、C、D四點共面 這與空間四邊形ABCD的定義矛盾 所以對角線AC與BD是異面直線 (2)解：∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF=AC. 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形. 又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形. (3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求. 點評：在空間四邊形中我們通常會遇到上述類似的問題，取中點往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時候。 例3．如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱和棱上的點，且，求證：四邊形是平行四邊形 簡證：由可以證得≌ 所以 又可以由正方體的性質證明 所以四邊形是平行四邊形 例4：如圖，已知平面，且是垂足． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）若，試判斷平面與平面的位置關系，并證明你的結論． 解：（Ⅰ）因為，所以． 同理． 又，故平面． （Ⅱ）平面平面。證明如下：設與平面的交點為， 連結、．因為平面，所以， 所以是二面角的平面角． 又，所以，即． 在平面四邊形中，， 所以．故平面平面． 【反饋演練】 1．判斷題（對的打“√”，錯的打“”） （1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條 （ ） （2）兩線段AB、CD不在同一平面內，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（ ） （3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60 （ ） （4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直 （ ） 答案：（1） （2） （3）√ （4） 2．定點P不在△ABC所在平面內，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有 4 個。 3．給出以下四個命題：（1）若空間四點不共面，則其中無三點共線；（2）若直線上有一點在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線a,b,c中，a與b共面且b與c共面，則a與c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號是 (1)(2) 。 α β D B C A 4．如圖，已知（A,B不重合） 過A在平面α內作直線AC，過B在平面β內作直線BD。 求證：AC和BD是異面直線。 證明：（反證法）若AC和BD不是異面直線， 設確定平面γ，則由題意可知：平面α和γ都過AC和AC外一點B，所以兩平面重合。 同理可證平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。 這與已知條件平面α和β相交矛盾。 所以AC和BD是異面直線。 第3課 空間中的平行關系 【考點導讀】 1．掌握直線和平面平行、兩個平面平行的判定定理和性質定理。 2．明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質，而判定定理與性質定理多是不可逆的。 3．要能靈活的對“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進行轉化。 【基礎練習】 1．若為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關系是 異面或相交 。 2．給出下列四個命題: ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行. ②垂直于同一平面的兩個平面互相平行. ③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行. ④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線. 其中假命題的個數(shù)是 4 個。 3．對于任意的直線l與平面a,在平面a內必有直線m,使m與l 垂直 。 4. 已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個不重合的平面，下面六個命題： ①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β； ④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α． 其中正確的命題是 ①④ 。 【范例導析】 例1．如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形． 求證：AB∥平面EFG． 證明：∵面EFGH是截面． ∴點E，F(xiàn)，G，H分別在BC，BD，DA，AC上． ∴EH 面ABC，GF 面ABD， 由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD． 又∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB ∴EH∥AB． ∴AB∥面EFG． 例2． 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN. 求證:MN∥平面AA1B1B. 分析：“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉化的。本題可以采用任何一種轉化方式。 簡證：法1：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。 即在平面ABB1A1內找一條直線與MN平行，如圖所示作平行線即可。 A B C D N F E M A11 B11 D11 C11 法2：把證“線面平行”轉化為證“線線平行”。連CN并延長交直線BA于點P， 連B1P，就是所找直線，然后再設法證明MN∥B1P. 法3：把證“線面平行”轉化為證“面面平行”。 過M作MQ//BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行， 從而證得MN∥平面ABB1A1. 點評：證明線面或面面平行的時候一定要注意相互的轉化，非常靈活。 【反饋演練】 1．對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（3）。 （1）若則　　　 ?。?）若則 （3）若則　　 　　 （4）若、與所成的角相等，則 2. 設a、b是兩條異面直線，那么下列四個命題中的假命題是 （2） 。 （1）經過直線a有且只有一個平面平行于直線b （2）經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b （3）存在分別經過直線a和b的兩個互相平行的平面 （4）存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面 3．關于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4） 。 （1）若a∥M，b∥M，則a∥b （2）若a∥M，b⊥a，則b⊥M （3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，則M⊥N 4．“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要條件 。 5.在正方體AC1中，過A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD . 6．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，經過其對角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點，則四邊形EBFD!的形狀為 平行四邊形 。 7. 已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點，Ｍ為ＰＢ的中點， 求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ， 則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線， ∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 8．如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點，、分別是、的中點（1）求證：平面；（2）若，， 求異面直線與所成的角的大小 略證：（1）取PD的中點H，連接AH， 為平行四邊形 (2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是異面直線與所成的角，由，得，OM=2，ON= 所以，即異面直線與成的角 9．兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。 證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足， 則MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45 ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE。 證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC， ∴ 連結NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 ∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。 第4課 空間中的垂直關系 【考點導讀】 1．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理，并能用它們證明和解決有關問題。 2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關系，學會互相轉化，善于利用轉化思想。 【基礎練習】 1．“直線垂直于平面內的無數(shù)條直線”是“”的 必要 條件。 2．如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的位置關系是 平行或相交 。 3．在正方體中，與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數(shù)是 6 。 4．兩個平面互相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關系是平行、相交或在另一個平面內 。 5．在正方體中，寫出過頂點A的一個平面__AB1D1_____，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況)。 【范例導析】 例1．如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F. （1）證明PA//平面EDB； （2）證明PB⊥平面EFD. 解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力. 證明：（1）連結AC,AC交BD于O,連結EO. ∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點 在中,EO是中位線,∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA // 平面EDB （2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ ∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線, ∴. ① 同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而平面PDC,∴. ② 由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴ 又且,所以PB⊥平面EFD. 例2．如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點， 求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA。 分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點N ，連結MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。 證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結DF。 ∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ， 則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。 又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。 （2）取AC 中點N ，連結MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中點，∴ MN EC。 由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。 ∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ， ∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。 （3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ， ∴ 平面DEA ⊥平面ECA。 點評：面面垂直的問題常常轉化為線面垂直、線線垂直的問題解決。 例3．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90，AA1 ＝，D 是A1B1 中點． （1） 求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時， 會使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結論。 分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。 證明：（1）如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90。又 D 是A1B1 的中點， ∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。 （2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點F 即為所求。 ∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， ∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。 點評：本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。 【反饋演練】 1．下列命題中錯誤的是 （3） 。 （1）若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內所有直線 （2）若一平面經過另一平面的垂線，則兩個平面互相垂直 （3）若一條直線垂直于平面內的一條直線，則此直線垂直于這一平面 （4）若平面內的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2．設是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若 ，且”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號） ①x為直線，y，z為平面 ②x，y，z為平面 ③x，y為直線，z為平面 ④x，y為平面，z為直線 ⑤x，y，z為直線 3．在三棱錐的四個面中，直角三角形最多可以有___4__個。 4．若的中點到平面的距離為，點到平面的距離為，則點到平面 的距離為_2或14________。 5．命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命題A的等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側棱相等（或側棱與底面所成角相等……） 6．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個論斷： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題： 。 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β 7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE與SB交于點F。 （1）求證：四邊形EFCD為直角梯形； （2）設SB的中點為M，當?shù)闹凳嵌嗌贂r，能使△DMC為直角三角形？請給出證明. 解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF， ∴CD∥EF ∵ 又面 ∴ 平面SAD，∴又 為直角梯形 (2)當時，為直角三角形 . , 平面平面. 在中，為SB中點，. 平面平面 為直角三角形。